Theorem mgm1 12601

Description: The structure with one element and the only closed internal operation for a singleton is a magma. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mgm1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
mgm1	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mgm)

Proof of Theorem mgm1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5845	. . . . . 6 ⊢ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
2		opexg 4206	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
3	2	anidms 395	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
4		fvsng 5681	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
5	3, 4	mpancom 419	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
6	1, 5	eqtrid 2210	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
7		snidg 3605	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
8	6, 7	eqeltrd 2243	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ∈ {𝐼})
9		oveq1 5849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦))
10	9	eleq1d 2235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼}))
11	10	ralbidv 2466	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼}))
12	11	ralsng 3616	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼}))
13		oveq2 5850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
14	13	eleq1d 2235	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ∈ {𝐼}))
15	14	ralsng 3616	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ∈ {𝐼}))
16	12, 15	bitrd 187	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ∈ {𝐼}))
17	8, 16	mpbird 166	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼})
18		snexg 4163	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝐼} ∈ V)
19		opexg 4206	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
20	3, 19	mpancom 419	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
21		snexg 4163	. . . . . 6 ⊢ (⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
23		mgm1.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
24	23	grpbaseg 12503	. . . . 5 ⊢ (({𝐼} ∈ V ∧ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V) → {𝐼} = (Base‘𝑀))
25	18, 22, 24	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝐼} = (Base‘𝑀))
26	23	grpplusgg 12504	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝐼} ∈ V ∧ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V) → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
27	18, 22, 26	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
28	27	oveqd 5859	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦))
29	28, 25	eleq12d 2237	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ (Base‘𝑀)))
30	25, 29	raleqbidv 2673	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑀)(𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ (Base‘𝑀)))
31	25, 30	raleqbidv 2673	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑀)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑀)(𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ (Base‘𝑀)))
32	17, 31	mpbid 146	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑀)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑀)(𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ (Base‘𝑀))
33	7, 25	eleqtrd 2245	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑀))
34		eqid 2165	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
35		eqid 2165	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
36	34, 35	ismgmn0 12589	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (Base‘𝑀) → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑀)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑀)(𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ (Base‘𝑀)))
37	33, 36	syl 14	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑀)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑀)(𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ (Base‘𝑀)))
38	32, 37	mpbird 166	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mgm)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  Vcvv 2726  {csn 3576  {cpr 3577  ⟨cop 3579  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ndxcnx 12391  Basecbs 12394  +_gcplusg 12457  Mgmcmgm 12585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-fv 5196  df-ov 5845  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-ltxr 7938  df-inn 8858  df-2 8916  df-ndx 12397  df-slot 12398  df-base 12400  df-plusg 12470  df-mgm 12587

This theorem is referenced by: (None)