Theorem mnd1id 12680

Description: The singleton element of a trivial monoid is its identity element. (Contributed by AV, 23-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnd1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
mnd1id	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑀) = 𝐼)

Proof of Theorem mnd1id

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snexg 4170	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝐼} ∈ V)
2		opexg 4213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
3	2	anidms 395	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
4		opexg 4213	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
5	3, 4	mpancom 420	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
6		snexg 4170	. . . . 5 ⊢ (⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
8		mnd1.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
9	8	grpbaseg 12526	. . . 4 ⊢ (({𝐼} ∈ V ∧ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V) → {𝐼} = (Base‘𝑀))
10	1, 7, 9	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝐼} = (Base‘𝑀))
11	8	grpplusgg 12527	. . . 4 ⊢ (({𝐼} ∈ V ∧ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V) → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
12	1, 7, 11	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
13		snidg 3612	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
14		velsn 3600	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {𝐼} ↔ 𝑎 = 𝐼)
15		df-ov 5856	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
16		fvsng 5692	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
17	3, 16	mpancom 420	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
18	15, 17	eqtrid 2215	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
19		oveq2 5861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
20		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → 𝑎 = 𝐼)
21	19, 20	eqeq12d 2185	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) = 𝑎 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼))
22	18, 21	syl5ibrcom 156	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑎 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) = 𝑎))
23	14, 22	syl5bi 151	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ {𝐼} → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) = 𝑎))
24	23	imp 123	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ {𝐼}) → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) = 𝑎)
25		oveq1 5860	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
26	25, 20	eqeq12d 2185	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑎 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼))
27	18, 26	syl5ibrcom 156	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑎 = 𝐼 → (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑎))
28	14, 27	syl5bi 151	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ {𝐼} → (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑎))
29	28	imp 123	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ {𝐼}) → (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑎)
30	10, 12, 13, 24, 29	grpidd 12637	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 = (0g‘𝑀))
31	30	eqcomd 2176	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑀) = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730  {csn 3583  {cpr 3584  ⟨cop 3586  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ndxcnx 12413  Basecbs 12416  +_gcplusg 12480  0_gc0g 12596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-ltxr 7959  df-inn 8879  df-2 8937  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422  df-plusg 12493  df-0g 12598

This theorem is referenced by: (None)