Theorem fsumsplitsnun 12101

Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV, 17-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitsnun	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsnun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 2508	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∉ 𝐴 ↔ ¬ 𝑍 ∈ 𝐴)
2		disjsn 3750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅ ↔ ¬ 𝑍 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylbb2 138	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∉ 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
4	3	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
5	4	3ad2ant2 1046	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
6		eqidd 2233	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑍}) = (𝐴 ∪ {𝑍}))
7		simp1 1024	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ Fin)
8		simp2l 1050	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ 𝑉)
9		snfig 7055	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → {𝑍} ∈ Fin)
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → {𝑍} ∈ Fin)
11		unfidisj 7181	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅) → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
12	7, 10, 5, 11	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
13		rspcsbela 3197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
14	13	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
15	14	3ad2ant3 1047	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
16	15	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
17	16	zcnd 9700	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
18	5, 6, 12, 17	fsumsplit 12089	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 = (Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑍}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵))
19		nfcv 2384	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
20		nfcsb1v 3170	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
21		csbeq1a 3146	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
22	19, 20, 21	cbvsumi 12043	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
23	19, 20, 21	cbvsumi 12043	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
24	19, 20, 21	cbvsumi 12043	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = Σ𝑥 ∈ {𝑍}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
25	23, 24	oveq12i 6061	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵) = (Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑍}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
26	18, 22, 25	3eqtr4g 2290	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵))
27		snidg 3717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑍 ∈ {𝑍})
28	27	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) → 𝑍 ∈ {𝑍})
29	28	3ad2ant2 1046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ {𝑍})
30		elun2 3386	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑍} → 𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}))
31	29, 30	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}))
32		simp3 1026	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ)
33		rspcsbela 3197	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
34	31, 32, 33	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
35	34	zcnd 9700	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
36		sumsns 12097	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵)
37	8, 35, 36	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵)
38	37	oveq2d 6065	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵))
39	26, 38	eqtrd 2265	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ∉ wnel 2507  ∀wral 2520  ⦋csb 3137   ∪ cun 3208   ∩ cin 3209  ∅c0 3507  {csn 3688  (class class class)co 6049  Fincfn 6974  ℂcc 8124   + caddc 8129  ℤcz 9576  Σcsu 12034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-oadd 6650  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-ihash 11137  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-clim 11960  df-sumdc 12035

This theorem is referenced by:  modfsummodlemstep  12139