Theorem fsumsplitsnun 12130

Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV, 17-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitsnun	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsnun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 2510	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∉ 𝐴 ↔ ¬ 𝑍 ∈ 𝐴)
2		disjsn 3756	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅ ↔ ¬ 𝑍 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylbb2 138	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∉ 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
4	3	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
5	4	3ad2ant2 1046	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
6		eqidd 2235	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑍}) = (𝐴 ∪ {𝑍}))
7		simp1 1024	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ Fin)
8		simp2l 1050	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ 𝑉)
9		snfig 7069	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → {𝑍} ∈ Fin)
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → {𝑍} ∈ Fin)
11		unfidisj 7195	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅) → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
12	7, 10, 5, 11	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
13		rspcsbela 3201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
14	13	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
15	14	3ad2ant3 1047	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
16	15	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
17	16	zcnd 9719	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
18	5, 6, 12, 17	fsumsplit 12118	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 = (Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑍}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵))
19		nfcv 2386	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
20		nfcsb1v 3174	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
21		csbeq1a 3150	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
22	19, 20, 21	cbvsumi 12072	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
23	19, 20, 21	cbvsumi 12072	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
24	19, 20, 21	cbvsumi 12072	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = Σ𝑥 ∈ {𝑍}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
25	23, 24	oveq12i 6070	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵) = (Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑍}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
26	18, 22, 25	3eqtr4g 2292	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵))
27		snidg 3723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑍 ∈ {𝑍})
28	27	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) → 𝑍 ∈ {𝑍})
29	28	3ad2ant2 1046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ {𝑍})
30		elun2 3391	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑍} → 𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}))
31	29, 30	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}))
32		simp3 1026	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ)
33		rspcsbela 3201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
34	31, 32, 33	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
35	34	zcnd 9719	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
36		sumsns 12126	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵)
37	8, 35, 36	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵)
38	37	oveq2d 6074	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵))
39	26, 38	eqtrd 2267	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∉ wnel 2509  ∀wral 2522  ⦋csb 3141   ∪ cun 3212   ∩ cin 3213  ∅c0 3512  {csn 3694  (class class class)co 6058  Fincfn 6988  ℂcc 8141   + caddc 8146  ℤcz 9594  Σcsu 12063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064

This theorem is referenced by:  modfsummodlemstep  12168