Theorem 2stropg 13452

Description: The other slot of a constructed two-slot structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2str.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩}
2str.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2str.l	⊢ 1 < 𝑁
2str.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
2stropg	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → + = (𝐸‘𝐺))

Proof of Theorem 2stropg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2str.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		2str.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 13355	. 2 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
4		2str.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩}
5		basendxnn 13386	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → (Base‘ndx) ∈ ℕ)
7		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑉)
8		opexg 4363	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
9	6, 7, 8	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
10	1, 2	ndxarg 13353	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
11	10, 2	eqeltri 2311	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
12	11	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
13		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → + ∈ 𝑊)
14		opexg 4363	. . . . 5 ⊢ (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V)
15	12, 13, 14	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V)
16		prexg 4344	. . . 4 ⊢ ((⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V ∧ ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩} ∈ V)
17	9, 15, 16	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩} ∈ V)
18	4, 17	eqeltrid 2325	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐺 ∈ V)
19	5	nnrei 9292	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℝ
20		2str.l	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 𝑁
21		basendx 13385	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) = 1
22	20, 21, 10	3brtr4i 4155	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) < (𝐸‘ndx)
23	19, 22	ltneii 8412	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
24	23	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx))
25		funprg 5426	. . . 4 ⊢ ((((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) ∧ (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
26	6, 12, 7, 13, 24, 25	syl221anc 1289	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
27	4	funeqi 5393	. . 3 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
28	26, 27	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → Fun 𝐺)
29		prid2g 3812	. . . 4 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
30	15, 29	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
31	30, 4	eleqtrrdi 2332	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ 𝐺)
32	3, 18, 28, 31	strslfvd 13372	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → + = (𝐸‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  Vcvv 2821  {cpr 3706  ⟨cop 3708   class class class wbr 4125  Fun wfun 5366  ‘cfv 5372  1c1 8170   < clt 8350  ℕcn 9283  ndxcnx 13327  Slot cslot 13329  Basecbs 13330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266  ax-pre-ltirr 8281

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336

This theorem is referenced by:  grpplusgg  13459  eltpsg  15064