Theorem strnfvnd 12447

Description: Deduction version of strnfvn 12448. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strnfvnd.c	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
strnfvnd.f	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
strnfvnd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
strnfvnd	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))

Proof of Theorem strnfvnd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strnfvnd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
2	1	elexd 2748	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
3		strnfvnd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		fvexg 5526	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆‘𝑁) ∈ V)
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑁) ∈ V)
6		fveq1 5506	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝑥‘𝑁) = (𝑆‘𝑁))
7		strnfvnd.c	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
8		df-slot 12431	. . . 4 ⊢ Slot 𝑁 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘𝑁))
9	7, 8	eqtri 2196	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘𝑁))
10	6, 9	fvmptg 5584	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ (𝑆‘𝑁) ∈ V) → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))
11	2, 5, 10	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  Vcvv 2735   ↦ cmpt 4059  ‘cfv 5208  ℕcn 8890  Slot cslot 12426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-sbc 2961  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-slot 12431

This theorem is referenced by:  strnfvn  12448  strfvssn  12449  strndxid  12455  strsetsid  12460  strslfvd  12468  strslfv2d  12469  setsslid  12477  setsslnid  12478  ressid  12490