Theorem peano2uz 12913

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1152	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		peano2z 12623	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1150	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		zre 12583	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12583	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		letrp1 12047	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
7	5, 6	syl3an2 1180	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
8	4, 7	syl3an1 1179	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
9	1, 3, 8	3jca 1144	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
10		eluz2 12856	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
11		eluz2 12856	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
12	9, 10, 11	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  1c1 11089   + caddc 11091   ≤ cle 11232  ℤcz 12579  ℤ_≥cuz 12850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851

This theorem is referenced by:  peano2uzs  12914  peano2uzr  12915  uzaddcl  12916  fzsplit  13566  fzssp1  13583  fzsuc  13587  fzpred  13588  fzp1ss  13591  fzp1elp1  13593  fztp  13596  fzdif1  13621  fzneuz  13624  fzosplitsnm1  13757  fzofzp1  13781  fzosplitsn  13793  fzosplitpr  13794  fzostep1  13803  om2uzuzi  13973  uzrdgsuci  13984  fzen2  13993  fzfi  13996  seqsplit  14059  seqf1olem1  14065  seqf1olem2  14066  seqz  14074  faclbnd3  14316  bcm1k  14339  seqcoll  14489  seqcoll2  14490  swrds1  14692  pfxccatpfx2  14762  clim2ser  15694  clim2ser2  15695  serf0  15720  iseraltlem2  15722  iseralt  15724  fsump1  15795  fsump1i  15808  fsumparts  15846  cvgcmp  15856  isum1p  15883  isumsup2  15888  climcndslem1  15891  climcndslem2  15892  climcnds  15893  cvgrat  15925  mertenslem1  15926  clim2prod  15930  clim2div  15931  ntrivcvgfvn0  15941  fprodntriv  15984  fprodp1  16011  fprodabs  16016  binomfallfaclem2  16082  pcfac  16947  gsumsplit1r  18733  gsumprval  18734  telgsumfzslem  20046  telgsumfzs  20047  dvply2g  26403  aaliou3lem2  26461  ppinprm  27270  chtnprm  27272  ppiublem1  27320  chtublem  27329  chtub  27330  bposlem6  27407  pntlemf  27723  ostth2lem2  27752  clwwlkvbij  30369  fzsplit3  33046  esumcvg  34388  sseqf  34694  gsumnunsn  34843  signstfvp  34870  iprodefisumlem  36098  poimirlem1  38127  poimirlem2  38128  poimirlem3  38129  poimirlem4  38130  poimirlem6  38132  poimirlem7  38133  poimirlem8  38134  poimirlem9  38135  poimirlem12  38138  poimirlem13  38139  poimirlem14  38140  poimirlem15  38141  poimirlem16  38142  poimirlem17  38143  poimirlem18  38144  poimirlem19  38145  poimirlem20  38146  poimirlem21  38147  poimirlem22  38148  poimirlem23  38149  poimirlem24  38150  poimirlem26  38152  poimirlem27  38153  poimirlem31  38157  poimirlem32  38158  sdclem2  38248  fdc  38251  mettrifi  38263  bfplem2  38329  rexrabdioph  43378  monotuz  43525  wallispilem1  46638  dirkertrigeqlem2  46672  sge0p1  46987  carageniuncllem1  47094  iccpartres  48023  iccelpart  48038  fmtno4prm  48183