Theorem peano2uz 13009

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		peano2z 12718	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		zre 12678	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12678	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		letrp1 12142	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
7	5, 6	syl3an2 1182	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
8	4, 7	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
9	1, 3, 8	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
10		eluz2 12952	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
11		eluz2 12952	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
12	9, 10, 11	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  1c1 11182   + caddc 11184   ≤ cle 11325  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947

This theorem is used by:  peano2uzs  13010  peano2uzr  13011  uzaddcl  13012  fzsplit  13664  fzssp1  13681  fzsuc  13685  fzpred  13686  fzp1ss  13689  fzp1elp1  13691  fztp  13694  fzdif1  13719  fzneuz  13722  fzosplitsnm1  13855  fzofzp1  13879  fzosplitsn  13891  fzosplitpr  13892  fzostep1  13901  om2uzuzi  14072  uzrdgsuci  14083  fzen2  14092  fzfi  14095  seqsplit  14158  seqf1olem1  14164  seqf1olem2  14165  seqz  14173  faclbnd3  14416  bcm1k  14439  seqcoll  14589  seqcoll2  14590  swrds1  14796  pfxccatpfx2  14866  clim2ser  15802  clim2ser2  15803  serf0  15828  iseraltlem2  15830  iseralt  15832  fsump1  15902  fsump1i  15915  fsumparts  15953  cvgcmp  15963  isum1p  15990  isumsup2  15995  climcndslem1  15998  climcndslem2  15999  climcnds  16000  cvgrat  16032  mertenslem1  16033  clim2prod  16037  clim2div  16038  ntrivcvgfvn0  16048  fprodntriv  16089  fprodp1  16116  fprodabs  16121  binomfallfaclem2  16186  pcfac  17057  gsumsplit1r  18856  gsumprval  18857  telgsumfzslem  20182  telgsumfzs  20183  dvply2g  26588  aaliou3lem2  26652  ppinprm  27461  chtnprm  27463  ppiublem1  27511  chtublem  27520  chtub  27521  bposlem6  27598  pntlemf  27914  ostth2lem2  27943  clwwlkvbij  30686  fzsplit3  33367  esumcvg  34700  sseqf  35007  gsumnunsn  35156  signstfvp  35183  iprodefisumlem  36474  poimirlem1  38507  poimirlem2  38508  poimirlem3  38509  poimirlem4  38510  poimirlem6  38512  poimirlem7  38513  poimirlem8  38514  poimirlem9  38515  poimirlem12  38518  poimirlem13  38519  poimirlem14  38520  poimirlem15  38521  poimirlem16  38522  poimirlem17  38523  poimirlem18  38524  poimirlem19  38525  poimirlem20  38526  poimirlem21  38527  poimirlem22  38528  poimirlem23  38529  poimirlem24  38530  poimirlem26  38532  poimirlem27  38533  poimirlem31  38537  poimirlem32  38538  sdclem2  38644  fdc  38647  mettrifi  38659  bfplem2  38725  rexrabdioph  43754  monotuz  43901  wallispilem1  47019  dirkertrigeqlem2  47053  sge0p1  47368  carageniuncllem1  47475  iccpartres  48444  iccelpart  48459  fmtno4prm  48604