Theorem peano2uz 12881

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		peano2z 12599	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		zre 12558	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12558	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		letrp1 12054	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
7	5, 6	syl3an2 1161	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
8	4, 7	syl3an1 1160	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
9	1, 3, 8	3jca 1125	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
10		eluz2 12824	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
11		eluz2 12824	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
12	9, 10, 11	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℝcr 11104  1c1 11106   + caddc 11108   ≤ cle 11245  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819

This theorem is referenced by:  peano2uzs  12882  peano2uzr  12883  uzaddcl  12884  fzsplit  13523  fzssp1  13540  fzsuc  13544  fzpred  13545  fzp1ss  13548  fzp1elp1  13550  fztp  13553  fzneuz  13578  fzosplitsnm1  13703  fzofzp1  13725  fzosplitsn  13736  fzosplitpr  13737  fzostep1  13744  om2uzuzi  13910  uzrdgsuci  13921  fzen2  13930  fzfi  13933  seqsplit  13997  seqf1olem1  14003  seqf1olem2  14004  seqz  14012  faclbnd3  14248  bcm1k  14271  seqcoll  14421  seqcoll2  14422  swrds1  14612  pfxccatpfx2  14683  clim2ser  15597  clim2ser2  15598  serf0  15623  iseraltlem2  15625  iseralt  15627  fsump1  15698  fsump1i  15711  fsumparts  15748  cvgcmp  15758  isum1p  15783  isumsup2  15788  climcndslem1  15791  climcndslem2  15792  climcnds  15793  cvgrat  15825  mertenslem1  15826  clim2prod  15830  clim2div  15831  ntrivcvgfvn0  15841  fprodntriv  15882  fprodp1  15909  fprodabs  15914  binomfallfaclem2  15980  pcfac  16828  gsumsplit1r  18607  gsumprval  18608  telgsumfzslem  19893  telgsumfzs  19894  dvply2g  26127  aaliou3lem2  26185  ppinprm  26988  chtnprm  26990  ppiublem1  27039  chtublem  27048  chtub  27049  bposlem6  27126  pntlemf  27442  ostth2lem2  27471  clwwlkvbij  29790  fzsplit3  32429  esumcvg  33539  sseqf  33846  gsumnunsn  34007  signstfvp  34037  iprodefisumlem  35171  poimirlem1  36945  poimirlem2  36946  poimirlem3  36947  poimirlem4  36948  poimirlem6  36950  poimirlem7  36951  poimirlem8  36952  poimirlem9  36953  poimirlem12  36956  poimirlem13  36957  poimirlem14  36958  poimirlem15  36959  poimirlem16  36960  poimirlem17  36961  poimirlem18  36962  poimirlem19  36963  poimirlem20  36964  poimirlem21  36965  poimirlem22  36966  poimirlem23  36967  poimirlem24  36968  poimirlem26  36970  poimirlem27  36971  poimirlem31  36975  poimirlem32  36976  sdclem2  37066  fdc  37069  mettrifi  37081  bfplem2  37147  rexrabdioph  41987  monotuz  42135  wallispilem1  45232  dirkertrigeqlem2  45266  sge0p1  45581  carageniuncllem1  45688  iccpartres  46537  iccelpart  46552  fmtno4prm  46694