Theorem peano2uz 13032

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		peano2z 12741	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		zre 12701	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12701	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		letrp1 12165	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
7	5, 6	syl3an2 1182	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
8	4, 7	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
9	1, 3, 8	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
10		eluz2 12975	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
11		eluz2 12975	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
12	9, 10, 11	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  1c1 11205   + caddc 11207   ≤ cle 11348  ℤcz 12697  ℤ_≥cuz 12969

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970

This theorem is used by:  peano2uzs  13033  peano2uzr  13034  uzaddcl  13035  fzsplit  13688  fzssp1  13705  fzsuc  13709  fzpred  13710  fzp1ss  13713  fzp1elp1  13715  fztp  13718  fzdif1  13743  fzneuz  13746  fzosplitsnm1  13879  fzofzp1  13903  fzosplitsn  13915  fzosplitpr  13916  fzostep1  13925  om2uzuzi  14096  uzrdgsuci  14107  fzen2  14116  fzfi  14119  seqsplit  14182  seqf1olem1  14188  seqf1olem2  14189  seqz  14197  faclbnd3  14440  bcm1k  14463  seqcoll  14613  seqcoll2  14614  swrds1  14821  pfxccatpfx2  14891  clim2ser  15828  clim2ser2  15829  serf0  15854  iseraltlem2  15856  iseralt  15858  fsump1  15928  fsump1i  15941  fsumparts  15979  cvgcmp  15989  isum1p  16016  isumsup2  16021  climcndslem1  16024  climcndslem2  16025  climcnds  16026  cvgrat  16058  mertenslem1  16059  clim2prod  16063  clim2div  16064  ntrivcvgfvn0  16074  fprodntriv  16115  fprodp1  16142  fprodabs  16147  binomfallfaclem2  16212  pcfac  17083  gsumsplit1r  18882  gsumprval  18883  telgsumfzslem  20208  telgsumfzs  20209  dvply2g  26612  aaliou3lem2  26676  ppinprm  27485  chtnprm  27487  ppiublem1  27535  chtublem  27544  chtub  27545  bposlem6  27622  pntlemf  27938  ostth2lem2  27967  clwwlkvbij  30710  fzsplit3  33432  esumcvg  34765  sseqf  35071  gsumnunsn  35220  signstfvp  35247  iprodefisumlem  36598  poimirlem1  38633  poimirlem2  38634  poimirlem3  38635  poimirlem4  38636  poimirlem6  38638  poimirlem7  38639  poimirlem8  38640  poimirlem9  38641  poimirlem12  38644  poimirlem13  38645  poimirlem14  38646  poimirlem15  38647  poimirlem16  38648  poimirlem17  38649  poimirlem18  38650  poimirlem19  38651  poimirlem20  38652  poimirlem21  38653  poimirlem22  38654  poimirlem23  38655  poimirlem24  38656  poimirlem26  38658  poimirlem27  38659  poimirlem31  38663  poimirlem32  38664  sdclem2  38770  fdc  38773  mettrifi  38785  bfplem2  38851  rexrabdioph  43895  monotuz  44042  wallispilem1  47169  dirkertrigeqlem2  47203  sge0p1  47518  carageniuncllem1  47625  iccpartres  48594  iccelpart  48609  fmtno4prm  48754