Theorem cncfmptc 14775

Description: A constant function is a continuous function on ℂ. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncfmptc	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇

Proof of Theorem cncfmptc

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpc 998	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ))
2		simpl1 1002	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑇)
3	2	fmpttd 5714	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶𝑇)
4		1rp 9726	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
5	4	2a1i 27	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+))
6		eqid 2193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)
7		eqidd 2194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = 𝐴)
8		simprll 537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
9		simpl1 1002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ 𝑇)
10	6, 7, 8, 9	fvmptd3 5652	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) = 𝐴)
11		eqidd 2194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐴 = 𝐴)
12		simprlr 538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑤 ∈ 𝑆)
13	6, 11, 12, 9	fvmptd3 5652	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤) = 𝐴)
14	10, 13	oveq12d 5937	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤)) = (𝐴 − 𝐴))
15		simpl3 1004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑇 ⊆ ℂ)
16	15, 9	sseldd 3181	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	16	subidd 8320	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (𝐴 − 𝐴) = 0)
18	14, 17	eqtrd 2226	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤)) = 0)
19	18	abs00bd 11213	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤))) = 0)
20		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
21	20	rpgt0d 9768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑧)
22	19, 21	eqbrtrd 4052	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤))) < 𝑧)
23	22	a1d 22	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑤)) < 1 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤))) < 𝑧))
24	23	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑦 − 𝑤)) < 1 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)‘𝑤))) < 𝑧)))
25	3, 5, 24	elcncf1di 14758	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇)))
26	1, 25	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3154   class class class wbr 4030   ↦ cmpt 4091  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  0cc0 7874  1c1 7875   < clt 8056   − cmin 8192  ℝ⁺crp 9722  abscabs 11144  –cn→ccncf 14749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-map 6706  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-rp 9723  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-cncf 14750

This theorem is referenced by:  sub1cncf  14781  sub2cncf  14782  expcncf  14788  maxcncf  14794  mincncf  14795  ivthreinc  14824  hovercncf  14825  dvidlemap  14870  dvidrelem  14871  dvidsslem  14872  dvcnp2cntop  14878  dvmulxxbr  14881