Theorem peano2uz 12910

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		peano2z 12628	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		zre 12587	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12587	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		letrp1 12083	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
7	5, 6	syl3an2 1162	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
8	4, 7	syl3an1 1161	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
9	1, 3, 8	3jca 1126	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
10		eluz2 12853	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
11		eluz2 12853	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
12	9, 10, 11	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  ℝcr 11132  1c1 11134   + caddc 11136   ≤ cle 11274  ℤcz 12583  ℤ_≥cuz 12847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848

This theorem is referenced by:  peano2uzs  12911  peano2uzr  12912  uzaddcl  12913  fzsplit  13554  fzssp1  13571  fzsuc  13575  fzpred  13576  fzp1ss  13579  fzp1elp1  13581  fztp  13584  fzneuz  13609  fzosplitsnm1  13734  fzofzp1  13756  fzosplitsn  13767  fzosplitpr  13768  fzostep1  13775  om2uzuzi  13941  uzrdgsuci  13952  fzen2  13961  fzfi  13964  seqsplit  14027  seqf1olem1  14033  seqf1olem2  14034  seqz  14042  faclbnd3  14278  bcm1k  14301  seqcoll  14452  seqcoll2  14453  swrds1  14643  pfxccatpfx2  14714  clim2ser  15628  clim2ser2  15629  serf0  15654  iseraltlem2  15656  iseralt  15658  fsump1  15729  fsump1i  15742  fsumparts  15779  cvgcmp  15789  isum1p  15814  isumsup2  15819  climcndslem1  15822  climcndslem2  15823  climcnds  15824  cvgrat  15856  mertenslem1  15857  clim2prod  15861  clim2div  15862  ntrivcvgfvn0  15872  fprodntriv  15913  fprodp1  15940  fprodabs  15945  binomfallfaclem2  16011  pcfac  16862  gsumsplit1r  18641  gsumprval  18642  telgsumfzslem  19937  telgsumfzs  19938  dvply2g  26213  dvply2gOLD  26214  aaliou3lem2  26272  ppinprm  27078  chtnprm  27080  ppiublem1  27129  chtublem  27138  chtub  27139  bposlem6  27216  pntlemf  27532  ostth2lem2  27561  clwwlkvbij  29917  fzsplit3  32557  esumcvg  33700  sseqf  34007  gsumnunsn  34168  signstfvp  34198  iprodefisumlem  35329  poimirlem1  37089  poimirlem2  37090  poimirlem3  37091  poimirlem4  37092  poimirlem6  37094  poimirlem7  37095  poimirlem8  37096  poimirlem9  37097  poimirlem12  37100  poimirlem13  37101  poimirlem14  37102  poimirlem15  37103  poimirlem16  37104  poimirlem17  37105  poimirlem18  37106  poimirlem19  37107  poimirlem20  37108  poimirlem21  37109  poimirlem22  37110  poimirlem23  37111  poimirlem24  37112  poimirlem26  37114  poimirlem27  37115  poimirlem31  37119  poimirlem32  37120  sdclem2  37210  fdc  37213  mettrifi  37225  bfplem2  37291  rexrabdioph  42205  monotuz  42353  wallispilem1  45444  dirkertrigeqlem2  45478  sge0p1  45793  carageniuncllem1  45900  iccpartres  46749  iccelpart  46764  fmtno4prm  46906