Theorem peano2uz 12801

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		peano2z 12519	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		zre 12479	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12479	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		letrp1 11972	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
7	5, 6	syl3an2 1164	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
8	4, 7	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
9	1, 3, 8	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
10		eluz2 12744	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
11		eluz2 12744	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
12	9, 10, 11	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  1c1 11014   + caddc 11016   ≤ cle 11154  ℤcz 12475  ℤ_≥cuz 12738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739

This theorem is referenced by:  peano2uzs  12802  peano2uzr  12803  uzaddcl  12804  fzsplit  13452  fzssp1  13469  fzsuc  13473  fzpred  13474  fzp1ss  13477  fzp1elp1  13479  fztp  13482  fzdif1  13507  fzneuz  13510  fzosplitsnm1  13642  fzofzp1  13666  fzosplitsn  13678  fzosplitpr  13679  fzostep1  13688  om2uzuzi  13858  uzrdgsuci  13869  fzen2  13878  fzfi  13881  seqsplit  13944  seqf1olem1  13950  seqf1olem2  13951  seqz  13959  faclbnd3  14201  bcm1k  14224  seqcoll  14373  seqcoll2  14374  swrds1  14576  pfxccatpfx2  14646  clim2ser  15564  clim2ser2  15565  serf0  15590  iseraltlem2  15592  iseralt  15594  fsump1  15665  fsump1i  15678  fsumparts  15715  cvgcmp  15725  isum1p  15750  isumsup2  15755  climcndslem1  15758  climcndslem2  15759  climcnds  15760  cvgrat  15792  mertenslem1  15793  clim2prod  15797  clim2div  15798  ntrivcvgfvn0  15808  fprodntriv  15851  fprodp1  15878  fprodabs  15883  binomfallfaclem2  15949  pcfac  16813  gsumsplit1r  18597  gsumprval  18598  telgsumfzslem  19902  telgsumfzs  19903  dvply2g  26220  dvply2gOLD  26221  aaliou3lem2  26279  ppinprm  27090  chtnprm  27092  ppiublem1  27141  chtublem  27150  chtub  27151  bposlem6  27228  pntlemf  27544  ostth2lem2  27573  clwwlkvbij  30095  fzsplit3  32780  esumcvg  34120  sseqf  34426  gsumnunsn  34575  signstfvp  34605  iprodefisumlem  35805  poimirlem1  37682  poimirlem2  37683  poimirlem3  37684  poimirlem4  37685  poimirlem6  37687  poimirlem7  37688  poimirlem8  37689  poimirlem9  37690  poimirlem12  37693  poimirlem13  37694  poimirlem14  37695  poimirlem15  37696  poimirlem16  37697  poimirlem17  37698  poimirlem18  37699  poimirlem19  37700  poimirlem20  37701  poimirlem21  37702  poimirlem22  37703  poimirlem23  37704  poimirlem24  37705  poimirlem26  37707  poimirlem27  37708  poimirlem31  37712  poimirlem32  37713  sdclem2  37803  fdc  37806  mettrifi  37818  bfplem2  37884  rexrabdioph  42912  monotuz  43059  wallispilem1  46188  dirkertrigeqlem2  46222  sge0p1  46537  carageniuncllem1  46644  iccpartres  47543  iccelpart  47558  fmtno4prm  47700