ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2stropg GIF version

Theorem 2stropg 12075
Description: The other slot of a constructed two-slot structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2str.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩}
2str.e 𝐸 = Slot 𝑁
2str.l 1 < 𝑁
2str.n 𝑁 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
2stropg ((𝐵𝑉+𝑊) → + = (𝐸𝐺))

Proof of Theorem 2stropg
StepHypRef Expression
1 2str.e . . 3 𝐸 = Slot 𝑁
2 2str.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
31, 2ndxslid 11998 . 2 (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
4 2str.g . . 3 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩}
5 basendxnn 12028 . . . . . 6 (Base‘ndx) ∈ ℕ
65a1i 9 . . . . 5 ((𝐵𝑉+𝑊) → (Base‘ndx) ∈ ℕ)
7 simpl 108 . . . . 5 ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐵𝑉)
8 opexg 4150 . . . . 5 (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐵𝑉) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
96, 7, 8syl2anc 408 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
101, 2ndxarg 11996 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) = 𝑁
1110, 2eqeltri 2212 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
1211a1i 9 . . . . 5 ((𝐵𝑉+𝑊) → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
13 simpr 109 . . . . 5 ((𝐵𝑉+𝑊) → +𝑊)
14 opexg 4150 . . . . 5 (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ +𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V)
1512, 13, 14syl2anc 408 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V)
16 prexg 4133 . . . 4 ((⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V ∧ ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩} ∈ V)
179, 15, 16syl2anc 408 . . 3 ((𝐵𝑉+𝑊) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩} ∈ V)
184, 17eqeltrid 2226 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐺 ∈ V)
195nnrei 8741 . . . . . 6 (Base‘ndx) ∈ ℝ
20 2str.l . . . . . . 7 1 < 𝑁
21 basendx 12027 . . . . . . 7 (Base‘ndx) = 1
2220, 21, 103brtr4i 3958 . . . . . 6 (Base‘ndx) < (𝐸‘ndx)
2319, 22ltneii 7872 . . . . 5 (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
2423a1i 9 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊) → (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx))
25 funprg 5173 . . . 4 ((((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ) ∧ (𝐵𝑉+𝑊) ∧ (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
266, 12, 7, 13, 24, 25syl221anc 1227 . . 3 ((𝐵𝑉+𝑊) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
274funeqi 5144 . . 3 (Fun 𝐺 ↔ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
2826, 27sylibr 133 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → Fun 𝐺)
29 prid2g 3628 . . . 4 (⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
3015, 29syl 14 . . 3 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
3130, 4eleqtrrdi 2233 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ 𝐺)
323, 18, 28, 31strslfvd 12014 1 ((𝐵𝑉+𝑊) → + = (𝐸𝐺))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2308  Vcvv 2686  {cpr 3528  cop 3530   class class class wbr 3929  Fun wfun 5117  cfv 5123  1c1 7633   < clt 7812  cn 8732  ndxcnx 11970  Slot cslot 11972  Basecbs 11973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1re 7726  ax-addrcl 7729  ax-pre-ltirr 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-ltxr 7817  df-inn 8733  df-ndx 11976  df-slot 11977  df-base 11979
This theorem is referenced by:  grpplusgg  12082  eltpsg  12221
  Copyright terms: Public domain W3C validator