Theorem peano2uz 12799

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		peano2z 12513	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		zre 12472	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12472	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		letrp1 11965	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
7	5, 6	syl3an2 1164	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
8	4, 7	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
9	1, 3, 8	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
10		eluz2 12738	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
11		eluz2 12738	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
12	9, 10, 11	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  1c1 11007   + caddc 11009   ≤ cle 11147  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733

This theorem is referenced by:  peano2uzs  12800  peano2uzr  12801  uzaddcl  12802  fzsplit  13450  fzssp1  13467  fzsuc  13471  fzpred  13472  fzp1ss  13475  fzp1elp1  13477  fztp  13480  fzdif1  13505  fzneuz  13508  fzosplitsnm1  13640  fzofzp1  13664  fzosplitsn  13676  fzosplitpr  13677  fzostep1  13686  om2uzuzi  13856  uzrdgsuci  13867  fzen2  13876  fzfi  13879  seqsplit  13942  seqf1olem1  13948  seqf1olem2  13949  seqz  13957  faclbnd3  14199  bcm1k  14222  seqcoll  14371  seqcoll2  14372  swrds1  14574  pfxccatpfx2  14644  clim2ser  15562  clim2ser2  15563  serf0  15588  iseraltlem2  15590  iseralt  15592  fsump1  15663  fsump1i  15676  fsumparts  15713  cvgcmp  15723  isum1p  15748  isumsup2  15753  climcndslem1  15756  climcndslem2  15757  climcnds  15758  cvgrat  15790  mertenslem1  15791  clim2prod  15795  clim2div  15796  ntrivcvgfvn0  15806  fprodntriv  15849  fprodp1  15876  fprodabs  15881  binomfallfaclem2  15947  pcfac  16811  gsumsplit1r  18595  gsumprval  18596  telgsumfzslem  19901  telgsumfzs  19902  dvply2g  26220  dvply2gOLD  26221  aaliou3lem2  26279  ppinprm  27090  chtnprm  27092  ppiublem1  27141  chtublem  27150  chtub  27151  bposlem6  27228  pntlemf  27544  ostth2lem2  27573  clwwlkvbij  30091  fzsplit3  32774  esumcvg  34097  sseqf  34403  gsumnunsn  34552  signstfvp  34582  iprodefisumlem  35782  poimirlem1  37667  poimirlem2  37668  poimirlem3  37669  poimirlem4  37670  poimirlem6  37672  poimirlem7  37673  poimirlem8  37674  poimirlem9  37675  poimirlem12  37678  poimirlem13  37679  poimirlem14  37680  poimirlem15  37681  poimirlem16  37682  poimirlem17  37683  poimirlem18  37684  poimirlem19  37685  poimirlem20  37686  poimirlem21  37687  poimirlem22  37688  poimirlem23  37689  poimirlem24  37690  poimirlem26  37692  poimirlem27  37693  poimirlem31  37697  poimirlem32  37698  sdclem2  37788  fdc  37791  mettrifi  37803  bfplem2  37869  rexrabdioph  42833  monotuz  42980  wallispilem1  46109  dirkertrigeqlem2  46143  sge0p1  46458  carageniuncllem1  46565  iccpartres  47455  iccelpart  47470  fmtno4prm  47612