Theorem 0subm 13512

Description: The zero submonoid of an arbitrary monoid. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
0subm.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0subm	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → { 0 } ∈ (SubMnd‘𝐺))

Proof of Theorem 0subm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		0subm.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	1, 2	mndidcl 13458	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝐺))
4	3	snssd 3812	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → { 0 } ⊆ (Base‘𝐺))
5		snidg 3695	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝐺) → 0 ∈ { 0 })
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ { 0 })
7		velsn 3683	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ { 0 } ↔ 𝑎 = 0 )
8		velsn 3683	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ { 0 } ↔ 𝑏 = 0 )
9	7, 8	anbi12i 460	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 }) ↔ (𝑎 = 0 ∧ 𝑏 = 0 ))
10		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
11	1, 10, 2	mndlid 13463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
12	3, 11	mpdan 421	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
13	12, 3	eqeltrd 2306	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ (Base‘𝐺))
14		elsng 3681	. . . . . . 7 ⊢ (( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ (Base‘𝐺) → (( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 ))
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 ))
16	12, 15	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 })
17		oveq12 6009	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ 𝑏 = 0 ) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ( 0 (+g‘𝐺) 0 ))
18	17	eleq1d 2298	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 0 ∧ 𝑏 = 0 ) → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 } ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) ∈ { 0 }))
19	16, 18	syl5ibrcom 157	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ((𝑎 = 0 ∧ 𝑏 = 0 ) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 }))
20	9, 19	biimtrid 152	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ((𝑎 ∈ { 0 } ∧ 𝑏 ∈ { 0 }) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 }))
21	20	ralrimivv 2611	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∀𝑎 ∈ { 0 }∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 })
22	1, 2, 10	issubm 13500	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ({ 0 } ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ ({ 0 } ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 0 ∈ { 0 } ∧ ∀𝑎 ∈ { 0 }∀𝑏 ∈ { 0 } (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ { 0 })))
23	4, 6, 21, 22	mpbir3and 1204	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → { 0 } ∈ (SubMnd‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ⊆ wss 3197  {csn 3666  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  Basecbs 13027  +_gcplusg 13105  0_gc0g 13284  Mndcmnd 13444  SubMndcsubmnd 13486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-inn 9107  df-2 9165  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-submnd 13488

This theorem is referenced by:  0subg  13731