Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumlt GIF version

Theorem fsumlt 11245
 Description: If every term in one finite sum is less than the corresponding term in another, then the first sum is less than the second. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumlt.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumlt.2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
fsumlt.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumlt.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
fsumlt.5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 < 𝐶)
Assertion
Ref Expression
fsumlt (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 < Σ𝑘𝐴 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumlt
StepHypRef Expression
1 fsumlt.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fsumlt.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
3 fsumlt.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 < 𝐶)
4 fsumlt.3 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 fsumlt.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
6 difrp 9492 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶𝐵) ∈ ℝ+))
74, 5, 6syl2anc 408 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶𝐵) ∈ ℝ+))
83, 7mpbid 146 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ+)
91, 2, 8fsumrpcl 11185 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐶𝐵) ∈ ℝ+)
109rpgt0d 9498 . . 3 (𝜑 → 0 < Σ𝑘𝐴 (𝐶𝐵))
115recnd 7806 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
124recnd 7806 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
131, 11, 12fsumsub 11233 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐶𝐵) = (Σ𝑘𝐴 𝐶 − Σ𝑘𝐴 𝐵))
1410, 13breqtrd 3954 . 2 (𝜑 → 0 < (Σ𝑘𝐴 𝐶 − Σ𝑘𝐴 𝐵))
151, 4fsumrecl 11182 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
161, 5fsumrecl 11182 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℝ)
1715, 16posdifd 8306 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 < Σ𝑘𝐴 𝐶 ↔ 0 < (Σ𝑘𝐴 𝐶 − Σ𝑘𝐴 𝐵)))
1814, 17mpbird 166 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 < Σ𝑘𝐴 𝐶)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308  ∅c0 3363   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  Fincfn 6634  ℝcr 7631  0cc0 7632   < clt 7812   − cmin 7945  ℝ+crp 9453  Σcsu 11134 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-ihash 10534  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-clim 11060  df-sumdc 11135 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator