MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2uz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2uz 12293
Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2uz (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem peano2uz
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 peano2z 12015 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
323ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4 zre 11977 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5 zre 11977 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6 letrp1 11477 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
75, 6syl3an2 1161 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
84, 7syl3an1 1160 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
91, 3, 83jca 1125 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
10 eluz2 12241 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
11 eluz2 12241 . 2 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
129, 10, 113imtr4i 295 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084  wcel 2112   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  cr 10529  1c1 10531   + caddc 10533  cle 10669  cz 11973  cuz 12235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236
This theorem is referenced by:  peano2uzs  12294  peano2uzr  12295  uzaddcl  12296  fzsplit  12932  fzssp1  12949  fzsuc  12953  fzpred  12954  fzp1ss  12957  fzp1elp1  12959  fztp  12962  fzneuz  12987  fzosplitsnm1  13111  fzofzp1  13133  fzosplitsn  13144  fzosplitpr  13145  fzostep1  13152  om2uzuzi  13316  uzrdgsuci  13327  fzen2  13336  fzfi  13339  seqsplit  13403  seqf1olem1  13409  seqf1olem2  13410  seqz  13418  faclbnd3  13652  bcm1k  13675  seqcoll  13822  seqcoll2  13823  swrds1  14023  pfxccatpfx2  14094  clim2ser  15007  clim2ser2  15008  serf0  15033  iseraltlem2  15035  iseralt  15037  fsump1  15107  fsump1i  15120  fsumparts  15157  cvgcmp  15167  isum1p  15192  isumsup2  15197  climcndslem1  15200  climcndslem2  15201  climcnds  15202  cvgrat  15235  mertenslem1  15236  clim2prod  15240  clim2div  15241  ntrivcvgfvn0  15251  fprodntriv  15292  fprodp1  15319  fprodabs  15324  binomfallfaclem2  15390  pcfac  16229  gsumsplit1r  17893  gsumprval  17894  telgsumfzslem  19105  telgsumfzs  19106  dvply2g  24885  aaliou3lem2  24943  ppinprm  25741  chtnprm  25743  ppiublem1  25790  chtublem  25799  chtub  25800  bposlem6  25877  pntlemf  26193  ostth2lem2  26222  clwwlkvbij  27902  fzsplit3  30547  esumcvg  31459  sseqf  31764  gsumnunsn  31925  signstfvp  31955  iprodefisumlem  33086  poimirlem1  35057  poimirlem2  35058  poimirlem3  35059  poimirlem4  35060  poimirlem6  35062  poimirlem7  35063  poimirlem8  35064  poimirlem9  35065  poimirlem12  35068  poimirlem13  35069  poimirlem14  35070  poimirlem15  35071  poimirlem16  35072  poimirlem17  35073  poimirlem18  35074  poimirlem19  35075  poimirlem20  35076  poimirlem21  35077  poimirlem22  35078  poimirlem23  35079  poimirlem24  35080  poimirlem26  35082  poimirlem27  35083  poimirlem31  35087  poimirlem32  35088  sdclem2  35179  fdc  35182  mettrifi  35194  bfplem2  35260  rexrabdioph  39728  monotuz  39875  wallispilem1  42700  dirkertrigeqlem2  42734  sge0p1  43046  carageniuncllem1  43153  iccpartres  43928  iccelpart  43943  fmtno4prm  44085
  Copyright terms: Public domain W3C validator