Theorem peano2uz 12849

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1142	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		peano2z 12566	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1140	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		zre 12526	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12526	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		letrp1 11997	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
7	5, 6	syl3an2 1170	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
8	4, 7	syl3an1 1169	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
9	1, 3, 8	3jca 1134	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
10		eluz2 12792	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
11		eluz2 12792	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
12	9, 10, 11	3imtr4i 293	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  1c1 11037   + caddc 11039   ≤ cle 11178  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787

This theorem is referenced by:  peano2uzs  12850  peano2uzr  12851  uzaddcl  12852  fzsplit  13502  fzssp1  13519  fzsuc  13523  fzpred  13524  fzp1ss  13527  fzp1elp1  13529  fztp  13532  fzdif1  13557  fzneuz  13560  fzosplitsnm1  13693  fzofzp1  13717  fzosplitsn  13729  fzosplitpr  13730  fzostep1  13739  om2uzuzi  13909  uzrdgsuci  13920  fzen2  13929  fzfi  13932  seqsplit  13995  seqf1olem1  14001  seqf1olem2  14002  seqz  14010  faclbnd3  14252  bcm1k  14275  seqcoll  14424  seqcoll2  14425  swrds1  14627  pfxccatpfx2  14697  clim2ser  15615  clim2ser2  15616  serf0  15641  iseraltlem2  15643  iseralt  15645  fsump1  15716  fsump1i  15729  fsumparts  15767  cvgcmp  15777  isum1p  15804  isumsup2  15809  climcndslem1  15812  climcndslem2  15813  climcnds  15814  cvgrat  15846  mertenslem1  15847  clim2prod  15851  clim2div  15852  ntrivcvgfvn0  15862  fprodntriv  15905  fprodp1  15932  fprodabs  15937  binomfallfaclem2  16003  pcfac  16868  gsumsplit1r  18653  gsumprval  18654  telgsumfzslem  19961  telgsumfzs  19962  dvply2g  26276  aaliou3lem2  26334  ppinprm  27140  chtnprm  27142  ppiublem1  27190  chtublem  27199  chtub  27200  bposlem6  27277  pntlemf  27593  ostth2lem2  27622  clwwlkvbij  30208  fzsplit3  32892  esumcvg  34277  sseqf  34583  gsumnunsn  34732  signstfvp  34762  iprodefisumlem  35975  poimirlem1  37995  poimirlem2  37996  poimirlem3  37997  poimirlem4  37998  poimirlem6  38000  poimirlem7  38001  poimirlem8  38002  poimirlem9  38003  poimirlem12  38006  poimirlem13  38007  poimirlem14  38008  poimirlem15  38009  poimirlem16  38010  poimirlem17  38011  poimirlem18  38012  poimirlem19  38013  poimirlem20  38014  poimirlem21  38015  poimirlem22  38016  poimirlem23  38017  poimirlem24  38018  poimirlem26  38020  poimirlem27  38021  poimirlem31  38025  poimirlem32  38026  sdclem2  38116  fdc  38119  mettrifi  38131  bfplem2  38197  rexrabdioph  43246  monotuz  43393  wallispilem1  46515  dirkertrigeqlem2  46549  sge0p1  46864  carageniuncllem1  46971  iccpartres  47900  iccelpart  47915  fmtno4prm  48060