Theorem mgm1 13583

Description: The structure with one element and the only closed internal operation for a singleton is a magma. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mgm1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
mgm1	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mgm)

Proof of Theorem mgm1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6053	. . . . . 6 ⊢ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
2		opexg 4344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
3	2	anidms 397	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
4		fvsng 5880	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
5	3, 4	mpancom 422	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
6	1, 5	eqtrid 2277	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
7		snidg 3718	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
8	6, 7	eqeltrd 2309	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ∈ {𝐼})
9		oveq1 6057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦))
10	9	eleq1d 2301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼}))
11	10	ralbidv 2542	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼}))
12	11	ralsng 3729	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼}))
13		oveq2 6058	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
14	13	eleq1d 2301	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ∈ {𝐼}))
15	14	ralsng 3729	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ∈ {𝐼}))
16	12, 15	bitrd 188	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) ∈ {𝐼}))
17	8, 16	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼})
18		snexg 4297	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝐼} ∈ V)
19		opexg 4344	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
20	3, 19	mpancom 422	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
21		snexg 4297	. . . . . 6 ⊢ (⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
23		mgm1.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
24	23	grpbaseg 13340	. . . . 5 ⊢ (({𝐼} ∈ V ∧ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V) → {𝐼} = (Base‘𝑀))
25	18, 22, 24	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝐼} = (Base‘𝑀))
26	23	grpplusgg 13341	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝐼} ∈ V ∧ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V) → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
27	18, 22, 26	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
28	27	oveqd 6067	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦))
29	28, 25	eleq12d 2303	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ (Base‘𝑀)))
30	25, 29	raleqbidv 2757	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑀)(𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ (Base‘𝑀)))
31	25, 30	raleqbidv 2757	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) ∈ {𝐼} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑀)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑀)(𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ (Base‘𝑀)))
32	17, 31	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑀)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑀)(𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ (Base‘𝑀))
33	7, 25	eleqtrd 2311	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ (Base‘𝑀))
34		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
35		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
36	34, 35	ismgmn0 13571	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (Base‘𝑀) → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑀)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑀)(𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ (Base‘𝑀)))
37	33, 36	syl 14	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑀)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑀)(𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ (Base‘𝑀)))
38	32, 37	mpbird 167	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mgm)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  Vcvv 2813  {csn 3689  {cpr 3690  ⟨cop 3692  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ndxcnx 13209  Basecbs 13212  +_gcplusg 13290  Mgmcmgm 13567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-ov 6053  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-mgm 13569

This theorem is referenced by:  sgrp1  13624