Theorem 0subm 13566

Description: The zero submonoid of an arbitrary monoid. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
0subm.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0subm	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → { 0 } ∈ (SubMnd‘𝐺))

Proof of Theorem 0subm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		0subm.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	1, 2	mndidcl 13512	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
4	3	snssd 3818	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → { 0 } ⊆ (Base‘𝐺))
5		snidg 3698	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝐺) → 0 ∈ { 0 })
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ { 0 })
7		velsn 3686	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ { 0 } ↔ 𝑎 = 0 )
8		velsn 3686	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ { 0 } ↔ 𝑏 = 0 )
9	7, 8	anbi12i 460	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 }) ↔ (𝑎 = 0 ∧ 𝑏 = 0 ))
10		eqid 2231	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
11	1, 10, 2	mndlid 13517	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
12	3, 11	mpdan 421	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
13	12, 3	eqeltrd 2308	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ (Base‘𝐺))
14		elsng 3684	. . . . . . 7 ⊢ (( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ (Base‘𝐺) → (( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 ))
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 ))
16	12, 15	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 })
17		oveq12 6026	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ 𝑏 = 0 ) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ( 0 (+g‘𝐺) 0 ))
18	17	eleq1d 2300	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ 𝑏 = 0 ) → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 }))
19	16, 18	syl5ibrcom 157	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ((𝑎 = 0 ∧ 𝑏 = 0 ) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 }))
20	9, 19	biimtrid 152	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ((𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 }) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 }))
21	20	ralrimivv 2613	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∀𝑎 ∈ { 0 }∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 })
22	1, 2, 10	issubm 13554	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ({ 0 } ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ ({ 0 } ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 0 ∈ { 0 } ∧ ∀𝑎 ∈ { 0 }∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 })))
23	4, 6, 21, 22	mpbir3and 1206	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → { 0 } ∈ (SubMnd‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   ⊆ wss 3200  {csn 3669  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  Basecbs 13081  +_gcplusg 13159  0_gc0g 13338  Mndcmnd 13498  SubMndcsubmnd 13540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-inn 9143  df-2 9201  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-submnd 13542

This theorem is referenced by:  0subg  13785