Theorem 2stropg 13418

Description: The other slot of a constructed two-slot structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2str.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩}
2str.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2str.l	⊢ 1 < 𝑁
2str.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
2stropg	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → + = (𝐸‘𝐺))

Proof of Theorem 2stropg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2str.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		2str.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 13321	. 2 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
4		2str.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩}
5		basendxnn 13352	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → (Base‘ndx) ∈ ℕ)
7		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑉)
8		opexg 4349	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
10	1, 2	ndxarg 13319	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
11	10, 2	eqeltri 2307	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
12	11	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
13		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → + ∈ 𝑊)
14		opexg 4349	. . . . 5 ⊢ (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V)
15	12, 13, 14	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V)
16		prexg 4330	. . . 4 ⊢ ((⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V ∧ ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩} ∈ V)
17	9, 15, 16	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩} ∈ V)
18	4, 17	eqeltrid 2321	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐺 ∈ V)
19	5	nnrei 9263	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℝ
20		2str.l	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 𝑁
21		basendx 13351	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) = 1
22	20, 21, 10	3brtr4i 4144	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) < (𝐸‘ndx)
23	19, 22	ltneii 8386	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
24	23	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx))
25		funprg 5411	. . . 4 ⊢ ((((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) ∧ (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
26	6, 12, 7, 13, 24, 25	syl221anc 1285	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
27	4	funeqi 5378	. . 3 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
28	26, 27	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → Fun 𝐺)
29		prid2g 3801	. . . 4 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
30	15, 29	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
31	30, 4	eleqtrrdi 2328	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ 𝐺)
32	3, 18, 28, 31	strslfvd 13338	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → + = (𝐸‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  Vcvv 2815  {cpr 3695  ⟨cop 3697   class class class wbr 4114  Fun wfun 5351  ‘cfv 5357  1c1 8144   < clt 8324  ℕcn 9254  ndxcnx 13293  Slot cslot 13295  Basecbs 13296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240  ax-pre-ltirr 8255

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302

This theorem is referenced by:  grpplusgg  13425  eltpsg  15031