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Theorem axdc3lem4 9560
Description: Lemma for axdc3 9561. We have constructed a "candidate set" 𝑆, which consists of all finite sequences 𝑠 that satisfy our property of interest, namely 𝑠(𝑥 + 1) ∈ 𝐹(𝑠(𝑥)) on its domain, but with the added constraint that 𝑠(0) = 𝐶. These sets are possible "initial segments" of the infinite sequence satisfying these constraints, but we can leverage the standard ax-dc 9553 (with no initial condition) to select a sequence of ever-lengthening finite sequences, namely (𝑛):𝑚𝐴 (for some integer 𝑚). We let our "choice" function select a sequence whose domain is one more than the last one, and agrees with the previous one on its domain. Thus, the application of vanilla ax-dc 9553 yields a sequence of sequences whose domains increase without bound, and whose union is a function which has all the properties we want. In this lemma, we show that 𝑆 is nonempty, and that 𝐺 always maps to a nonempty subset of 𝑆, so that we can apply axdc2 9556. See axdc3lem2 9558 for the rest of the proof. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axdc3lem4.1 𝐴 ∈ V
axdc3lem4.2 𝑆 = {𝑠 ∣ ∃𝑛 ∈ ω (𝑠:suc 𝑛𝐴 ∧ (𝑠‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑛 (𝑠‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑠𝑘)))}
axdc3lem4.3 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)})
Assertion
Ref Expression
axdc3lem4 ((𝐶𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑔𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑘   𝐴,𝑛,𝑥,𝑘,𝑠   𝐶,𝑔,𝑘   𝐶,𝑛,𝑠   𝑔,𝐹,𝑘   𝑛,𝐹,𝑥,𝑠   𝑘,𝐺   𝑆,𝑘,𝑠,𝑥   𝑦,𝑆,𝑥   𝑛,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑔,𝑛)   𝐹(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑔,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem axdc3lem4
Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano1 7315 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
2 eqid 2806 . . . . . . . . . 10 {⟨∅, 𝐶⟩} = {⟨∅, 𝐶⟩}
3 fsng 6627 . . . . . . . . . . 11 ((∅ ∈ ω ∧ 𝐶𝐴) → ({⟨∅, 𝐶⟩}:{∅}⟶{𝐶} ↔ {⟨∅, 𝐶⟩} = {⟨∅, 𝐶⟩}))
41, 3mpan 673 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐴 → ({⟨∅, 𝐶⟩}:{∅}⟶{𝐶} ↔ {⟨∅, 𝐶⟩} = {⟨∅, 𝐶⟩}))
52, 4mpbiri 249 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → {⟨∅, 𝐶⟩}:{∅}⟶{𝐶})
6 snssi 4529 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → {𝐶} ⊆ 𝐴)
75, 6fssd 6270 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → {⟨∅, 𝐶⟩}:{∅}⟶𝐴)
8 suc0 6012 . . . . . . . . 9 suc ∅ = {∅}
98feq2i 6248 . . . . . . . 8 ({⟨∅, 𝐶⟩}:suc ∅⟶𝐴 ↔ {⟨∅, 𝐶⟩}:{∅}⟶𝐴)
107, 9sylibr 225 . . . . . . 7 (𝐶𝐴 → {⟨∅, 𝐶⟩}:suc ∅⟶𝐴)
11 fvsng 6672 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ ω ∧ 𝐶𝐴) → ({⟨∅, 𝐶⟩}‘∅) = 𝐶)
121, 11mpan 673 . . . . . . 7 (𝐶𝐴 → ({⟨∅, 𝐶⟩}‘∅) = 𝐶)
13 ral0 4271 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ ∅ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘({⟨∅, 𝐶⟩}‘𝑘))
1413a1i 11 . . . . . . 7 (𝐶𝐴 → ∀𝑘 ∈ ∅ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘({⟨∅, 𝐶⟩}‘𝑘)))
1510, 12, 143jca 1151 . . . . . 6 (𝐶𝐴 → ({⟨∅, 𝐶⟩}:suc ∅⟶𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘({⟨∅, 𝐶⟩}‘𝑘))))
16 suceq 6003 . . . . . . . . 9 (𝑚 = ∅ → suc 𝑚 = suc ∅)
1716feq2d 6242 . . . . . . . 8 (𝑚 = ∅ → ({⟨∅, 𝐶⟩}:suc 𝑚𝐴 ↔ {⟨∅, 𝐶⟩}:suc ∅⟶𝐴))
18 raleq 3327 . . . . . . . 8 (𝑚 = ∅ → (∀𝑘𝑚 ({⟨∅, 𝐶⟩}‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘({⟨∅, 𝐶⟩}‘𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘({⟨∅, 𝐶⟩}‘𝑘))))
1917, 183anbi13d 1555 . . . . . . 7 (𝑚 = ∅ → (({⟨∅, 𝐶⟩}:suc 𝑚𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑚 ({⟨∅, 𝐶⟩}‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘({⟨∅, 𝐶⟩}‘𝑘))) ↔ ({⟨∅, 𝐶⟩}:suc ∅⟶𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘({⟨∅, 𝐶⟩}‘𝑘)))))
2019rspcev 3502 . . . . . 6 ((∅ ∈ ω ∧ ({⟨∅, 𝐶⟩}:suc ∅⟶𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘({⟨∅, 𝐶⟩}‘𝑘)))) → ∃𝑚 ∈ ω ({⟨∅, 𝐶⟩}:suc 𝑚𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑚 ({⟨∅, 𝐶⟩}‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘({⟨∅, 𝐶⟩}‘𝑘))))
211, 15, 20sylancr 577 . . . . 5 (𝐶𝐴 → ∃𝑚 ∈ ω ({⟨∅, 𝐶⟩}:suc 𝑚𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑚 ({⟨∅, 𝐶⟩}‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘({⟨∅, 𝐶⟩}‘𝑘))))
22 axdc3lem4.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
23 axdc3lem4.2 . . . . . 6 𝑆 = {𝑠 ∣ ∃𝑛 ∈ ω (𝑠:suc 𝑛𝐴 ∧ (𝑠‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑛 (𝑠‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑠𝑘)))}
24 snex 5098 . . . . . 6 {⟨∅, 𝐶⟩} ∈ V
2522, 23, 24axdc3lem3 9559 . . . . 5 ({⟨∅, 𝐶⟩} ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑚 ∈ ω ({⟨∅, 𝐶⟩}:suc 𝑚𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑚 ({⟨∅, 𝐶⟩}‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘({⟨∅, 𝐶⟩}‘𝑘))))
2621, 25sylibr 225 . . . 4 (𝐶𝐴 → {⟨∅, 𝐶⟩} ∈ 𝑆)
2726ne0d 4123 . . 3 (𝐶𝐴𝑆 ≠ ∅)
28 ssrab2 3884 . . . . . . 7 {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ⊆ 𝑆
2922, 23axdc3lem 9557 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ V
3029elpw2 5020 . . . . . . 7 ({𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ⊆ 𝑆)
3128, 30mpbir 222 . . . . . 6 {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ∈ 𝒫 𝑆
3231a1i 11 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥𝑆) → {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ∈ 𝒫 𝑆)
33 vex 3394 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
3422, 23, 33axdc3lem3 9559 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑆 ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝑥:suc 𝑚𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘))))
35 simp2 1160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → 𝑥:suc 𝑚𝐴)
36 vex 3394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑚 ∈ V
3736sucid 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑚 ∈ suc 𝑚
38 ffvelrn 6579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ suc 𝑚) → (𝑥𝑚) ∈ 𝐴)
3937, 38mpan2 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥:suc 𝑚𝐴 → (𝑥𝑚) ∈ 𝐴)
40 ffvelrn 6579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝑥𝑚) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
4139, 40sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
42 eldifn 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ¬ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ {∅})
43 fvex 6421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ V
4443elsn 4385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ {∅} ↔ (𝐹‘(𝑥𝑚)) = ∅)
4544necon3bbii 3025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ {∅} ↔ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ≠ ∅)
46 n0 4132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹‘(𝑥𝑚)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)))
4745, 46bitri 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ {∅} ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)))
4842, 47sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)))
4941, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)))
50 simp32 1260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω)) → 𝑥:suc 𝑚𝐴)
51 eldifi 3931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ 𝒫 𝐴)
52 elelpwi 4364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑧𝐴)
5352expcom 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ 𝒫 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → 𝑧𝐴))
5441, 51, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → 𝑧𝐴))
55 peano2 7316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑚 ∈ ω → suc 𝑚 ∈ ω)
56553ad2ant3 1158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → suc 𝑚 ∈ ω)
57563ad2ant1 1156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶)) → suc 𝑚 ∈ ω)
58 simplr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥:suc 𝑚𝐴)
5933dmex 7329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 dom 𝑥 ∈ V
60 vex 3394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 𝑧 ∈ V
61 eqid 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} = {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}
62 fsng 6627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((dom 𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}:{dom 𝑥}⟶{𝑧} ↔ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} = {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
6361, 62mpbiri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((dom 𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}:{dom 𝑥}⟶{𝑧})
6459, 60, 63mp2an 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}:{dom 𝑥}⟶{𝑧}
65 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
6665snssd 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
67 fss 6269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}:{dom 𝑥}⟶{𝑧} ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) → {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}:{dom 𝑥}⟶𝐴)
6864, 66, 67sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}:{dom 𝑥}⟶𝐴)
69 fdm 6264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑥:suc 𝑚𝐴 → dom 𝑥 = suc 𝑚)
7055adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑚 ∈ ω ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → suc 𝑚 ∈ ω)
71 eleq1 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (dom 𝑥 = suc 𝑚 → (dom 𝑥 ∈ ω ↔ suc 𝑚 ∈ ω))
7271adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑚 ∈ ω ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → (dom 𝑥 ∈ ω ↔ suc 𝑚 ∈ ω))
7370, 72mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑚 ∈ ω ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → dom 𝑥 ∈ ω)
74 nnord 7303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (dom 𝑥 ∈ ω → Ord dom 𝑥)
75 ordirr 5954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (Ord dom 𝑥 → ¬ dom 𝑥 ∈ dom 𝑥)
7673, 74, 753syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑚 ∈ ω ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → ¬ dom 𝑥 ∈ dom 𝑥)
77 eleq2 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (dom 𝑥 = suc 𝑚 → (dom 𝑥 ∈ dom 𝑥 ↔ dom 𝑥 ∈ suc 𝑚))
7877adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑚 ∈ ω ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → (dom 𝑥 ∈ dom 𝑥 ↔ dom 𝑥 ∈ suc 𝑚))
7976, 78mtbid 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑚 ∈ ω ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → ¬ dom 𝑥 ∈ suc 𝑚)
80 disjsn 4438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((suc 𝑚 ∩ {dom 𝑥}) = ∅ ↔ ¬ dom 𝑥 ∈ suc 𝑚)
8179, 80sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑚 ∈ ω ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → (suc 𝑚 ∩ {dom 𝑥}) = ∅)
8269, 81sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (suc 𝑚 ∩ {dom 𝑥}) = ∅)
8382adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (suc 𝑚 ∩ {dom 𝑥}) = ∅)
84 fun2 6282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑥:suc 𝑚𝐴 ∧ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}:{dom 𝑥}⟶𝐴) ∧ (suc 𝑚 ∩ {dom 𝑥}) = ∅) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):(suc 𝑚 ∪ {dom 𝑥})⟶𝐴)
8558, 68, 83, 84syl21anc 857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):(suc 𝑚 ∪ {dom 𝑥})⟶𝐴)
86 sneq 4380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (dom 𝑥 = suc 𝑚 → {dom 𝑥} = {suc 𝑚})
8786uneq2d 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (dom 𝑥 = suc 𝑚 → (suc 𝑚 ∪ {dom 𝑥}) = (suc 𝑚 ∪ {suc 𝑚}))
88 df-suc 5942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 suc suc 𝑚 = (suc 𝑚 ∪ {suc 𝑚})
8987, 88syl6eqr 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (dom 𝑥 = suc 𝑚 → (suc 𝑚 ∪ {dom 𝑥}) = suc suc 𝑚)
9069, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥:suc 𝑚𝐴 → (suc 𝑚 ∪ {dom 𝑥}) = suc suc 𝑚)
9190ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (suc 𝑚 ∪ {dom 𝑥}) = suc suc 𝑚)
9291feq2d 6242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):(suc 𝑚 ∪ {dom 𝑥})⟶𝐴 ↔ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc suc 𝑚𝐴))
9385, 92mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc suc 𝑚𝐴)
9493ex 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧𝐴 → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc suc 𝑚𝐴))
9594adantrd 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc suc 𝑚𝐴))
9695a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc suc 𝑚𝐴)))
9796ancoms 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc suc 𝑚𝐴)))
98973adant1 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc suc 𝑚𝐴)))
99983imp 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶)) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc suc 𝑚𝐴)
100 ffun 6259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑥:suc 𝑚𝐴 → Fun 𝑥)
101100adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → Fun 𝑥)
10259, 60funsn 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Fun {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}
103101, 102jctir 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (Fun 𝑥 ∧ Fun {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
10460dmsnop 5821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} = {dom 𝑥}
105104ineq2i 4010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (dom 𝑥 ∩ dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) = (dom 𝑥 ∩ {dom 𝑥})
106 disjsn 4438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((dom 𝑥 ∩ {dom 𝑥}) = ∅ ↔ ¬ dom 𝑥 ∈ dom 𝑥)
10776, 106sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑚 ∈ ω ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → (dom 𝑥 ∩ {dom 𝑥}) = ∅)
108105, 107syl5eq 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑚 ∈ ω ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → (dom 𝑥 ∩ dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) = ∅)
10969, 108sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (dom 𝑥 ∩ dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) = ∅)
110 funun 6146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((Fun 𝑥 ∧ Fun {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∧ (dom 𝑥 ∩ dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) = ∅) → Fun (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
111103, 109, 110syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → Fun (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
112 ssun1 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
114 nnord 7303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑚 ∈ ω → Ord 𝑚)
115 0elsuc 7265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (Ord 𝑚 → ∅ ∈ suc 𝑚)
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑚 ∈ ω → ∅ ∈ suc 𝑚)
117116adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ∅ ∈ suc 𝑚)
11869eleq2d 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥:suc 𝑚𝐴 → (∅ ∈ dom 𝑥 ↔ ∅ ∈ suc 𝑚))
119118adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (∅ ∈ dom 𝑥 ↔ ∅ ∈ suc 𝑚))
120117, 119mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ∅ ∈ dom 𝑥)
121 funssfv 6429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((Fun (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∧ ∅ ∈ dom 𝑥) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = (𝑥‘∅))
122111, 113, 120, 121syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = (𝑥‘∅))
123122eqeq1d 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶 ↔ (𝑥‘∅) = 𝐶))
124123ancoms 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → (((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶 ↔ (𝑥‘∅) = 𝐶))
1251243adant1 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → (((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶 ↔ (𝑥‘∅) = 𝐶))
126125biimpar 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶)
127126adantrl 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶)
1281273adant2 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶)
129 nfra1 3129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 𝑘𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘))
130 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 𝑘 𝑥:suc 𝑚𝐴
131 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 𝑘 𝑚 ∈ ω
132129, 130, 131nf3an 1993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 𝑘(∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω)
133 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 𝑘 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚))
134 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 𝑘(𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶)
135132, 133, 134nf3an 1993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 𝑘((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶))
136 simplr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → 𝑘 ∈ suc 𝑚)
137 elsuci 6004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑘 ∈ suc 𝑚 → (𝑘𝑚𝑘 = 𝑚))
138 rsp 3117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) → (𝑘𝑚 → (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘))))
139138impcom 396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((𝑘𝑚 ∧ ∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘))) → (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)))
140139ad2ant2lr 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚)) → (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)))
1411403adant3 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)))
142111adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → Fun (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
143112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
144 ordsucelsuc 7252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 (Ord 𝑚 → (𝑘𝑚 ↔ suc 𝑘 ∈ suc 𝑚))
145114, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 (𝑚 ∈ ω → (𝑘𝑚 ↔ suc 𝑘 ∈ suc 𝑚))
146145biimpa 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) → suc 𝑘 ∈ suc 𝑚)
147 eleq2 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 (dom 𝑥 = suc 𝑚 → (suc 𝑘 ∈ dom 𝑥 ↔ suc 𝑘 ∈ suc 𝑚))
148147biimparc 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((suc 𝑘 ∈ suc 𝑚 ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → suc 𝑘 ∈ dom 𝑥)
149146, 69, 148syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → suc 𝑘 ∈ dom 𝑥)
150 funssfv 6429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((Fun (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∧ suc 𝑘 ∈ dom 𝑥) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) = (𝑥‘suc 𝑘))
151142, 143, 149, 150syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) = (𝑥‘suc 𝑘))
1521513adant2 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) = (𝑥‘suc 𝑘))
1531113adant2 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → Fun (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
154112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
155 eleq2 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 (dom 𝑥 = suc 𝑚 → (𝑘 ∈ dom 𝑥𝑘 ∈ suc 𝑚))
156155biimparc 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ((𝑘 ∈ suc 𝑚 ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → 𝑘 ∈ dom 𝑥)
15769, 156sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ((𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → 𝑘 ∈ dom 𝑥)
1581573adant1 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → 𝑘 ∈ dom 𝑥)
159 funssfv 6429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((Fun (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑥) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘) = (𝑥𝑘))
160153, 154, 158, 159syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘) = (𝑥𝑘))
1611603adant1r 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘) = (𝑥𝑘))
162161fveq2d 6412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)) = (𝐹‘(𝑥𝑘)))
163152, 162eleq12d 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → (((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)) ↔ (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘))))
1641633adant2l 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)) ↔ (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘))))
165141, 164mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)))
166165a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))
1671663expib 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) → (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)))))
168167expcom 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑘𝑚 → (𝑚 ∈ ω → (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))))
1691113adant1 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → Fun (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
170 ssun2 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ⊆ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})
171170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ⊆ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
172 suceq 6003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 (𝑘 = 𝑚 → suc 𝑘 = suc 𝑚)
173172eqeq2d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 (𝑘 = 𝑚 → (dom 𝑥 = suc 𝑘 ↔ dom 𝑥 = suc 𝑚))
174173biimpar 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ((𝑘 = 𝑚 ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → dom 𝑥 = suc 𝑘)
17559snid 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 dom 𝑥 ∈ {dom 𝑥}
176175, 104eleqtrri 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 dom 𝑥 ∈ dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}
177174, 176syl6eqelr 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ((𝑘 = 𝑚 ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → suc 𝑘 ∈ dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})
17869, 177sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ((𝑘 = 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → suc 𝑘 ∈ dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})
1791783adant2 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → suc 𝑘 ∈ dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})
180 funssfv 6429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((Fun (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∧ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ⊆ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∧ suc 𝑘 ∈ dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) = ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}‘suc 𝑘))
181169, 171, 179, 180syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) = ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}‘suc 𝑘))
1821743adant2 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → dom 𝑥 = suc 𝑘)
18359, 60fvsn 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}‘dom 𝑥) = 𝑧
184 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 (dom 𝑥 = suc 𝑘 → ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}‘dom 𝑥) = ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}‘suc 𝑘))
185183, 184syl5reqr 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 (dom 𝑥 = suc 𝑘 → ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}‘suc 𝑘) = 𝑧)
186182, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}‘suc 𝑘) = 𝑧)
18769, 186syl3an3 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}‘suc 𝑘) = 𝑧)
188181, 187eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) = 𝑧)
1891883expa 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) = 𝑧)
1901893adant2 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) = 𝑧)
1911603adant1l 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘) = (𝑥𝑘))
192 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (𝑘 = 𝑚 → (𝑥𝑘) = (𝑥𝑚))
193192adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω) → (𝑥𝑘) = (𝑥𝑚))
1941933ad2ant1 1156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑥𝑘) = (𝑥𝑚))
195191, 194eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘) = (𝑥𝑚))
196195fveq2d 6412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)) = (𝐹‘(𝑥𝑚)))
197190, 196eleq12d 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → (((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚))))
1981973adant2l 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω) ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚))))
199198biimprd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω) ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))
2001993expib 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω) → (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)))))
201200ex 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑘 = 𝑚 → (𝑚 ∈ ω → (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))))
202168, 201jaoi 875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑘𝑚𝑘 = 𝑚) → (𝑚 ∈ ω → (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))))
203137, 202syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑘 ∈ suc 𝑚 → (𝑚 ∈ ω → (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))))
204203com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑘 ∈ suc 𝑚 → (𝑚 ∈ ω → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))))
205136, 204mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑚 ∈ ω → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)))))
206205ex 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) → (𝑥:suc 𝑚𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))))
207206expcom 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑘 ∈ suc 𝑚 → (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) → (𝑥:suc 𝑚𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)))))))
2082073impd 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ suc 𝑚 → ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)))))
209208impd 398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ suc 𝑚 → (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚))) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))
210209com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚))) → (𝑘 ∈ suc 𝑚 → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))
2112103adant3 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶)) → (𝑘 ∈ suc 𝑚 → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))
212135, 211ralrimi 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶)) → ∀𝑘 ∈ suc 𝑚((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)))
213 suceq 6003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑝 = suc 𝑚 → suc 𝑝 = suc suc 𝑚)
214213feq2d 6242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑝 = suc 𝑚 → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc 𝑝𝐴 ↔ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc suc 𝑚𝐴))
215 raleq 3327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑝 = suc 𝑚 → (∀𝑘𝑝 ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑚((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))
216214, 2153anbi13d 1555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑝 = suc 𝑚 → (((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc 𝑝𝐴 ∧ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑝 ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))) ↔ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc suc 𝑚𝐴 ∧ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝑚((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)))))
217216rspcev 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((suc 𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc suc 𝑚𝐴 ∧ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝑚((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)))) → ∃𝑝 ∈ ω ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc 𝑝𝐴 ∧ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑝 ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))
21857, 99, 128, 212, 217syl13anc 1484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶)) → ∃𝑝 ∈ ω ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc 𝑝𝐴 ∧ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑝 ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))
219 snex 5098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ∈ V
22033, 219unex 7186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ V
22122, 23, 220axdc3lem3 9559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑝 ∈ ω ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc 𝑝𝐴 ∧ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑝 ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))
222218, 221sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶)) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆)
2232223coml 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶) ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆)
2242233exp 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶) → ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆)))
225224expd 402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → (𝑧𝐴 → ((𝑥‘∅) = 𝐶 → ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆))))
22654, 225sylcom 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥‘∅) = 𝐶 → ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆))))
2272263impd 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆))
228227ex 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → (𝑥:suc 𝑚𝐴 → ((𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆)))
229228com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ((𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω)) → (𝑥:suc 𝑚𝐴 → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆)))
23050, 229mpdi 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ((𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆))
231230imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω))) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆)
232 resundir 5615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ↾ dom 𝑥) = ((𝑥 ↾ dom 𝑥) ∪ ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ↾ dom 𝑥))
233 frel 6261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥:suc 𝑚𝐴 → Rel 𝑥)
234 resdm 5646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (Rel 𝑥 → (𝑥 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)
235233, 234syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥:suc 𝑚𝐴 → (𝑥 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)
236235adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑥 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)
23769, 73sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → dom 𝑥 ∈ ω)
23874, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (dom 𝑥 ∈ ω → ¬ dom 𝑥 ∈ dom 𝑥)
239 incom 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ({dom 𝑥} ∩ dom 𝑥) = (dom 𝑥 ∩ {dom 𝑥})
240239eqeq1i 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (({dom 𝑥} ∩ dom 𝑥) = ∅ ↔ (dom 𝑥 ∩ {dom 𝑥}) = ∅)
24159, 60fnsn 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} Fn {dom 𝑥}
242 fnresdisj 6212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} Fn {dom 𝑥} → (({dom 𝑥} ∩ dom 𝑥) = ∅ ↔ ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ↾ dom 𝑥) = ∅))
243241, 242ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (({dom 𝑥} ∩ dom 𝑥) = ∅ ↔ ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ↾ dom 𝑥) = ∅)
244240, 243, 1063bitr3ri 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (¬ dom 𝑥 ∈ dom 𝑥 ↔ ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ↾ dom 𝑥) = ∅)
245238, 244sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (dom 𝑥 ∈ ω → ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ↾ dom 𝑥) = ∅)
246237, 245syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ↾ dom 𝑥) = ∅)
247236, 246uneq12d 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ↾ dom 𝑥) ∪ ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ↾ dom 𝑥)) = (𝑥 ∪ ∅))
248 un0 4165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∪ ∅) = 𝑥
249247, 248syl6eq 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ↾ dom 𝑥) ∪ ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ↾ dom 𝑥)) = 𝑥)
250232, 249syl5eq 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ↾ dom 𝑥) = 𝑥)
251250ancoms 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ↾ dom 𝑥) = 𝑥)
2522513adant1 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ↾ dom 𝑥) = 𝑥)
2532523ad2ant3 1158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ↾ dom 𝑥) = 𝑥)
254253adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω))) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ↾ dom 𝑥) = 𝑥)
255104uneq2i 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (dom 𝑥 ∪ dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) = (dom 𝑥 ∪ {dom 𝑥})
256 dmun 5532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 dom (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) = (dom 𝑥 ∪ dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})
257 df-suc 5942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 suc dom 𝑥 = (dom 𝑥 ∪ {dom 𝑥})
258255, 256, 2573eqtr4i 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 dom (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) = suc dom 𝑥
259254, 258jctil 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω))) → (dom (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) = suc dom 𝑥 ∧ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ↾ dom 𝑥) = 𝑥))
260 dmeq 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) → dom 𝑦 = dom (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
261260eqeq1d 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) → (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ↔ dom (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) = suc dom 𝑥))
262 reseq1 5591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) → (𝑦 ↾ dom 𝑥) = ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ↾ dom 𝑥))
263262eqeq1d 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) → ((𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥 ↔ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ↾ dom 𝑥) = 𝑥))
264261, 263anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) → ((dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥) ↔ (dom (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) = suc dom 𝑥 ∧ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ↾ dom 𝑥) = 𝑥)))
265264rspcev 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆 ∧ (dom (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) = suc dom 𝑥 ∧ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ↾ dom 𝑥) = 𝑥)) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))
266231, 259, 265syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω))) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))
2672663exp2 1456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥‘∅) = 𝐶 → ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)))))
268267exlimdv 2024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥‘∅) = 𝐶 → ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)))))
269268adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥‘∅) = 𝐶 → ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)))))
27049, 269mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥‘∅) = 𝐶 → ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))))
271270com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥‘∅) = 𝐶 → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))))
27235, 271mpan2d 677 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ((𝑥‘∅) = 𝐶 → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))))
273272com3r 87 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥‘∅) = 𝐶 → ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))))
2742733expd 1455 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥‘∅) = 𝐶 → (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) → (𝑥:suc 𝑚𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))))))
275274com3r 87 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥:suc 𝑚𝐴 → ((𝑥‘∅) = 𝐶 → (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) → (𝑚 ∈ ω → (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))))))
2762753imp 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥:suc 𝑚𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘))) → (𝑚 ∈ ω → (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))))
277276com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ω → ((𝑥:suc 𝑚𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘))) → (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))))
278277rexlimiv 3215 . . . . . . . . 9 (∃𝑚 ∈ ω (𝑥:suc 𝑚𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘))) → (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)))
27934, 278sylbi 208 . . . . . . . 8 (𝑥𝑆 → (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)))
280279impcom 396 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥𝑆) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))
281 rabn0 4158 . . . . . . 7 ({𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))
282280, 281sylibr 225 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥𝑆) → {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ≠ ∅)
28329rabex 5007 . . . . . . . 8 {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ∈ V
284283elsn 4385 . . . . . . 7 ({𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ∈ {∅} ↔ {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} = ∅)
285284necon3bbii 3025 . . . . . 6 (¬ {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ∈ {∅} ↔ {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ≠ ∅)
286282, 285sylibr 225 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥𝑆) → ¬ {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ∈ {∅})
28732, 286eldifd 3780 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥𝑆) → {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ∈ (𝒫 𝑆 ∖ {∅}))
288 axdc3lem4.3 . . . 4 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)})
289287, 288fmptd 6606 . . 3 (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → 𝐺:𝑆⟶(𝒫 𝑆 ∖ {∅}))
29029axdc2 9556 . . 3 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝐺:𝑆⟶(𝒫 𝑆 ∖ {∅})) → ∃(:ω⟶𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))))
29127, 289, 290syl2an 585 . 2 ((𝐶𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃(:ω⟶𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))))
29222, 23, 288axdc3lem2 9558 . 2 (∃(:ω⟶𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑔𝑘))))
293291, 292syl 17 1 ((𝐶𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑔𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865  w3a 1100   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2156  {cab 2792  wne 2978  wral 3096  wrex 3097  {crab 3100  Vcvv 3391  cdif 3766  cun 3767  cin 3768  wss 3769  c0 4116  𝒫 cpw 4351  {csn 4370  cop 4376  cmpt 4923  dom cdm 5311  cres 5313  Rel wrel 5316  Ord word 5935  suc csuc 5938  Fun wfun 6095   Fn wfn 6096  wf 6097  cfv 6101  ωcom 7295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-dc 9553
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-om 7296  df-1o 7796
This theorem is referenced by:  axdc3  9561
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