Theorem strnfvnd 13067

Description: Deduction version of strnfvn 13068. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strnfvnd.c	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
strnfvnd.f	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
strnfvnd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
strnfvnd	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))

Proof of Theorem strnfvnd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strnfvnd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
2	1	elexd 2813	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
3		strnfvnd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		fvexg 5648	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆‘𝑁) ∈ V)
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑁) ∈ V)
6		fveq1 5628	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝑥‘𝑁) = (𝑆‘𝑁))
7		strnfvnd.c	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
8		df-slot 13051	. . . 4 ⊢ Slot 𝑁 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘𝑁))
9	7, 8	eqtri 2250	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘𝑁))
10	6, 9	fvmptg 5712	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ (𝑆‘𝑁) ∈ V) → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))
11	2, 5, 10	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ↦ cmpt 4145  ‘cfv 5318  ℕcn 9121  Slot cslot 13046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-slot 13051

This theorem is referenced by:  strnfvn  13068  strfvssn  13069  strndxid  13075  strsetsid  13080  strslfvd  13089  strslfv2d  13090  setsslid  13098  setsslnid  13099  basm  13109  edgfndxid  15825