Theorem mnd1id 13602

Description: The singleton element of a trivial monoid is its identity element. (Contributed by AV, 23-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnd1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
mnd1id	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑀) = 𝐼)

Proof of Theorem mnd1id

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snexg 4280	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝐼} ∈ V)
2		opexg 4326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
3	2	anidms 397	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
4		opexg 4326	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
5	3, 4	mpancom 422	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
6		snexg 4280	. . . . 5 ⊢ (⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
8		mnd1.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
9	8	grpbaseg 13273	. . . 4 ⊢ (({𝐼} ∈ V ∧ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V) → {𝐼} = (Base‘𝑀))
10	1, 7, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝐼} = (Base‘𝑀))
11	8	grpplusgg 13274	. . . 4 ⊢ (({𝐼} ∈ V ∧ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V) → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
12	1, 7, 11	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
13		snidg 3702	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
14		velsn 3690	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {𝐼} ↔ 𝑎 = 𝐼)
15		df-ov 6031	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
16		fvsng 5858	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
17	3, 16	mpancom 422	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
18	15, 17	eqtrid 2276	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
19		oveq2 6036	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
20		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → 𝑎 = 𝐼)
21	19, 20	eqeq12d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) = 𝑎 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼))
22	18, 21	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑎 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) = 𝑎))
23	14, 22	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ {𝐼} → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) = 𝑎))
24	23	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ {𝐼}) → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑎) = 𝑎)
25		oveq1 6035	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
26	25, 20	eqeq12d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐼 → ((𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑎 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼))
27	18, 26	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑎 = 𝐼 → (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑎))
28	14, 27	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ {𝐼} → (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑎))
29	28	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ {𝐼}) → (𝑎{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑎)
30	10, 12, 13, 24, 29	grpidd 13529	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 = (0g‘𝑀))
31	30	eqcomd 2237	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑀) = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803  {csn 3673  {cpr 3674  ⟨cop 3676  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ndxcnx 13142  Basecbs 13145  +_gcplusg 13223  0_gc0g 13402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-0g 13404

This theorem is referenced by:  grp1  13752