Theorem 2strbasg 13027

Description: The base set of a constructed two-slot structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2str.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩}
2str.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2str.l	⊢ 1 < 𝑁
2str.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
2strbasg	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐵 = (Base‘𝐺))

Proof of Theorem 2strbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseslid 12964	. 2 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
2		2str.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩}
3		basendxnn 12963	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → (Base‘ndx) ∈ ℕ)
5		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		opexg 4280	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V)
8		2str.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
9		2str.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10	8, 9	ndxarg 12930	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
11	10, 9	eqeltri 2279	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
12	11	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
13		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → + ∈ 𝑊)
14		opexg 4280	. . . . 5 ⊢ (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V)
15	12, 13, 14	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V)
16		prexg 4263	. . . 4 ⊢ ((⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V ∧ ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ ∈ V) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩} ∈ V)
17	7, 15, 16	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩} ∈ V)
18	2, 17	eqeltrid 2293	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐺 ∈ V)
19	3	nnrei 9065	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℝ
20		2str.l	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 𝑁
21		basendx 12962	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) = 1
22	20, 21, 10	3brtr4i 4081	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) < (𝐸‘ndx)
23	19, 22	ltneii 8189	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
24	23	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx))
25		funprg 5333	. . . 4 ⊢ ((((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) ∧ (Base‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
26	4, 12, 5, 13, 24, 25	syl221anc 1261	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
27	2	funeqi 5301	. . 3 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ Fun {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
28	26, 27	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → Fun 𝐺)
29		prid1g 3742	. . . 4 ⊢ (⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
30	7, 29	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩})
31	30, 2	eleqtrrdi 2300	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ 𝐺)
32	1, 18, 28, 31	strslfvd 12949	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐵 = (Base‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  Vcvv 2773  {cpr 3639  ⟨cop 3641   class class class wbr 4051  Fun wfun 5274  ‘cfv 5280  1c1 7946   < clt 8127  ℕcn 9056  ndxcnx 12904  Slot cslot 12906  Basecbs 12907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1re 8039  ax-addrcl 8042  ax-pre-ltirr 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913

This theorem is referenced by:  grpbaseg  13034  eltpsg  14587