Theorem cncfmptc 15573

Description: A constant function is a continuous function on ℂ. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncfmptc	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇

Proof of Theorem cncfmptc

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpc 1023	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ))
2		simpl1 1027	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑇)
3	2	fmpttd 5837	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶𝑇)
4		1rp 10008	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
5	4	2a1i 27	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+))
6		eqid 2234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
7		eqidd 2235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐴)
8		simprll 539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
9		simpl1 1027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ 𝑇)
10	6, 7, 8, 9	fvmptd3 5776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) = 𝐴)
11		eqidd 2235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐴 = 𝐴)
12		simprlr 540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑤 ∈ 𝑆)
13	6, 11, 12, 9	fvmptd3 5776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤) = 𝐴)
14	10, 13	oveq12d 6076	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤)) = (𝐴 − 𝐴))
15		simpl3 1029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑇 ⊆ ℂ)
16	15, 9	sseldd 3243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	16	subidd 8588	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (𝐴 − 𝐴) = 0)
18	14, 17	eqtrd 2267	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤)) = 0)
19	18	abs00bd 11776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤))) = 0)
20		simprr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
21	20	rpgt0d 10050	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑧)
22	19, 21	eqbrtrd 4136	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤))) < 𝑧)
23	22	a1d 22	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑤)) < 1 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤))) < 𝑧))
24	23	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑦 − 𝑤)) < 1 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤))) < 𝑧)))
25	3, 5, 24	elcncf1di 15556	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇)))
26	1, 25	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3214   class class class wbr 4114   ↦ cmpt 4176  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  0cc0 8143  1c1 8144   < clt 8324   − cmin 8460  ℝ⁺crp 10004  abscabs 11707  –cn→ccncf 15547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-map 6897  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-cncf 15548

This theorem is referenced by:  sub1cncf  15579  sub2cncf  15580  expcncf  15586  maxcncf  15592  mincncf  15593  ivthreinc  15622  hovercncf  15623  dvidlemap  15668  dvidrelem  15669  dvidsslem  15670  dvcnp2cntop  15676  dvmulxxbr  15679