ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mgm1 GIF version

Theorem mgm1 12789
Description: The structure with one element and the only closed internal operation for a singleton is a magma. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
mgm1.m 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
Assertion
Ref Expression
mgm1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mgm)

Proof of Theorem mgm1
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 5878 . . . . . 6 (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}β€˜βŸ¨πΌ, 𝐼⟩)
2 opexg 4229 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
32anidms 397 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
4 fvsng 5713 . . . . . . 7 ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}β€˜βŸ¨πΌ, 𝐼⟩) = 𝐼)
53, 4mpancom 422 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}β€˜βŸ¨πΌ, 𝐼⟩) = 𝐼)
61, 5eqtrid 2222 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
7 snidg 3622 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 ∈ {𝐼})
86, 7eqeltrd 2254 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ∈ {𝐼})
9 oveq1 5882 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐼 β†’ (π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦))
109eleq1d 2246 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐼 β†’ ((π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼}))
1110ralbidv 2477 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐼 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} (π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼}))
1211ralsng 3633 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {𝐼}βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} (π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼}))
13 oveq2 5883 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐼 β†’ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
1413eleq1d 2246 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐼 β†’ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ∈ {𝐼}))
1514ralsng 3633 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ∈ {𝐼}))
1612, 15bitrd 188 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {𝐼}βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} (π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ∈ {𝐼}))
178, 16mpbird 167 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {𝐼}βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} (π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼})
18 snexg 4185 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ {𝐼} ∈ V)
19 opexg 4229 . . . . . . 7 ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
203, 19mpancom 422 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
21 snexg 4185 . . . . . 6 (⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V β†’ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
2220, 21syl 14 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
23 mgm1.m . . . . . 6 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
2423grpbaseg 12585 . . . . 5 (({𝐼} ∈ V ∧ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V) β†’ {𝐼} = (Baseβ€˜π‘€))
2518, 22, 24syl2anc 411 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ {𝐼} = (Baseβ€˜π‘€))
2623grpplusgg 12586 . . . . . . . 8 (({𝐼} ∈ V ∧ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V) β†’ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+gβ€˜π‘€))
2718, 22, 26syl2anc 411 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+gβ€˜π‘€))
2827oveqd 5892 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦))
2928, 25eleq12d 2248 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
3025, 29raleqbidv 2685 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} (π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
3125, 30raleqbidv 2685 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {𝐼}βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} (π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
3217, 31mpbid 147 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
337, 25eleqtrd 2256 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
34 eqid 2177 . . . 4 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
35 eqid 2177 . . . 4 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
3634, 35ismgmn0 12777 . . 3 (𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑀 ∈ Mgm ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
3733, 36syl 14 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 ∈ Mgm ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
3832, 37mpbird 167 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mgm)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  Vcvv 2738  {csn 3593  {cpr 3594  βŸ¨cop 3596  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  ndxcnx 12459  Basecbs 12462  +gcplusg 12536  Mgmcmgm 12773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-fv 5225  df-ov 5878  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-inn 8920  df-2 8978  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-plusg 12549  df-mgm 12775
This theorem is referenced by:  sgrp1  12816
  Copyright terms: Public domain W3C validator