ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2strbasg GIF version

Theorem 2strbasg 12631
Description: The base set of a constructed two-slot structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2str.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩}
2str.e 𝐸 = Slot 𝑁
2str.l 1 < 𝑁
2str.n 𝑁 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
2strbasg ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐵 = (Base‘𝐺))

Proof of Theorem 2strbasg
StepHypRef Expression
1 baseslid 12569 . 2 (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
2 2str.g . . 3 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩}
3 basendxnn 12568 . . . . . 6 (Base‘ndx) ∈ ℕ
43a1i 9 . . . . 5 ((𝐵𝑉+𝑊) → (Base‘ndx) ∈ ℕ)
5 simpl 109 . . . . 5 ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐵𝑉)
6 opexg 4246 . . . . 5 (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐵𝑉) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
74, 5, 6syl2anc 411 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
8 2str.e . . . . . . . 8 𝐸 = Slot 𝑁
9 2str.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℕ
108, 9ndxarg 12535 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) = 𝑁
1110, 9eqeltri 2262 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
1211a1i 9 . . . . 5 ((𝐵𝑉+𝑊) → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
13 simpr 110 . . . . 5 ((𝐵𝑉+𝑊) → +𝑊)
14 opexg 4246 . . . . 5 (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ +𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V)
1512, 13, 14syl2anc 411 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V)
16 prexg 4229 . . . 4 ((⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V ∧ ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩} ∈ V)
177, 15, 16syl2anc 411 . . 3 ((𝐵𝑉+𝑊) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩} ∈ V)
182, 17eqeltrid 2276 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐺 ∈ V)
193nnrei 8958 . . . . . 6 (Base‘ndx) ∈ ℝ
20 2str.l . . . . . . 7 1 < 𝑁
21 basendx 12567 . . . . . . 7 (Base‘ndx) = 1
2220, 21, 103brtr4i 4048 . . . . . 6 (Base‘ndx) < (𝐸‘ndx)
2319, 22ltneii 8084 . . . . 5 (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
2423a1i 9 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊) → (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx))
25 funprg 5285 . . . 4 ((((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ) ∧ (𝐵𝑉+𝑊) ∧ (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
264, 12, 5, 13, 24, 25syl221anc 1260 . . 3 ((𝐵𝑉+𝑊) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
272funeqi 5256 . . 3 (Fun 𝐺 ↔ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
2826, 27sylibr 134 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → Fun 𝐺)
29 prid1g 3711 . . . 4 (⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
307, 29syl 14 . . 3 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
3130, 2eleqtrrdi 2283 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ 𝐺)
321, 18, 28, 31strslfvd 12554 1 ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  wne 2360  Vcvv 2752  {cpr 3608  cop 3610   class class class wbr 4018  Fun wfun 5229  cfv 5235  1c1 7842   < clt 8022  cn 8949  ndxcnx 12509  Slot cslot 12511  Basecbs 12512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1re 7935  ax-addrcl 7938  ax-pre-ltirr 7953
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-ltxr 8027  df-inn 8950  df-ndx 12515  df-slot 12516  df-base 12518
This theorem is referenced by:  grpbaseg  12638  eltpsg  14000
  Copyright terms: Public domain W3C validator