Theorem peano2uz 13068

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		peano2z 12777	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		zre 12737	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12737	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		letrp1 12201	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
7	5, 6	syl3an2 1182	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
8	4, 7	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
9	1, 3, 8	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
10		eluz2 13011	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
11		eluz2 13011	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
12	9, 10, 11	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  1c1 11240   + caddc 11242   ≤ cle 11383  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006

This theorem is used by:  peano2uzs  13069  peano2uzr  13070  uzaddcl  13071  fzsplit  13724  fzssp1  13741  fzsuc  13745  fzpred  13746  fzp1ss  13749  fzp1elp1  13751  fztp  13754  fzdif1  13779  fzneuz  13782  fzosplitsnm1  13915  fzofzp1  13939  fzosplitsn  13951  fzosplitpr  13952  fzostep1  13961  om2uzuzi  14132  uzrdgsuci  14143  fzen2  14152  fzfi  14155  seqsplit  14218  seqf1olem1  14224  seqf1olem2  14225  seqz  14233  faclbnd3  14477  bcm1k  14500  seqcoll  14650  seqcoll2  14651  swrds1  14858  pfxccatpfx2  14928  clim2ser  15866  clim2ser2  15867  serf0  15892  iseraltlem2  15894  iseralt  15896  fsump1  15966  fsump1i  15979  fsumparts  16017  cvgcmp  16027  isum1p  16054  isumsup2  16059  climcndslem1  16062  climcndslem2  16063  climcnds  16064  cvgrat  16096  mertenslem1  16097  clim2prod  16101  clim2div  16102  ntrivcvgfvn0  16112  fprodntriv  16153  fprodp1  16180  fprodabs  16185  binomfallfaclem2  16250  pcfac  17121  gsumsplit1r  18926  gsumprval  18927  telgsumfzslem  20253  telgsumfzs  20254  dvply2g  26661  aaliou3lem2  26727  ppinprm  27536  chtnprm  27538  ppiublem1  27586  chtublem  27595  chtub  27596  bposlem6  27673  pntlemf  27989  ostth2lem2  28018  clwwlkvbij  30761  fzsplit3  33481  esumcvg  34829  sseqf  35135  gsumnunsn  35284  signstfvp  35311  iprodefisumlem  36720  poimirlem1  38807  poimirlem2  38808  poimirlem3  38809  poimirlem4  38810  poimirlem6  38812  poimirlem7  38813  poimirlem8  38814  poimirlem9  38815  poimirlem12  38818  poimirlem13  38819  poimirlem14  38820  poimirlem15  38821  poimirlem16  38822  poimirlem17  38823  poimirlem18  38824  poimirlem19  38825  poimirlem20  38826  poimirlem21  38827  poimirlem22  38828  poimirlem23  38829  poimirlem24  38830  poimirlem26  38832  poimirlem27  38833  poimirlem31  38837  poimirlem32  38838  sdclem2  38942  fdc  38945  mettrifi  38957  bfplem2  39023  rexrabdioph  44067  monotuz  44214  wallispilem1  47348  dirkertrigeqlem2  47382  sge0p1  47697  carageniuncllem1  47804  iccpartres  48773  iccelpart  48788  fmtno4prm  48933