Theorem 2rexuz 12894

Description: Double existential quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 3-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
2rexuz	⊢ (∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))

Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem 2rexuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexuz2 12893	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
2	1	exbii 1867	. 2 ⊢ (∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
3		df-rex 3086	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ ℤ ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑)))
4	2, 3	bitr4i 280	1 ⊢ (∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)𝜑 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝜑))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085   class class class wbr 5097  ‘cfv 6515   ≤ cle 11210  ℤcz 12561  ℤ_≥cuz 12832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-fv 6523  df-ov 7393  df-neg 11410  df-z 12562  df-uz 12833

This theorem is referenced by: (None)