Theorem peano2uz 12944

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		peano2z 12660	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		zre 12619	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12619	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		letrp1 12112	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
7	5, 6	syl3an2 1164	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
8	4, 7	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
9	1, 3, 8	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
10		eluz2 12885	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
11		eluz2 12885	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
12	9, 10, 11	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  1c1 11157   + caddc 11159   ≤ cle 11297  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880

This theorem is referenced by:  peano2uzs  12945  peano2uzr  12946  uzaddcl  12947  fzsplit  13591  fzssp1  13608  fzsuc  13612  fzpred  13613  fzp1ss  13616  fzp1elp1  13618  fztp  13621  fzdif1  13646  fzneuz  13649  fzosplitsnm1  13780  fzofzp1  13804  fzosplitsn  13815  fzosplitpr  13816  fzostep1  13823  om2uzuzi  13991  uzrdgsuci  14002  fzen2  14011  fzfi  14014  seqsplit  14077  seqf1olem1  14083  seqf1olem2  14084  seqz  14092  faclbnd3  14332  bcm1k  14355  seqcoll  14504  seqcoll2  14505  swrds1  14705  pfxccatpfx2  14776  clim2ser  15692  clim2ser2  15693  serf0  15718  iseraltlem2  15720  iseralt  15722  fsump1  15793  fsump1i  15806  fsumparts  15843  cvgcmp  15853  isum1p  15878  isumsup2  15883  climcndslem1  15886  climcndslem2  15887  climcnds  15888  cvgrat  15920  mertenslem1  15921  clim2prod  15925  clim2div  15926  ntrivcvgfvn0  15936  fprodntriv  15979  fprodp1  16006  fprodabs  16011  binomfallfaclem2  16077  pcfac  16938  gsumsplit1r  18701  gsumprval  18702  telgsumfzslem  20007  telgsumfzs  20008  dvply2g  26327  dvply2gOLD  26328  aaliou3lem2  26386  ppinprm  27196  chtnprm  27198  ppiublem1  27247  chtublem  27256  chtub  27257  bposlem6  27334  pntlemf  27650  ostth2lem2  27679  clwwlkvbij  30133  fzsplit3  32796  esumcvg  34088  sseqf  34395  gsumnunsn  34557  signstfvp  34587  iprodefisumlem  35741  poimirlem1  37629  poimirlem2  37630  poimirlem3  37631  poimirlem4  37632  poimirlem6  37634  poimirlem7  37635  poimirlem8  37636  poimirlem9  37637  poimirlem12  37640  poimirlem13  37641  poimirlem14  37642  poimirlem15  37643  poimirlem16  37644  poimirlem17  37645  poimirlem18  37646  poimirlem19  37647  poimirlem20  37648  poimirlem21  37649  poimirlem22  37650  poimirlem23  37651  poimirlem24  37652  poimirlem26  37654  poimirlem27  37655  poimirlem31  37659  poimirlem32  37660  sdclem2  37750  fdc  37753  mettrifi  37765  bfplem2  37831  rexrabdioph  42810  monotuz  42958  wallispilem1  46085  dirkertrigeqlem2  46119  sge0p1  46434  carageniuncllem1  46541  iccpartres  47410  iccelpart  47425  fmtno4prm  47567