Theorem cncfmptc 15313

Description: A constant function is a continuous function on ℂ. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncfmptc	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇

Proof of Theorem cncfmptc

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpc 1020	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ))
2		simpl1 1024	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑇)
3	2	fmpttd 5798	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶𝑇)
4		1rp 9885	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
5	4	2a1i 27	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+))
6		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
7		eqidd 2230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐴)
8		simprll 537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
9		simpl1 1024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ 𝑇)
10	6, 7, 8, 9	fvmptd3 5736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) = 𝐴)
11		eqidd 2230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐴 = 𝐴)
12		simprlr 538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑤 ∈ 𝑆)
13	6, 11, 12, 9	fvmptd3 5736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤) = 𝐴)
14	10, 13	oveq12d 6031	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤)) = (𝐴 − 𝐴))
15		simpl3 1026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑇 ⊆ ℂ)
16	15, 9	sseldd 3226	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	16	subidd 8471	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (𝐴 − 𝐴) = 0)
18	14, 17	eqtrd 2262	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤)) = 0)
19	18	abs00bd 11620	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤))) = 0)
20		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
21	20	rpgt0d 9927	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑧)
22	19, 21	eqbrtrd 4108	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤))) < 𝑧)
23	22	a1d 22	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑤)) < 1 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤))) < 𝑧))
24	23	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑦 − 𝑤)) < 1 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤))) < 𝑧)))
25	3, 5, 24	elcncf1di 15296	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇)))
26	1, 25	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3198   class class class wbr 4086   ↦ cmpt 4148  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8023  0cc0 8025  1c1 8026   < clt 8207   − cmin 8343  ℝ⁺crp 9881  abscabs 11551  –cn→ccncf 15287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-map 6814  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-rp 9882  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-cj 11396  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-cncf 15288

This theorem is referenced by:  sub1cncf  15319  sub2cncf  15320  expcncf  15326  maxcncf  15332  mincncf  15333  ivthreinc  15362  hovercncf  15363  dvidlemap  15408  dvidrelem  15409  dvidsslem  15410  dvcnp2cntop  15416  dvmulxxbr  15419