Theorem strnfvnd 12484

Description: Deduction version of strnfvn 12485. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strnfvnd.c	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
strnfvnd.f	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
strnfvnd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
strnfvnd	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))

Proof of Theorem strnfvnd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strnfvnd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
2	1	elexd 2752	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
3		strnfvnd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		fvexg 5536	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆‘𝑁) ∈ V)
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑁) ∈ V)
6		fveq1 5516	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝑥‘𝑁) = (𝑆‘𝑁))
7		strnfvnd.c	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
8		df-slot 12468	. . . 4 ⊢ Slot 𝑁 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘𝑁))
9	7, 8	eqtri 2198	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘𝑁))
10	6, 9	fvmptg 5594	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ (𝑆‘𝑁) ∈ V) → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))
11	2, 5, 10	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   ↦ cmpt 4066  ‘cfv 5218  ℕcn 8921  Slot cslot 12463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-slot 12468

This theorem is referenced by:  strnfvn  12485  strfvssn  12486  strndxid  12492  strsetsid  12497  strslfvd  12506  strslfv2d  12507  setsslid  12515  setsslnid  12516