ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2stropg GIF version

Theorem 2stropg 12573
Description: The other slot of a constructed two-slot structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2str.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩}
2str.e 𝐸 = Slot 𝑁
2str.l 1 < 𝑁
2str.n 𝑁 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
2stropg ((𝐵𝑉+𝑊) → + = (𝐸𝐺))

Proof of Theorem 2stropg
StepHypRef Expression
1 2str.e . . 3 𝐸 = Slot 𝑁
2 2str.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
31, 2ndxslid 12481 . 2 (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
4 2str.g . . 3 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩}
5 basendxnn 12512 . . . . . 6 (Base‘ndx) ∈ ℕ
65a1i 9 . . . . 5 ((𝐵𝑉+𝑊) → (Base‘ndx) ∈ ℕ)
7 simpl 109 . . . . 5 ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐵𝑉)
8 opexg 4228 . . . . 5 (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐵𝑉) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
96, 7, 8syl2anc 411 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
101, 2ndxarg 12479 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) = 𝑁
1110, 2eqeltri 2250 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
1211a1i 9 . . . . 5 ((𝐵𝑉+𝑊) → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
13 simpr 110 . . . . 5 ((𝐵𝑉+𝑊) → +𝑊)
14 opexg 4228 . . . . 5 (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ +𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V)
1512, 13, 14syl2anc 411 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V)
16 prexg 4211 . . . 4 ((⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V ∧ ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩} ∈ V)
179, 15, 16syl2anc 411 . . 3 ((𝐵𝑉+𝑊) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩} ∈ V)
184, 17eqeltrid 2264 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐺 ∈ V)
195nnrei 8926 . . . . . 6 (Base‘ndx) ∈ ℝ
20 2str.l . . . . . . 7 1 < 𝑁
21 basendx 12511 . . . . . . 7 (Base‘ndx) = 1
2220, 21, 103brtr4i 4033 . . . . . 6 (Base‘ndx) < (𝐸‘ndx)
2319, 22ltneii 8052 . . . . 5 (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
2423a1i 9 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊) → (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx))
25 funprg 5266 . . . 4 ((((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ) ∧ (𝐵𝑉+𝑊) ∧ (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
266, 12, 7, 13, 24, 25syl221anc 1249 . . 3 ((𝐵𝑉+𝑊) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
274funeqi 5237 . . 3 (Fun 𝐺 ↔ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
2826, 27sylibr 134 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → Fun 𝐺)
29 prid2g 3697 . . . 4 (⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
3015, 29syl 14 . . 3 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
3130, 4eleqtrrdi 2271 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ 𝐺)
323, 18, 28, 31strslfvd 12498 1 ((𝐵𝑉+𝑊) → + = (𝐸𝐺))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  Vcvv 2737  {cpr 3593  cop 3595   class class class wbr 4003  Fun wfun 5210  cfv 5216  1c1 7811   < clt 7990  cn 8917  ndxcnx 12453  Slot cslot 12455  Basecbs 12456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907  ax-pre-ltirr 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-ltxr 7995  df-inn 8918  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462
This theorem is referenced by:  grpplusgg  12580  eltpsg  13431
  Copyright terms: Public domain W3C validator