ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumsplitsnun GIF version

Theorem fsumsplitsnun 10776
Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV, 17-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
fsumsplitsnun ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑍 / 𝑘𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsnun
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nel 2351 . . . . . . 7 (𝑍𝐴 ↔ ¬ 𝑍𝐴)
2 disjsn 3499 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅ ↔ ¬ 𝑍𝐴)
31, 2sylbb2 136 . . . . . 6 (𝑍𝐴 → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
43adantl 271 . . . . 5 ((𝑍𝑉𝑍𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
543ad2ant2 965 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
6 eqidd 2089 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑍}) = (𝐴 ∪ {𝑍}))
7 simp1 943 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ Fin)
8 simp2l 969 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍𝑉)
9 snfig 6511 . . . . . 6 (𝑍𝑉 → {𝑍} ∈ Fin)
108, 9syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → {𝑍} ∈ Fin)
11 unfidisj 6612 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅) → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
127, 10, 5, 11syl3anc 1174 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
13 rspcsbela 2985 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
1413expcom 114 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
15143ad2ant3 966 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
1615imp 122 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
1716zcnd 8839 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
185, 6, 12, 17fsumsplit 10764 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝑥 / 𝑘𝐵 = (Σ𝑥𝐴 𝑥 / 𝑘𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑍}𝑥 / 𝑘𝐵))
19 nfcv 2228 . . . 4 𝑥𝐵
20 nfcsb1v 2961 . . . 4 𝑘𝑥 / 𝑘𝐵
21 csbeq1a 2939 . . . 4 (𝑘 = 𝑥𝐵 = 𝑥 / 𝑘𝐵)
2219, 20, 21cbvsumi 10715 . . 3 Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝑥 / 𝑘𝐵
2319, 20, 21cbvsumi 10715 . . . 4 Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑥𝐴 𝑥 / 𝑘𝐵
2419, 20, 21cbvsumi 10715 . . . 4 Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = Σ𝑥 ∈ {𝑍}𝑥 / 𝑘𝐵
2523, 24oveq12i 5646 . . 3 𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵) = (Σ𝑥𝐴 𝑥 / 𝑘𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑍}𝑥 / 𝑘𝐵)
2618, 22, 253eqtr4g 2145 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵))
27 snidg 3468 . . . . . . . . 9 (𝑍𝑉𝑍 ∈ {𝑍})
2827adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝑍𝑉𝑍𝐴) → 𝑍 ∈ {𝑍})
29283ad2ant2 965 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ {𝑍})
30 elun2 3166 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ {𝑍} → 𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}))
3129, 30syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}))
32 simp3 945 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ)
33 rspcsbela 2985 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3431, 32, 33syl2anc 403 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3534zcnd 8839 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
36 sumsns 10772 . . . 4 ((𝑍𝑉𝑍 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = 𝑍 / 𝑘𝐵)
378, 35, 36syl2anc 403 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = 𝑍 / 𝑘𝐵)
3837oveq2d 5650 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑍 / 𝑘𝐵))
3926, 38eqtrd 2120 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑍 / 𝑘𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  w3a 924   = wceq 1289  wcel 1438  wnel 2350  wral 2359  csb 2931  cun 2995  cin 2996  c0 3284  {csn 3441  (class class class)co 5634  Fincfn 6437  cc 7327   + caddc 7332  cz 8720  Σcsu 10706
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-isom 5011  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-frec 6138  df-1o 6163  df-oadd 6167  df-er 6272  df-en 6438  df-dom 6439  df-fin 6440  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-ihash 10149  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-clim 10631  df-isum 10707
This theorem is referenced by:  modfsummodlemstep  10814
  Copyright terms: Public domain W3C validator