Theorem strnfvnd 12794

Description: Deduction version of strnfvn 12795. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strnfvnd.c	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
strnfvnd.f	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
strnfvnd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
strnfvnd	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))

Proof of Theorem strnfvnd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strnfvnd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
2	1	elexd 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
3		strnfvnd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		fvexg 5594	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆‘𝑁) ∈ V)
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑁) ∈ V)
6		fveq1 5574	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝑥‘𝑁) = (𝑆‘𝑁))
7		strnfvnd.c	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
8		df-slot 12778	. . . 4 ⊢ Slot 𝑁 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘𝑁))
9	7, 8	eqtri 2225	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘𝑁))
10	6, 9	fvmptg 5654	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ (𝑆‘𝑁) ∈ V) → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))
11	2, 5, 10	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771   ↦ cmpt 4104  ‘cfv 5270  ℕcn 9035  Slot cslot 12773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-slot 12778

This theorem is referenced by:  strnfvn  12795  strfvssn  12796  strndxid  12802  strsetsid  12807  strslfvd  12816  strslfv2d  12817  setsslid  12825  setsslnid  12826  basm  12835  edgfndxid  15550