Theorem peano2uz 12851

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		peano2z 12568	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		zre 12528	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12528	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		letrp1 11999	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
7	5, 6	syl3an2 1165	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
8	4, 7	syl3an1 1164	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
9	1, 3, 8	3jca 1129	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
10		eluz2 12794	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
11		eluz2 12794	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
12	9, 10, 11	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   ≤ cle 11180  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789

This theorem is referenced by:  peano2uzs  12852  peano2uzr  12853  uzaddcl  12854  fzsplit  13504  fzssp1  13521  fzsuc  13525  fzpred  13526  fzp1ss  13529  fzp1elp1  13531  fztp  13534  fzdif1  13559  fzneuz  13562  fzosplitsnm1  13695  fzofzp1  13719  fzosplitsn  13731  fzosplitpr  13732  fzostep1  13741  om2uzuzi  13911  uzrdgsuci  13922  fzen2  13931  fzfi  13934  seqsplit  13997  seqf1olem1  14003  seqf1olem2  14004  seqz  14012  faclbnd3  14254  bcm1k  14277  seqcoll  14426  seqcoll2  14427  swrds1  14629  pfxccatpfx2  14699  clim2ser  15617  clim2ser2  15618  serf0  15643  iseraltlem2  15645  iseralt  15647  fsump1  15718  fsump1i  15731  fsumparts  15769  cvgcmp  15779  isum1p  15806  isumsup2  15811  climcndslem1  15814  climcndslem2  15815  climcnds  15816  cvgrat  15848  mertenslem1  15849  clim2prod  15853  clim2div  15854  ntrivcvgfvn0  15864  fprodntriv  15907  fprodp1  15934  fprodabs  15939  binomfallfaclem2  16005  pcfac  16870  gsumsplit1r  18655  gsumprval  18656  telgsumfzslem  19963  telgsumfzs  19964  dvply2g  26251  aaliou3lem2  26309  ppinprm  27115  chtnprm  27117  ppiublem1  27165  chtublem  27174  chtub  27175  bposlem6  27252  pntlemf  27568  ostth2lem2  27597  clwwlkvbij  30183  fzsplit3  32866  esumcvg  34230  sseqf  34536  gsumnunsn  34685  signstfvp  34715  iprodefisumlem  35922  poimirlem1  37942  poimirlem2  37943  poimirlem3  37944  poimirlem4  37945  poimirlem6  37947  poimirlem7  37948  poimirlem8  37949  poimirlem9  37950  poimirlem12  37953  poimirlem13  37954  poimirlem14  37955  poimirlem15  37956  poimirlem16  37957  poimirlem17  37958  poimirlem18  37959  poimirlem19  37960  poimirlem20  37961  poimirlem21  37962  poimirlem22  37963  poimirlem23  37964  poimirlem24  37965  poimirlem26  37967  poimirlem27  37968  poimirlem31  37972  poimirlem32  37973  sdclem2  38063  fdc  38066  mettrifi  38078  bfplem2  38144  rexrabdioph  43222  monotuz  43369  wallispilem1  46493  dirkertrigeqlem2  46527  sge0p1  46842  carageniuncllem1  46949  iccpartres  47878  iccelpart  47893  fmtno4prm  48038