Theorem lmodvscad 13573

Description: The scalar product operation of a constructed left vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecfn.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
lmodstr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmodstr.g	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑋)
lmodstr.s	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑌)
lmodstr.m	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
lmodvscad	⊢ (𝜑 → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))

Proof of Theorem lmodvscad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vscaslid 13568	. 2 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
2		lvecfn.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
3		lmodstr.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		lmodstr.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑋)
5		lmodstr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑌)
6		lmodstr.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
7	2, 3, 4, 5, 6	lmodstrd 13569	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 6⟩)
8	1	simpri 113	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ
9		opexg 4368	. . . . 5 ⊢ ((( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ ∧ · ∈ 𝑍) → ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩ ∈ V)
10	8, 6, 9	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩ ∈ V)
11		snidg 3738	. . . 4 ⊢ (⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩ ∈ V → ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩ ∈ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
12		elun2 3397	. . . 4 ⊢ (⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩ ∈ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩} → ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}))
13	10, 11, 12	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}))
14	13, 2	eleqtrrdi 2332	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩ ∈ 𝑊)
15	1, 7, 6, 14	opelstrsl 13519	1 ⊢ (𝜑 → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  {csn 3709  {ctp 3711  ⟨cop 3712  ‘cfv 5377  1c1 8181  ℕcn 9307  6c6 9362  ndxcnx 13400  Slot cslot 13402  Basecbs 13403  +_gcplusg 13482  Scalarcsca 13485   ·_𝑠 cvsca 13486

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423  df-struct 13405  df-ndx 13406  df-slot 13407  df-base 13409  df-plusg 13495  df-sca 13498  df-vsca 13499

This theorem is used by: (None)