ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2strbasg GIF version

Theorem 2strbasg 12512
Description: The base set of a constructed two-slot structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2str.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩}
2str.e 𝐸 = Slot 𝑁
2str.l 1 < 𝑁
2str.n 𝑁 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
2strbasg ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐵 = (Base‘𝐺))

Proof of Theorem 2strbasg
StepHypRef Expression
1 baseslid 12465 . 2 (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
2 2str.g . . 3 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩}
3 basendxnn 12464 . . . . . 6 (Base‘ndx) ∈ ℕ
43a1i 9 . . . . 5 ((𝐵𝑉+𝑊) → (Base‘ndx) ∈ ℕ)
5 simpl 108 . . . . 5 ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐵𝑉)
6 opexg 4211 . . . . 5 (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐵𝑉) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
74, 5, 6syl2anc 409 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
8 2str.e . . . . . . . 8 𝐸 = Slot 𝑁
9 2str.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℕ
108, 9ndxarg 12432 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) = 𝑁
1110, 9eqeltri 2243 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
1211a1i 9 . . . . 5 ((𝐵𝑉+𝑊) → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
13 simpr 109 . . . . 5 ((𝐵𝑉+𝑊) → +𝑊)
14 opexg 4211 . . . . 5 (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ +𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V)
1512, 13, 14syl2anc 409 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V)
16 prexg 4194 . . . 4 ((⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V ∧ ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩} ∈ V)
177, 15, 16syl2anc 409 . . 3 ((𝐵𝑉+𝑊) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩} ∈ V)
182, 17eqeltrid 2257 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐺 ∈ V)
193nnrei 8880 . . . . . 6 (Base‘ndx) ∈ ℝ
20 2str.l . . . . . . 7 1 < 𝑁
21 basendx 12463 . . . . . . 7 (Base‘ndx) = 1
2220, 21, 103brtr4i 4017 . . . . . 6 (Base‘ndx) < (𝐸‘ndx)
2319, 22ltneii 8009 . . . . 5 (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
2423a1i 9 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊) → (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx))
25 funprg 5246 . . . 4 ((((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ) ∧ (𝐵𝑉+𝑊) ∧ (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
264, 12, 5, 13, 24, 25syl221anc 1244 . . 3 ((𝐵𝑉+𝑊) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
272funeqi 5217 . . 3 (Fun 𝐺 ↔ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
2826, 27sylibr 133 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → Fun 𝐺)
29 prid1g 3685 . . . 4 (⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
307, 29syl 14 . . 3 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
3130, 2eleqtrrdi 2264 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ 𝐺)
321, 18, 28, 31strslfvd 12450 1 ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1348  wcel 2141  wne 2340  Vcvv 2730  {cpr 3582  cop 3584   class class class wbr 3987  Fun wfun 5190  cfv 5196  1c1 7768   < clt 7947  cn 8871  ndxcnx 12406  Slot cslot 12408  Basecbs 12409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1re 7861  ax-addrcl 7864  ax-pre-ltirr 7879
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-ltxr 7952  df-inn 8872  df-ndx 12412  df-slot 12413  df-base 12415
This theorem is referenced by:  grpbaseg  12519  eltpsg  12797
  Copyright terms: Public domain W3C validator