ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2stropg GIF version

Theorem 2stropg 11988
Description: The other slot of a constructed two-slot structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2str.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩}
2str.e 𝐸 = Slot 𝑁
2str.l 1 < 𝑁
2str.n 𝑁 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
2stropg ((𝐵𝑉+𝑊) → + = (𝐸𝐺))

Proof of Theorem 2stropg
StepHypRef Expression
1 2str.e . . 3 𝐸 = Slot 𝑁
2 2str.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
31, 2ndxslid 11911 . 2 (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
4 2str.g . . 3 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩}
5 basendxnn 11941 . . . . . 6 (Base‘ndx) ∈ ℕ
65a1i 9 . . . . 5 ((𝐵𝑉+𝑊) → (Base‘ndx) ∈ ℕ)
7 simpl 108 . . . . 5 ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐵𝑉)
8 opexg 4120 . . . . 5 (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐵𝑉) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
96, 7, 8syl2anc 408 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
101, 2ndxarg 11909 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) = 𝑁
1110, 2eqeltri 2190 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
1211a1i 9 . . . . 5 ((𝐵𝑉+𝑊) → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
13 simpr 109 . . . . 5 ((𝐵𝑉+𝑊) → +𝑊)
14 opexg 4120 . . . . 5 (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ +𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V)
1512, 13, 14syl2anc 408 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V)
16 prexg 4103 . . . 4 ((⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V ∧ ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩} ∈ V)
179, 15, 16syl2anc 408 . . 3 ((𝐵𝑉+𝑊) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩} ∈ V)
184, 17eqeltrid 2204 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐺 ∈ V)
195nnrei 8697 . . . . . 6 (Base‘ndx) ∈ ℝ
20 2str.l . . . . . . 7 1 < 𝑁
21 basendx 11940 . . . . . . 7 (Base‘ndx) = 1
2220, 21, 103brtr4i 3928 . . . . . 6 (Base‘ndx) < (𝐸‘ndx)
2319, 22ltneii 7828 . . . . 5 (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
2423a1i 9 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊) → (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx))
25 funprg 5143 . . . 4 ((((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ) ∧ (𝐵𝑉+𝑊) ∧ (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
266, 12, 7, 13, 24, 25syl221anc 1212 . . 3 ((𝐵𝑉+𝑊) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
274funeqi 5114 . . 3 (Fun 𝐺 ↔ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
2826, 27sylibr 133 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → Fun 𝐺)
29 prid2g 3598 . . . 4 (⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
3015, 29syl 14 . . 3 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
3130, 4eleqtrrdi 2211 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ 𝐺)
323, 18, 28, 31strslfvd 11927 1 ((𝐵𝑉+𝑊) → + = (𝐸𝐺))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  wne 2285  Vcvv 2660  {cpr 3498  cop 3500   class class class wbr 3899  Fun wfun 5087  cfv 5093  1c1 7589   < clt 7768  cn 8688  ndxcnx 11883  Slot cslot 11885  Basecbs 11886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1re 7682  ax-addrcl 7685  ax-pre-ltirr 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-ltxr 7773  df-inn 8689  df-ndx 11889  df-slot 11890  df-base 11892
This theorem is referenced by:  grpplusgg  11995  eltpsg  12134
  Copyright terms: Public domain W3C validator