Theorem peano2uz 12109

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1116	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		peano2z 11830	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1114	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		zre 11791	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 11791	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		letrp1 11279	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
7	5, 6	syl3an2 1144	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
8	4, 7	syl3an1 1143	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
9	1, 3, 8	3jca 1108	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
10		eluz2 12058	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
11		eluz2 12058	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
12	9, 10, 11	3imtr4i 284	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1068   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4923  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  ℝcr 10328  1c1 10330   + caddc 10332   ≤ cle 10469  ℤcz 11787  ℤ_≥cuz 12052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-er 8083  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-nn 11434  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053

This theorem is referenced by:  peano2uzs  12110  peano2uzr  12111  uzaddcl  12112  fzsplit  12743  fzssp1  12760  fzsuc  12764  fzpred  12765  fzp1ss  12768  fzp1elp1  12770  fztp  12773  fzneuz  12798  fzosplitsnm1  12921  fzofzp1  12943  fzosplitsn  12954  fzosplitpr  12955  fzostep1  12962  om2uzuzi  13126  uzrdgsuci  13137  fzen2  13146  fzfi  13149  seqsplit  13212  seqf1olem1  13218  seqf1olem2  13219  seqz  13227  faclbnd3  13461  bcm1k  13484  seqcoll  13629  seqcoll2  13630  swrds1  13838  pfxccatpfx2  13935  clim2ser  14866  clim2ser2  14867  serf0  14892  iseraltlem2  14894  iseralt  14896  fsump1  14965  fsump1i  14978  fsumparts  15015  cvgcmp  15025  isum1p  15050  isumsup2  15055  climcndslem1  15058  climcndslem2  15059  climcnds  15060  cvgrat  15093  mertenslem1  15094  clim2prod  15098  clim2div  15099  ntrivcvgfvn0  15109  fprodntriv  15150  fprodp1  15177  fprodabs  15182  binomfallfaclem2  15248  pcfac  16085  gsumprval  17743  telgsumfzslem  18852  telgsumfzs  18853  dvply2g  24571  aaliou3lem2  24629  ppinprm  25425  chtnprm  25427  ppiublem1  25474  chtublem  25483  chtub  25484  bposlem6  25561  pntlemf  25877  ostth2lem2  25906  clwwlkvbij  27635  clwwlkvbijOLD  27636  fzsplit3  30267  esumcvg  30989  sseqf  31296  gsumnunsn  31457  signstfvp  31488  iprodefisumlem  32492  poimirlem1  34334  poimirlem2  34335  poimirlem3  34336  poimirlem4  34337  poimirlem6  34339  poimirlem7  34340  poimirlem8  34341  poimirlem9  34342  poimirlem12  34345  poimirlem13  34346  poimirlem14  34347  poimirlem15  34348  poimirlem16  34349  poimirlem17  34350  poimirlem18  34351  poimirlem19  34352  poimirlem20  34353  poimirlem21  34354  poimirlem22  34355  poimirlem23  34356  poimirlem24  34357  poimirlem26  34359  poimirlem27  34360  poimirlem31  34364  poimirlem32  34365  sdclem2  34459  fdc  34462  mettrifi  34474  bfplem2  34543  rexrabdioph  38787  monotuz  38934  wallispilem1  41781  dirkertrigeqlem2  41815  sge0p1  42127  carageniuncllem1  42234  iccpartres  42950  iccelpart  42965  fmtno4prm  43105