Theorem peano2uz 12881

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		peano2z 12599	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		zre 12558	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12558	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		letrp1 12054	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
7	5, 6	syl3an2 1164	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
8	4, 7	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
9	1, 3, 8	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
10		eluz2 12824	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
11		eluz2 12824	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
12	9, 10, 11	3imtr4i 291	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   ≤ cle 11245  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819

This theorem is referenced by:  peano2uzs  12882  peano2uzr  12883  uzaddcl  12884  fzsplit  13523  fzssp1  13540  fzsuc  13544  fzpred  13545  fzp1ss  13548  fzp1elp1  13550  fztp  13553  fzneuz  13578  fzosplitsnm1  13703  fzofzp1  13725  fzosplitsn  13736  fzosplitpr  13737  fzostep1  13744  om2uzuzi  13910  uzrdgsuci  13921  fzen2  13930  fzfi  13933  seqsplit  13997  seqf1olem1  14003  seqf1olem2  14004  seqz  14012  faclbnd3  14248  bcm1k  14271  seqcoll  14421  seqcoll2  14422  swrds1  14612  pfxccatpfx2  14683  clim2ser  15597  clim2ser2  15598  serf0  15623  iseraltlem2  15625  iseralt  15627  fsump1  15698  fsump1i  15711  fsumparts  15748  cvgcmp  15758  isum1p  15783  isumsup2  15788  climcndslem1  15791  climcndslem2  15792  climcnds  15793  cvgrat  15825  mertenslem1  15826  clim2prod  15830  clim2div  15831  ntrivcvgfvn0  15841  fprodntriv  15882  fprodp1  15909  fprodabs  15914  binomfallfaclem2  15980  pcfac  16828  gsumsplit1r  18602  gsumprval  18603  telgsumfzslem  19850  telgsumfzs  19851  dvply2g  25789  aaliou3lem2  25847  ppinprm  26645  chtnprm  26647  ppiublem1  26694  chtublem  26703  chtub  26704  bposlem6  26781  pntlemf  27097  ostth2lem2  27126  clwwlkvbij  29355  fzsplit3  31992  esumcvg  33072  sseqf  33379  gsumnunsn  33540  signstfvp  33570  iprodefisumlem  34698  poimirlem1  36477  poimirlem2  36478  poimirlem3  36479  poimirlem4  36480  poimirlem6  36482  poimirlem7  36483  poimirlem8  36484  poimirlem9  36485  poimirlem12  36488  poimirlem13  36489  poimirlem14  36490  poimirlem15  36491  poimirlem16  36492  poimirlem17  36493  poimirlem18  36494  poimirlem19  36495  poimirlem20  36496  poimirlem21  36497  poimirlem22  36498  poimirlem23  36499  poimirlem24  36500  poimirlem26  36502  poimirlem27  36503  poimirlem31  36507  poimirlem32  36508  sdclem2  36598  fdc  36601  mettrifi  36613  bfplem2  36679  rexrabdioph  41517  monotuz  41665  wallispilem1  44767  dirkertrigeqlem2  44801  sge0p1  45116  carageniuncllem1  45223  iccpartres  46072  iccelpart  46087  fmtno4prm  46229