Theorem cncfmptc 14832

Description: A constant function is a continuous function on ℂ. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncfmptc	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇

Proof of Theorem cncfmptc

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpc 998	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ))
2		simpl1 1002	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑇)
3	2	fmpttd 5717	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶𝑇)
4		1rp 9732	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
5	4	2a1i 27	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+))
6		eqid 2196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
7		eqidd 2197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐴)
8		simprll 537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
9		simpl1 1002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ 𝑇)
10	6, 7, 8, 9	fvmptd3 5655	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) = 𝐴)
11		eqidd 2197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐴 = 𝐴)
12		simprlr 538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑤 ∈ 𝑆)
13	6, 11, 12, 9	fvmptd3 5655	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤) = 𝐴)
14	10, 13	oveq12d 5940	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤)) = (𝐴 − 𝐴))
15		simpl3 1004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑇 ⊆ ℂ)
16	15, 9	sseldd 3184	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	16	subidd 8325	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (𝐴 − 𝐴) = 0)
18	14, 17	eqtrd 2229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤)) = 0)
19	18	abs00bd 11231	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤))) = 0)
20		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
21	20	rpgt0d 9774	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑧)
22	19, 21	eqbrtrd 4055	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤))) < 𝑧)
23	22	a1d 22	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑤)) < 1 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤))) < 𝑧))
24	23	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑦 − 𝑤)) < 1 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤))) < 𝑧)))
25	3, 5, 24	elcncf1di 14815	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇)))
26	1, 25	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4033   ↦ cmpt 4094  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  0cc0 7879  1c1 7880   < clt 8061   − cmin 8197  ℝ⁺crp 9728  abscabs 11162  –cn→ccncf 14806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-map 6709  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-rp 9729  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-cncf 14807

This theorem is referenced by:  sub1cncf  14838  sub2cncf  14839  expcncf  14845  maxcncf  14851  mincncf  14852  ivthreinc  14881  hovercncf  14882  dvidlemap  14927  dvidrelem  14928  dvidsslem  14929  dvcnp2cntop  14935  dvmulxxbr  14938