Theorem peano2uz 12895

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1148	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		peano2z 12605	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1146	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		zre 12565	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12565	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		letrp1 12028	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
7	5, 6	syl3an2 1176	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
8	4, 7	syl3an1 1175	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
9	1, 3, 8	3jca 1140	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
10		eluz2 12838	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
11		eluz2 12838	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
12	9, 10, 11	3imtr4i 294	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ℝcr 11065  1c1 11067   + caddc 11069   ≤ cle 11210  ℤcz 12561  ℤ_≥cuz 12832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833

This theorem is referenced by:  peano2uzs  12896  peano2uzr  12897  uzaddcl  12898  fzsplit  13548  fzssp1  13565  fzsuc  13569  fzpred  13570  fzp1ss  13573  fzp1elp1  13575  fztp  13578  fzdif1  13603  fzneuz  13606  fzosplitsnm1  13739  fzofzp1  13763  fzosplitsn  13775  fzosplitpr  13776  fzostep1  13785  om2uzuzi  13955  uzrdgsuci  13966  fzen2  13975  fzfi  13978  seqsplit  14041  seqf1olem1  14047  seqf1olem2  14048  seqz  14056  faclbnd3  14298  bcm1k  14321  seqcoll  14470  seqcoll2  14471  swrds1  14673  pfxccatpfx2  14743  clim2ser  15672  clim2ser2  15673  serf0  15698  iseraltlem2  15700  iseralt  15702  fsump1  15773  fsump1i  15786  fsumparts  15824  cvgcmp  15834  isum1p  15861  isumsup2  15866  climcndslem1  15869  climcndslem2  15870  climcnds  15871  cvgrat  15903  mertenslem1  15904  clim2prod  15908  clim2div  15909  ntrivcvgfvn0  15919  fprodntriv  15962  fprodp1  15989  fprodabs  15994  binomfallfaclem2  16060  pcfac  16925  gsumsplit1r  18711  gsumprval  18712  telgsumfzslem  20018  telgsumfzs  20019  dvply2g  26336  aaliou3lem2  26394  ppinprm  27203  chtnprm  27205  ppiublem1  27253  chtublem  27262  chtub  27263  bposlem6  27340  pntlemf  27656  ostth2lem2  27685  clwwlkvbij  30271  fzsplit3  32955  esumcvg  34343  sseqf  34649  gsumnunsn  34798  signstfvp  34825  iprodefisumlem  36050  poimirlem1  38080  poimirlem2  38081  poimirlem3  38082  poimirlem4  38083  poimirlem6  38085  poimirlem7  38086  poimirlem8  38087  poimirlem9  38088  poimirlem12  38091  poimirlem13  38092  poimirlem14  38093  poimirlem15  38094  poimirlem16  38095  poimirlem17  38096  poimirlem18  38097  poimirlem19  38098  poimirlem20  38099  poimirlem21  38100  poimirlem22  38101  poimirlem23  38102  poimirlem24  38103  poimirlem26  38105  poimirlem27  38106  poimirlem31  38110  poimirlem32  38111  sdclem2  38201  fdc  38204  mettrifi  38216  bfplem2  38282  rexrabdioph  43331  monotuz  43478  wallispilem1  46599  dirkertrigeqlem2  46633  sge0p1  46948  carageniuncllem1  47055  iccpartres  47984  iccelpart  47999  fmtno4prm  48144