Theorem fsumsplitsnun 11382

Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV, 17-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitsnun	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsnun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 2436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∉ 𝐴 ↔ ¬ 𝑍 ∈ 𝐴)
2		disjsn 3645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅ ↔ ¬ 𝑍 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylbb2 137	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∉ 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
4	3	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
5	4	3ad2ant2 1014	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
6		eqidd 2171	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑍}) = (𝐴 ∪ {𝑍}))
7		simp1 992	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ Fin)
8		simp2l 1018	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ 𝑉)
9		snfig 6792	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → {𝑍} ∈ Fin)
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → {𝑍} ∈ Fin)
11		unfidisj 6899	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅) → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
12	7, 10, 5, 11	syl3anc 1233	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
13		rspcsbela 3108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
14	13	expcom 115	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
15	14	3ad2ant3 1015	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
16	15	imp 123	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
17	16	zcnd 9335	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
18	5, 6, 12, 17	fsumsplit 11370	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 = (Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑍}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵))
19		nfcv 2312	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
20		nfcsb1v 3082	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
21		csbeq1a 3058	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
22	19, 20, 21	cbvsumi 11325	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
23	19, 20, 21	cbvsumi 11325	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
24	19, 20, 21	cbvsumi 11325	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = Σ𝑥 ∈ {𝑍}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
25	23, 24	oveq12i 5865	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵) = (Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑍}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
26	18, 22, 25	3eqtr4g 2228	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵))
27		snidg 3612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑍 ∈ {𝑍})
28	27	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) → 𝑍 ∈ {𝑍})
29	28	3ad2ant2 1014	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ {𝑍})
30		elun2 3295	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑍} → 𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}))
31	29, 30	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}))
32		simp3 994	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ)
33		rspcsbela 3108	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
34	31, 32, 33	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
35	34	zcnd 9335	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
36		sumsns 11378	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵)
37	8, 35, 36	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵)
38	37	oveq2d 5869	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵))
39	26, 38	eqtrd 2203	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ∉ wnel 2435  ∀wral 2448  ⦋csb 3049   ∪ cun 3119   ∩ cin 3120  ∅c0 3414  {csn 3583  (class class class)co 5853  Fincfn 6718  ℂcc 7772   + caddc 7777  ℤcz 9212  Σcsu 11316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by:  modfsummodlemstep  11420