ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cncfmptc GIF version

Theorem cncfmptc 12495
Description: A constant function is a continuous function on . (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncfmptc ((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ (𝑆cn𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇

Proof of Theorem cncfmptc
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpc 948 . 2 ((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ))
2 simpl1 952 . . . 4 (((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴𝑇)
32fmpttd 5507 . . 3 ((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥𝑆𝐴):𝑆𝑇)
4 1rp 9295 . . . 4 1 ∈ ℝ+
542a1i 27 . . 3 ((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑦𝑆𝑧 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+))
6 eqid 2100 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑆𝐴) = (𝑥𝑆𝐴)
7 eqidd 2101 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐴)
8 simprll 507 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑦𝑆)
9 simpl1 952 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐴𝑇)
106, 7, 8, 9fvmptd3 5446 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝑥𝑆𝐴)‘𝑦) = 𝐴)
11 eqidd 2101 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑤𝐴 = 𝐴)
12 simprlr 508 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑤𝑆)
136, 11, 12, 9fvmptd3 5446 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝑥𝑆𝐴)‘𝑤) = 𝐴)
1410, 13oveq12d 5724 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (((𝑥𝑆𝐴)‘𝑦) − ((𝑥𝑆𝐴)‘𝑤)) = (𝐴𝐴))
15 simpl3 954 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑇 ⊆ ℂ)
1615, 9sseldd 3048 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1716subidd 7932 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (𝐴𝐴) = 0)
1814, 17eqtrd 2132 . . . . . . 7 (((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (((𝑥𝑆𝐴)‘𝑦) − ((𝑥𝑆𝐴)‘𝑤)) = 0)
1918abs00bd 10678 . . . . . 6 (((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (abs‘(((𝑥𝑆𝐴)‘𝑦) − ((𝑥𝑆𝐴)‘𝑤))) = 0)
20 simprr 502 . . . . . . 7 (((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
2120rpgt0d 9333 . . . . . 6 (((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑧)
2219, 21eqbrtrd 3895 . . . . 5 (((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (abs‘(((𝑥𝑆𝐴)‘𝑦) − ((𝑥𝑆𝐴)‘𝑤))) < 𝑧)
2322a1d 22 . . . 4 (((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ((abs‘(𝑦𝑤)) < 1 → (abs‘(((𝑥𝑆𝐴)‘𝑦) − ((𝑥𝑆𝐴)‘𝑤))) < 𝑧))
2423ex 114 . . 3 ((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (((𝑦𝑆𝑤𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑦𝑤)) < 1 → (abs‘(((𝑥𝑆𝐴)‘𝑦) − ((𝑥𝑆𝐴)‘𝑤))) < 𝑧)))
253, 5, 24elcncf1di 12479 . 2 ((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ (𝑆cn𝑇)))
261, 25mpd 13 1 ((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ (𝑆cn𝑇))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 930  wcel 1448  wss 3021   class class class wbr 3875  cmpt 3929  cfv 5059  (class class class)co 5706  cc 7498  0cc0 7500  1c1 7501   < clt 7672  cmin 7804  +crp 9291  abscabs 10609  cnccncf 12470
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-map 6474  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-rp 9292  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-rsqrt 10610  df-abs 10611  df-cncf 12471
This theorem is referenced by:  expcncf  12504  dvidlemap  12533
  Copyright terms: Public domain W3C validator