Theorem lmodvscad 12532

Description: The scalar product operation of a constructed left vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecfn.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
lmodstr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmodstr.g	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑋)
lmodstr.s	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑌)
lmodstr.m	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
lmodvscad	⊢ (𝜑 → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))

Proof of Theorem lmodvscad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vscaslid 12527	. 2 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
2		lvecfn.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
3		lmodstr.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		lmodstr.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑋)
5		lmodstr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑌)
6		lmodstr.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
7	2, 3, 4, 5, 6	lmodstrd 12528	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 6⟩)
8	1	simpri 112	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ
9		opexg 4206	. . . . 5 ⊢ ((( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ ∧ · ∈ 𝑍) → ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩ ∈ V)
10	8, 6, 9	sylancr 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩ ∈ V)
11		snidg 3605	. . . 4 ⊢ (⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩ ∈ V → ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩ ∈ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
12		elun2 3290	. . . 4 ⊢ (⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩ ∈ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩} → ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}))
13	10, 11, 12	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}))
14	13, 2	eleqtrrdi 2260	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩ ∈ 𝑊)
15	1, 7, 6, 14	opelstrsl 12491	1 ⊢ (𝜑 → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726   ∪ cun 3114  {csn 3576  {ctp 3578  ⟨cop 3579  ‘cfv 5188  1c1 7754  ℕcn 8857  6c6 8912  ndxcnx 12391  Slot cslot 12393  Basecbs 12394  +_gcplusg 12457  Scalarcsca 12460   ·_𝑠 cvsca 12461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-tp 3584  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-5 8919  df-6 8920  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-struct 12396  df-ndx 12397  df-slot 12398  df-base 12400  df-plusg 12470  df-sca 12473  df-vsca 12474

This theorem is referenced by: (None)