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Theorem axdc3lem4 10450
Description: Lemma for axdc3 10451. We have constructed a "candidate set" 𝑆, which consists of all finite sequences 𝑠 that satisfy our property of interest, namely 𝑠(𝑥 + 1) ∈ 𝐹(𝑠(𝑥)) on its domain, but with the added constraint that 𝑠(0) = 𝐶. These sets are possible "initial segments" of the infinite sequence satisfying these constraints, but we can leverage the standard ax-dc 10443 (with no initial condition) to select a sequence of ever-lengthening finite sequences, namely (𝑛):𝑚𝐴 (for some integer 𝑚). We let our "choice" function select a sequence whose domain is one more than the last one, and agrees with the previous one on its domain. Thus, the application of vanilla ax-dc 10443 yields a sequence of sequences whose domains increase without bound, and whose union is a function which has all the properties we want. In this lemma, we show that 𝑆 is nonempty, and that 𝐺 always maps to a nonempty subset of 𝑆, so that we can apply axdc2 10446. See axdc3lem2 10448 for the rest of the proof. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axdc3lem4.1 𝐴 ∈ V
axdc3lem4.2 𝑆 = {𝑠 ∣ ∃𝑛 ∈ ω (𝑠:suc 𝑛𝐴 ∧ (𝑠‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑛 (𝑠‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑠𝑘)))}
axdc3lem4.3 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)})
Assertion
Ref Expression
axdc3lem4 ((𝐶𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑔𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑘   𝐴,𝑛,𝑥,𝑘,𝑠   𝐶,𝑔,𝑘   𝐶,𝑛,𝑠   𝑔,𝐹,𝑘   𝑛,𝐹,𝑥,𝑠   𝑘,𝐺   𝑆,𝑘,𝑠,𝑥   𝑦,𝑆,𝑥   𝑛,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑔,𝑛)   𝐹(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑔,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem axdc3lem4
Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano1 7881 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
2 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 {⟨∅, 𝐶⟩} = {⟨∅, 𝐶⟩}
3 fsng 7136 . . . . . . . . . . 11 ((∅ ∈ ω ∧ 𝐶𝐴) → ({⟨∅, 𝐶⟩}:{∅}⟶{𝐶} ↔ {⟨∅, 𝐶⟩} = {⟨∅, 𝐶⟩}))
41, 3mpan 686 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝐴 → ({⟨∅, 𝐶⟩}:{∅}⟶{𝐶} ↔ {⟨∅, 𝐶⟩} = {⟨∅, 𝐶⟩}))
52, 4mpbiri 257 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → {⟨∅, 𝐶⟩}:{∅}⟶{𝐶})
6 snssi 4810 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → {𝐶} ⊆ 𝐴)
75, 6fssd 6734 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → {⟨∅, 𝐶⟩}:{∅}⟶𝐴)
8 suc0 6438 . . . . . . . . 9 suc ∅ = {∅}
98feq2i 6708 . . . . . . . 8 ({⟨∅, 𝐶⟩}:suc ∅⟶𝐴 ↔ {⟨∅, 𝐶⟩}:{∅}⟶𝐴)
107, 9sylibr 233 . . . . . . 7 (𝐶𝐴 → {⟨∅, 𝐶⟩}:suc ∅⟶𝐴)
11 fvsng 7179 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ ω ∧ 𝐶𝐴) → ({⟨∅, 𝐶⟩}‘∅) = 𝐶)
121, 11mpan 686 . . . . . . 7 (𝐶𝐴 → ({⟨∅, 𝐶⟩}‘∅) = 𝐶)
13 ral0 4511 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ ∅ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘({⟨∅, 𝐶⟩}‘𝑘))
1413a1i 11 . . . . . . 7 (𝐶𝐴 → ∀𝑘 ∈ ∅ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘({⟨∅, 𝐶⟩}‘𝑘)))
1510, 12, 143jca 1126 . . . . . 6 (𝐶𝐴 → ({⟨∅, 𝐶⟩}:suc ∅⟶𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘({⟨∅, 𝐶⟩}‘𝑘))))
16 suceq 6429 . . . . . . . . 9 (𝑚 = ∅ → suc 𝑚 = suc ∅)
1716feq2d 6702 . . . . . . . 8 (𝑚 = ∅ → ({⟨∅, 𝐶⟩}:suc 𝑚𝐴 ↔ {⟨∅, 𝐶⟩}:suc ∅⟶𝐴))
18 raleq 3320 . . . . . . . 8 (𝑚 = ∅ → (∀𝑘𝑚 ({⟨∅, 𝐶⟩}‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘({⟨∅, 𝐶⟩}‘𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘({⟨∅, 𝐶⟩}‘𝑘))))
1917, 183anbi13d 1436 . . . . . . 7 (𝑚 = ∅ → (({⟨∅, 𝐶⟩}:suc 𝑚𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑚 ({⟨∅, 𝐶⟩}‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘({⟨∅, 𝐶⟩}‘𝑘))) ↔ ({⟨∅, 𝐶⟩}:suc ∅⟶𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘({⟨∅, 𝐶⟩}‘𝑘)))))
2019rspcev 3611 . . . . . 6 ((∅ ∈ ω ∧ ({⟨∅, 𝐶⟩}:suc ∅⟶𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ∅ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘({⟨∅, 𝐶⟩}‘𝑘)))) → ∃𝑚 ∈ ω ({⟨∅, 𝐶⟩}:suc 𝑚𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑚 ({⟨∅, 𝐶⟩}‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘({⟨∅, 𝐶⟩}‘𝑘))))
211, 15, 20sylancr 585 . . . . 5 (𝐶𝐴 → ∃𝑚 ∈ ω ({⟨∅, 𝐶⟩}:suc 𝑚𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑚 ({⟨∅, 𝐶⟩}‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘({⟨∅, 𝐶⟩}‘𝑘))))
22 axdc3lem4.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
23 axdc3lem4.2 . . . . . 6 𝑆 = {𝑠 ∣ ∃𝑛 ∈ ω (𝑠:suc 𝑛𝐴 ∧ (𝑠‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑛 (𝑠‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑠𝑘)))}
24 snex 5430 . . . . . 6 {⟨∅, 𝐶⟩} ∈ V
2522, 23, 24axdc3lem3 10449 . . . . 5 ({⟨∅, 𝐶⟩} ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑚 ∈ ω ({⟨∅, 𝐶⟩}:suc 𝑚𝐴 ∧ ({⟨∅, 𝐶⟩}‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑚 ({⟨∅, 𝐶⟩}‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘({⟨∅, 𝐶⟩}‘𝑘))))
2621, 25sylibr 233 . . . 4 (𝐶𝐴 → {⟨∅, 𝐶⟩} ∈ 𝑆)
2726ne0d 4334 . . 3 (𝐶𝐴𝑆 ≠ ∅)
2822, 23axdc3lem 10447 . . . . . . 7 𝑆 ∈ V
29 ssrab2 4076 . . . . . . 7 {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ⊆ 𝑆
3028, 29elpwi2 5345 . . . . . 6 {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ∈ 𝒫 𝑆
3130a1i 11 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥𝑆) → {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ∈ 𝒫 𝑆)
32 vex 3476 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
3322, 23, 32axdc3lem3 10449 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑆 ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝑥:suc 𝑚𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘))))
34 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → 𝑥:suc 𝑚𝐴)
35 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑚 ∈ V
3635sucid 6445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑚 ∈ suc 𝑚
37 ffvelcdm 7082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ suc 𝑚) → (𝑥𝑚) ∈ 𝐴)
3836, 37mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥:suc 𝑚𝐴 → (𝑥𝑚) ∈ 𝐴)
39 ffvelcdm 7082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝑥𝑚) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
4038, 39sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
41 eldifn 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ¬ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ {∅})
42 fvex 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ V
4342elsn 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ {∅} ↔ (𝐹‘(𝑥𝑚)) = ∅)
4443necon3bbii 2986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (¬ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ {∅} ↔ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ≠ ∅)
45 n0 4345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹‘(𝑥𝑚)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)))
4644, 45bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ {∅} ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)))
4741, 46sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)))
4840, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)))
49 simp32 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω)) → 𝑥:suc 𝑚𝐴)
50 eldifi 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ 𝒫 𝐴)
51 elelpwi 4611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑧𝐴)
5251expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹‘(𝑥𝑚)) ∈ 𝒫 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → 𝑧𝐴))
5340, 50, 523syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → 𝑧𝐴))
54 peano2 7883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑚 ∈ ω → suc 𝑚 ∈ ω)
55543ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → suc 𝑚 ∈ ω)
56553ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶)) → suc 𝑚 ∈ ω)
57 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥:suc 𝑚𝐴)
5832dmex 7904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 dom 𝑥 ∈ V
59 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 𝑧 ∈ V
60 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} = {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}
61 fsng 7136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((dom 𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}:{dom 𝑥}⟶{𝑧} ↔ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} = {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
6260, 61mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((dom 𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}:{dom 𝑥}⟶{𝑧})
6358, 59, 62mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}:{dom 𝑥}⟶{𝑧}
64 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
6564snssd 4811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
66 fss 6733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}:{dom 𝑥}⟶{𝑧} ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) → {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}:{dom 𝑥}⟶𝐴)
6763, 65, 66sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}:{dom 𝑥}⟶𝐴)
68 fdm 6725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑥:suc 𝑚𝐴 → dom 𝑥 = suc 𝑚)
6954adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑚 ∈ ω ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → suc 𝑚 ∈ ω)
70 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (dom 𝑥 = suc 𝑚 → (dom 𝑥 ∈ ω ↔ suc 𝑚 ∈ ω))
7170adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑚 ∈ ω ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → (dom 𝑥 ∈ ω ↔ suc 𝑚 ∈ ω))
7269, 71mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑚 ∈ ω ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → dom 𝑥 ∈ ω)
73 nnord 7865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (dom 𝑥 ∈ ω → Ord dom 𝑥)
74 ordirr 6381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (Ord dom 𝑥 → ¬ dom 𝑥 ∈ dom 𝑥)
7572, 73, 743syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑚 ∈ ω ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → ¬ dom 𝑥 ∈ dom 𝑥)
76 eleq2 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (dom 𝑥 = suc 𝑚 → (dom 𝑥 ∈ dom 𝑥 ↔ dom 𝑥 ∈ suc 𝑚))
7776adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑚 ∈ ω ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → (dom 𝑥 ∈ dom 𝑥 ↔ dom 𝑥 ∈ suc 𝑚))
7875, 77mtbid 323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑚 ∈ ω ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → ¬ dom 𝑥 ∈ suc 𝑚)
79 disjsn 4714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((suc 𝑚 ∩ {dom 𝑥}) = ∅ ↔ ¬ dom 𝑥 ∈ suc 𝑚)
8078, 79sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑚 ∈ ω ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → (suc 𝑚 ∩ {dom 𝑥}) = ∅)
8168, 80sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (suc 𝑚 ∩ {dom 𝑥}) = ∅)
8281adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (suc 𝑚 ∩ {dom 𝑥}) = ∅)
8357, 67, 82fun2d 6754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):(suc 𝑚 ∪ {dom 𝑥})⟶𝐴)
84 sneq 4637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (dom 𝑥 = suc 𝑚 → {dom 𝑥} = {suc 𝑚})
8584uneq2d 4162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (dom 𝑥 = suc 𝑚 → (suc 𝑚 ∪ {dom 𝑥}) = (suc 𝑚 ∪ {suc 𝑚}))
86 df-suc 6369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 suc suc 𝑚 = (suc 𝑚 ∪ {suc 𝑚})
8785, 86eqtr4di 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (dom 𝑥 = suc 𝑚 → (suc 𝑚 ∪ {dom 𝑥}) = suc suc 𝑚)
8868, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥:suc 𝑚𝐴 → (suc 𝑚 ∪ {dom 𝑥}) = suc suc 𝑚)
8988ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (suc 𝑚 ∪ {dom 𝑥}) = suc suc 𝑚)
9089feq2d 6702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):(suc 𝑚 ∪ {dom 𝑥})⟶𝐴 ↔ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc suc 𝑚𝐴))
9183, 90mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc suc 𝑚𝐴)
9291ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧𝐴 → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc suc 𝑚𝐴))
9392adantrd 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc suc 𝑚𝐴))
9493a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc suc 𝑚𝐴)))
9594ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc suc 𝑚𝐴)))
96953adant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc suc 𝑚𝐴)))
97963imp 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶)) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc suc 𝑚𝐴)
98 ffun 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑥:suc 𝑚𝐴 → Fun 𝑥)
9998adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → Fun 𝑥)
10058, 59funsn 6600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Fun {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}
10199, 100jctir 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (Fun 𝑥 ∧ Fun {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
10259dmsnop 6214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} = {dom 𝑥}
103102ineq2i 4208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (dom 𝑥 ∩ dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) = (dom 𝑥 ∩ {dom 𝑥})
104 disjsn 4714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((dom 𝑥 ∩ {dom 𝑥}) = ∅ ↔ ¬ dom 𝑥 ∈ dom 𝑥)
10575, 104sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑚 ∈ ω ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → (dom 𝑥 ∩ {dom 𝑥}) = ∅)
106103, 105eqtrid 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑚 ∈ ω ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → (dom 𝑥 ∩ dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) = ∅)
10768, 106sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (dom 𝑥 ∩ dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) = ∅)
108 funun 6593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((Fun 𝑥 ∧ Fun {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∧ (dom 𝑥 ∩ dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) = ∅) → Fun (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
109101, 107, 108syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → Fun (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
110 ssun1 4171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
112 nnord 7865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑚 ∈ ω → Ord 𝑚)
113 0elsuc 7825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (Ord 𝑚 → ∅ ∈ suc 𝑚)
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑚 ∈ ω → ∅ ∈ suc 𝑚)
115114adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ∅ ∈ suc 𝑚)
11668eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥:suc 𝑚𝐴 → (∅ ∈ dom 𝑥 ↔ ∅ ∈ suc 𝑚))
117116adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (∅ ∈ dom 𝑥 ↔ ∅ ∈ suc 𝑚))
118115, 117mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ∅ ∈ dom 𝑥)
119 funssfv 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((Fun (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∧ ∅ ∈ dom 𝑥) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = (𝑥‘∅))
120109, 111, 118, 119syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = (𝑥‘∅))
121120eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶 ↔ (𝑥‘∅) = 𝐶))
122121ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → (((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶 ↔ (𝑥‘∅) = 𝐶))
1231223adant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → (((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶 ↔ (𝑥‘∅) = 𝐶))
124123biimpar 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶)
125124adantrl 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶)
1261253adant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶)
127 nfra1 3279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 𝑘𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘))
128 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 𝑘 𝑥:suc 𝑚𝐴
129 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 𝑘 𝑚 ∈ ω
130127, 128, 129nf3an 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 𝑘(∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω)
131 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 𝑘 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚))
132 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 𝑘(𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶)
133130, 131, 132nf3an 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 𝑘((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶))
134 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → 𝑘 ∈ suc 𝑚)
135 elsuci 6430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑘 ∈ suc 𝑚 → (𝑘𝑚𝑘 = 𝑚))
136 rsp 3242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) → (𝑘𝑚 → (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘))))
137136impcom 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((𝑘𝑚 ∧ ∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘))) → (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)))
138137ad2ant2lr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚)) → (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)))
1391383adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)))
140109adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → Fun (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
141110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
142 ordsucelsuc 7812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 (Ord 𝑚 → (𝑘𝑚 ↔ suc 𝑘 ∈ suc 𝑚))
143112, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 (𝑚 ∈ ω → (𝑘𝑚 ↔ suc 𝑘 ∈ suc 𝑚))
144143biimpa 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) → suc 𝑘 ∈ suc 𝑚)
145 eleq2 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 (dom 𝑥 = suc 𝑚 → (suc 𝑘 ∈ dom 𝑥 ↔ suc 𝑘 ∈ suc 𝑚))
146145biimparc 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((suc 𝑘 ∈ suc 𝑚 ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → suc 𝑘 ∈ dom 𝑥)
147144, 68, 146syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → suc 𝑘 ∈ dom 𝑥)
148 funssfv 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((Fun (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∧ suc 𝑘 ∈ dom 𝑥) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) = (𝑥‘suc 𝑘))
149140, 141, 147, 148syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) = (𝑥‘suc 𝑘))
1501493adant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) = (𝑥‘suc 𝑘))
1511093adant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → Fun (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
152110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
153 eleq2 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 (dom 𝑥 = suc 𝑚 → (𝑘 ∈ dom 𝑥𝑘 ∈ suc 𝑚))
154153biimparc 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ((𝑘 ∈ suc 𝑚 ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → 𝑘 ∈ dom 𝑥)
15568, 154sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ((𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → 𝑘 ∈ dom 𝑥)
1561553adant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → 𝑘 ∈ dom 𝑥)
157 funssfv 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((Fun (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝑥) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘) = (𝑥𝑘))
158151, 152, 156, 157syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘) = (𝑥𝑘))
1591583adant1r 1175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘) = (𝑥𝑘))
160159fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)) = (𝐹‘(𝑥𝑘)))
161150, 160eleq12d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → (((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)) ↔ (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘))))
1621613adant2l 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)) ↔ (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘))))
163139, 162mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)))
164163a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))
1651643expib 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑘𝑚) → (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)))))
166165expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑘𝑚 → (𝑚 ∈ ω → (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))))
1671093adant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → Fun (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
168 ssun2 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ⊆ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ⊆ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
170 suceq 6429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 (𝑘 = 𝑚 → suc 𝑘 = suc 𝑚)
171170eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 (𝑘 = 𝑚 → (dom 𝑥 = suc 𝑘 ↔ dom 𝑥 = suc 𝑚))
172171biimpar 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ((𝑘 = 𝑚 ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → dom 𝑥 = suc 𝑘)
17358snid 4663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 dom 𝑥 ∈ {dom 𝑥}
174173, 102eleqtrri 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 dom 𝑥 ∈ dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}
175172, 174eqeltrrdi 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ((𝑘 = 𝑚 ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → suc 𝑘 ∈ dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})
17668, 175sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ((𝑘 = 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → suc 𝑘 ∈ dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})
1771763adant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → suc 𝑘 ∈ dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})
178 funssfv 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((Fun (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∧ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ⊆ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∧ suc 𝑘 ∈ dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) = ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}‘suc 𝑘))
179167, 169, 177, 178syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) = ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}‘suc 𝑘))
1801723adant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → dom 𝑥 = suc 𝑘)
181 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 (dom 𝑥 = suc 𝑘 → ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}‘dom 𝑥) = ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}‘suc 𝑘))
18258, 59fvsn 7180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}‘dom 𝑥) = 𝑧
183181, 182eqtr3di 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 (dom 𝑥 = suc 𝑘 → ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}‘suc 𝑘) = 𝑧)
184180, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω ∧ dom 𝑥 = suc 𝑚) → ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}‘suc 𝑘) = 𝑧)
18568, 184syl3an3 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}‘suc 𝑘) = 𝑧)
186179, 185eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) = 𝑧)
1871863expa 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) = 𝑧)
1881873adant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) = 𝑧)
1891583adant1l 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘) = (𝑥𝑘))
190 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (𝑘 = 𝑚 → (𝑥𝑘) = (𝑥𝑚))
191190adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω) → (𝑥𝑘) = (𝑥𝑚))
1921913ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑥𝑘) = (𝑥𝑚))
193189, 192eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘) = (𝑥𝑚))
194193fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)) = (𝐹‘(𝑥𝑚)))
195188, 194eleq12d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚𝑥:suc 𝑚𝐴) → (((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚))))
1961953adant2l 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω) ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚))))
197196biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω) ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))
1981973expib 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑘 = 𝑚𝑚 ∈ ω) → (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)))))
199198ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑘 = 𝑚 → (𝑚 ∈ ω → (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))))
200166, 199jaoi 853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑘𝑚𝑘 = 𝑚) → (𝑚 ∈ ω → (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))))
201135, 200syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑘 ∈ suc 𝑚 → (𝑚 ∈ ω → (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))))
202201com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑘 ∈ suc 𝑚 → (𝑚 ∈ ω → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))))
203134, 202mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑚 ∈ ω → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)))))
204203ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑘 ∈ suc 𝑚) → (𝑥:suc 𝑚𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))))
205204expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑘 ∈ suc 𝑚 → (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) → (𝑥:suc 𝑚𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)))))))
2062053impd 1346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ suc 𝑚 → ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)))))
207206impd 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ suc 𝑚 → (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚))) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))
208207com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚))) → (𝑘 ∈ suc 𝑚 → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))
2092083adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶)) → (𝑘 ∈ suc 𝑚 → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))
210133, 209ralrimi 3252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶)) → ∀𝑘 ∈ suc 𝑚((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)))
211 suceq 6429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑝 = suc 𝑚 → suc 𝑝 = suc suc 𝑚)
212211feq2d 6702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑝 = suc 𝑚 → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc 𝑝𝐴 ↔ (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc suc 𝑚𝐴))
213 raleq 3320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑝 = suc 𝑚 → (∀𝑘𝑝 ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ suc 𝑚((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))
214212, 2133anbi13d 1436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑝 = suc 𝑚 → (((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc 𝑝𝐴 ∧ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑝 ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))) ↔ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc suc 𝑚𝐴 ∧ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝑚((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)))))
215214rspcev 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((suc 𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc suc 𝑚𝐴 ∧ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝑚((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘)))) → ∃𝑝 ∈ ω ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc 𝑝𝐴 ∧ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑝 ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))
21656, 97, 126, 210, 215syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶)) → ∃𝑝 ∈ ω ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc 𝑝𝐴 ∧ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑝 ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))
217 snex 5430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ∈ V
21832, 217unex 7735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ V
21922, 23, 218axdc3lem3 10449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑝 ∈ ω ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}):suc 𝑝𝐴 ∧ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑝 ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})‘𝑘))))
220216, 219sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶)) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆)
2212203coml 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶) ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆)
2222213exp 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑧𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶) → ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆)))
223222expd 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → (𝑧𝐴 → ((𝑥‘∅) = 𝐶 → ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆))))
22453, 223sylcom 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥‘∅) = 𝐶 → ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆))))
2252243impd 1346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆))
226225ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → (𝑥:suc 𝑚𝐴 → ((𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆)))
227226com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ((𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω)) → (𝑥:suc 𝑚𝐴 → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆)))
22849, 227mpdi 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ((𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω)) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆))
229228imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω))) → (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆)
230 resundir 5995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ↾ dom 𝑥) = ((𝑥 ↾ dom 𝑥) ∪ ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ↾ dom 𝑥))
231 frel 6721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥:suc 𝑚𝐴 → Rel 𝑥)
232 resdm 6025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (Rel 𝑥 → (𝑥 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)
233231, 232syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥:suc 𝑚𝐴 → (𝑥 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)
234233adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (𝑥 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)
23568, 72sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → dom 𝑥 ∈ ω)
23673, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (dom 𝑥 ∈ ω → ¬ dom 𝑥 ∈ dom 𝑥)
237 incom 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ({dom 𝑥} ∩ dom 𝑥) = (dom 𝑥 ∩ {dom 𝑥})
238237eqeq1i 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (({dom 𝑥} ∩ dom 𝑥) = ∅ ↔ (dom 𝑥 ∩ {dom 𝑥}) = ∅)
23958, 59fnsn 6605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} Fn {dom 𝑥}
240 fnresdisj 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} Fn {dom 𝑥} → (({dom 𝑥} ∩ dom 𝑥) = ∅ ↔ ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ↾ dom 𝑥) = ∅))
241239, 240ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (({dom 𝑥} ∩ dom 𝑥) = ∅ ↔ ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ↾ dom 𝑥) = ∅)
242238, 241, 1043bitr3ri 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (¬ dom 𝑥 ∈ dom 𝑥 ↔ ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ↾ dom 𝑥) = ∅)
243236, 242sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (dom 𝑥 ∈ ω → ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ↾ dom 𝑥) = ∅)
244235, 243syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ↾ dom 𝑥) = ∅)
245234, 244uneq12d 4163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ↾ dom 𝑥) ∪ ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ↾ dom 𝑥)) = (𝑥 ∪ ∅))
246 un0 4389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∪ ∅) = 𝑥
247245, 246eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ↾ dom 𝑥) ∪ ({⟨dom 𝑥, 𝑧⟩} ↾ dom 𝑥)) = 𝑥)
248230, 247eqtrid 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ↾ dom 𝑥) = 𝑥)
249248ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ↾ dom 𝑥) = 𝑥)
2502493adant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ↾ dom 𝑥) = 𝑥)
2512503ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω)) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ↾ dom 𝑥) = 𝑥)
252251adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω))) → ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ↾ dom 𝑥) = 𝑥)
253102uneq2i 4159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (dom 𝑥 ∪ dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) = (dom 𝑥 ∪ {dom 𝑥})
254 dmun 5909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 dom (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) = (dom 𝑥 ∪ dom {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩})
255 df-suc 6369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 suc dom 𝑥 = (dom 𝑥 ∪ {dom 𝑥})
256253, 254, 2553eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 dom (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) = suc dom 𝑥
257252, 256jctil 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω))) → (dom (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) = suc dom 𝑥 ∧ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ↾ dom 𝑥) = 𝑥))
258 dmeq 5902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) → dom 𝑦 = dom (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}))
259258eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) → (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ↔ dom (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) = suc dom 𝑥))
260 reseq1 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) → (𝑦 ↾ dom 𝑥) = ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ↾ dom 𝑥))
261260eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) → ((𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥 ↔ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ↾ dom 𝑥) = 𝑥))
262259, 261anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) → ((dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥) ↔ (dom (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) = suc dom 𝑥 ∧ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ↾ dom 𝑥) = 𝑥)))
263262rspcev 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ∈ 𝑆 ∧ (dom (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) = suc dom 𝑥 ∧ ((𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 𝑧⟩}) ↾ dom 𝑥) = 𝑥)) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))
264229, 257, 263syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω))) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))
2652643exp2 1352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → (𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥‘∅) = 𝐶 → ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)))))
266265exlimdv 1934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥‘∅) = 𝐶 → ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)))))
267266adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐹‘(𝑥𝑚)) → ((𝑥‘∅) = 𝐶 → ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)))))
26848, 267mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥‘∅) = 𝐶 → ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))))
269268com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴) → ((𝑥‘∅) = 𝐶 → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))))
27034, 269mpan2d 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ((𝑥‘∅) = 𝐶 → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))))
271270com3r 87 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥‘∅) = 𝐶 → ((∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) ∧ 𝑥:suc 𝑚𝐴𝑚 ∈ ω) → (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))))
2722713expd 1351 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥‘∅) = 𝐶 → (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) → (𝑥:suc 𝑚𝐴 → (𝑚 ∈ ω → (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))))))
273272com3r 87 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥:suc 𝑚𝐴 → ((𝑥‘∅) = 𝐶 → (∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘)) → (𝑚 ∈ ω → (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))))))
2742733imp 1109 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥:suc 𝑚𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘))) → (𝑚 ∈ ω → (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))))
275274com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ω → ((𝑥:suc 𝑚𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘))) → (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))))
276275rexlimiv 3146 . . . . . . . . 9 (∃𝑚 ∈ ω (𝑥:suc 𝑚𝐴 ∧ (𝑥‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑚 (𝑥‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑥𝑘))) → (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)))
27733, 276sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑥𝑆 → (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)))
278277impcom 406 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥𝑆) → ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))
279 rabn0 4384 . . . . . . 7 ({𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝑆 (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥))
280278, 279sylibr 233 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥𝑆) → {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ≠ ∅)
28128rabex 5331 . . . . . . . 8 {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ∈ V
282281elsn 4642 . . . . . . 7 ({𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ∈ {∅} ↔ {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} = ∅)
283282necon3bbii 2986 . . . . . 6 (¬ {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ∈ {∅} ↔ {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ≠ ∅)
284280, 283sylibr 233 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥𝑆) → ¬ {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ∈ {∅})
28531, 284eldifd 3958 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑥𝑆) → {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)} ∈ (𝒫 𝑆 ∖ {∅}))
286 axdc3lem4.3 . . . 4 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ {𝑦𝑆 ∣ (dom 𝑦 = suc dom 𝑥 ∧ (𝑦 ↾ dom 𝑥) = 𝑥)})
287285, 286fmptd 7114 . . 3 (𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → 𝐺:𝑆⟶(𝒫 𝑆 ∖ {∅}))
28828axdc2 10446 . . 3 ((𝑆 ≠ ∅ ∧ 𝐺:𝑆⟶(𝒫 𝑆 ∖ {∅})) → ∃(:ω⟶𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))))
28927, 287, 288syl2an 594 . 2 ((𝐶𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃(:ω⟶𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))))
29022, 23, 286axdc3lem2 10448 . 2 (∃(:ω⟶𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (‘suc 𝑘) ∈ (𝐺‘(𝑘))) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑔𝑘))))
291289, 290syl 17 1 ((𝐶𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝐹‘(𝑔𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 843  w3a 1085   = wceq 1539  wex 1779  wcel 2104  {cab 2707  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472  cdif 3944  cun 3945  cin 3946  wss 3947  c0 4321  𝒫 cpw 4601  {csn 4627  cop 4633  cmpt 5230  dom cdm 5675  cres 5677  Rel wrel 5680  Ord word 6362  suc csuc 6365  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  wf 6538  cfv 6542  ωcom 7857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-dc 10443
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7858  df-1o 8468
This theorem is referenced by:  axdc3  10451
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