Theorem cncfmptc 14750

Description: A constant function is a continuous function on ℂ. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncfmptc	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇

Proof of Theorem cncfmptc

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpc 998	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ))
2		simpl1 1002	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑇)
3	2	fmpttd 5713	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶𝑇)
4		1rp 9723	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
5	4	2a1i 27	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+))
6		eqid 2193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
7		eqidd 2194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐴)
8		simprll 537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
9		simpl1 1002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ 𝑇)
10	6, 7, 8, 9	fvmptd3 5651	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) = 𝐴)
11		eqidd 2194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐴 = 𝐴)
12		simprlr 538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑤 ∈ 𝑆)
13	6, 11, 12, 9	fvmptd3 5651	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤) = 𝐴)
14	10, 13	oveq12d 5936	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤)) = (𝐴 − 𝐴))
15		simpl3 1004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑇 ⊆ ℂ)
16	15, 9	sseldd 3180	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	16	subidd 8318	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (𝐴 − 𝐴) = 0)
18	14, 17	eqtrd 2226	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤)) = 0)
19	18	abs00bd 11210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤))) = 0)
20		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
21	20	rpgt0d 9765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑧)
22	19, 21	eqbrtrd 4051	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤))) < 𝑧)
23	22	a1d 22	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑤)) < 1 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤))) < 𝑧))
24	23	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑦 − 𝑤)) < 1 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤))) < 𝑧)))
25	3, 5, 24	elcncf1di 14734	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇)))
26	1, 25	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3153   class class class wbr 4029   ↦ cmpt 4090  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  0cc0 7872  1c1 7873   < clt 8054   − cmin 8190  ℝ⁺crp 9719  abscabs 11141  –cn→ccncf 14725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-map 6704  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-rp 9720  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-cncf 14726

This theorem is referenced by:  sub1cncf  14756  sub2cncf  14757  expcncf  14763  maxcncf  14769  mincncf  14770  ivthreinc  14799  hovercncf  14800  dvidlemap  14845  dvcnp2cntop  14848  dvmulxxbr  14851