Theorem strnfvnd 12641

Description: Deduction version of strnfvn 12642. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strnfvnd.c	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
strnfvnd.f	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
strnfvnd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
strnfvnd	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))

Proof of Theorem strnfvnd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strnfvnd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
2	1	elexd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
3		strnfvnd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		fvexg 5574	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆‘𝑁) ∈ V)
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑁) ∈ V)
6		fveq1 5554	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝑥‘𝑁) = (𝑆‘𝑁))
7		strnfvnd.c	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
8		df-slot 12625	. . . 4 ⊢ Slot 𝑁 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘𝑁))
9	7, 8	eqtri 2214	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘𝑁))
10	6, 9	fvmptg 5634	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ (𝑆‘𝑁) ∈ V) → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))
11	2, 5, 10	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ↦ cmpt 4091  ‘cfv 5255  ℕcn 8984  Slot cslot 12620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-slot 12625

This theorem is referenced by:  strnfvn  12642  strfvssn  12643  strndxid  12649  strsetsid  12654  strslfvd  12663  strslfv2d  12664  setsslid  12672  setsslnid  12673  basm  12682