Theorem 2strbasg 12099

Description: The base set of a constructed two-slot structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2str.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩}
2str.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2str.l	⊢ 1 < 𝑁
2str.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
2strbasg	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐵 = (Base‘𝐺))

Proof of Theorem 2strbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseslid 12054	. 2 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
2		2str.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩}
3		basendxnn 12053	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → (Base‘ndx) ∈ ℕ)
5		simpl 108	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		opexg 4158	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
7	4, 5, 6	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
8		2str.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
9		2str.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10	8, 9	ndxarg 12021	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
11	10, 9	eqeltri 2213	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
12	11	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
13		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → + ∈ 𝑊)
14		opexg 4158	. . . . 5 ⊢ (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V)
15	12, 13, 14	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V)
16		prexg 4141	. . . 4 ⊢ ((⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V ∧ ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩} ∈ V)
17	7, 15, 16	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩} ∈ V)
18	2, 17	eqeltrid 2227	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐺 ∈ V)
19	3	nnrei 8753	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℝ
20		2str.l	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 𝑁
21		basendx 12052	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) = 1
22	20, 21, 10	3brtr4i 3966	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) < (𝐸‘ndx)
23	19, 22	ltneii 7884	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
24	23	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx))
25		funprg 5181	. . . 4 ⊢ ((((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) ∧ (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
26	4, 12, 5, 13, 24, 25	syl221anc 1228	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
27	2	funeqi 5152	. . 3 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
28	26, 27	sylibr 133	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → Fun 𝐺)
29		prid1g 3635	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
30	7, 29	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
31	30, 2	eleqtrrdi 2234	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ 𝐺)
32	1, 18, 28, 31	strslfvd 12039	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐵 = (Base‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309  Vcvv 2689  {cpr 3533  ⟨cop 3535   class class class wbr 3937  Fun wfun 5125  ‘cfv 5131  1c1 7645   < clt 7824  ℕcn 8744  ndxcnx 11995  Slot cslot 11997  Basecbs 11998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1re 7738  ax-addrcl 7741  ax-pre-ltirr 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-ltxr 7829  df-inn 8745  df-ndx 12001  df-slot 12002  df-base 12004

This theorem is referenced by:  grpbaseg  12106  eltpsg  12246