Theorem mnd1id 13484

Description: The singleton element of a trivial monoid is its identity element. (Contributed by AV, 23-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnd1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
mnd1id	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑀) = 𝐼)

Proof of Theorem mnd1id

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snexg 4267	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝐼} ∈ V)
2		opexg 4313	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
3	2	anidms 397	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
4		opexg 4313	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
5	3, 4	mpancom 422	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
6		snexg 4267	. . . . 5 ⊢ (⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
8		mnd1.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
9	8	grpbaseg 13155	. . . 4 ⊢ (({𝐼} ∈ V ∧ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V) → {𝐼} = (Base‘𝑀))
10	1, 7, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝐼} = (Base‘𝑀))
11	8	grpplusgg 13156	. . . 4 ⊢ (({𝐼} ∈ V ∧ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V) → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
12	1, 7, 11	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
13		snidg 3695	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
14		velsn 3683	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {𝐼} ↔ 𝑎 = 𝐼)
15		df-ov 6003	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
16		fvsng 5834	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
17	3, 16	mpancom 422	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
18	15, 17	eqtrid 2274	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
19		oveq2 6008	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
20		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → 𝑎 = 𝐼)
21	19, 20	eqeq12d 2244	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) = 𝑎 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼))
22	18, 21	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑎 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) = 𝑎))
23	14, 22	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ {𝐼} → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) = 𝑎))
24	23	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ {𝐼}) → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) = 𝑎)
25		oveq1 6007	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
26	25, 20	eqeq12d 2244	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑎 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼))
27	18, 26	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑎 = 𝐼 → (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑎))
28	14, 27	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ {𝐼} → (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑎))
29	28	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ {𝐼}) → (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑎)
30	10, 12, 13, 24, 29	grpidd 13411	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 = (0g‘𝑀))
31	30	eqcomd 2235	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑀) = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  {csn 3666  {cpr 3667  ⟨cop 3669  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ndxcnx 13024  Basecbs 13027  +_gcplusg 13105  0_gc0g 13284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-0g 13286

This theorem is referenced by:  grp1  13634