Theorem peano2uz 12826

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		peano2z 12544	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		zre 12504	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12504	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		letrp1 11997	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
7	5, 6	syl3an2 1165	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
8	4, 7	syl3an1 1164	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
9	1, 3, 8	3jca 1129	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
10		eluz2 12769	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
11		eluz2 12769	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
12	9, 10, 11	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   ≤ cle 11179  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764

This theorem is referenced by:  peano2uzs  12827  peano2uzr  12828  uzaddcl  12829  fzsplit  13478  fzssp1  13495  fzsuc  13499  fzpred  13500  fzp1ss  13503  fzp1elp1  13505  fztp  13508  fzdif1  13533  fzneuz  13536  fzosplitsnm1  13668  fzofzp1  13692  fzosplitsn  13704  fzosplitpr  13705  fzostep1  13714  om2uzuzi  13884  uzrdgsuci  13895  fzen2  13904  fzfi  13907  seqsplit  13970  seqf1olem1  13976  seqf1olem2  13977  seqz  13985  faclbnd3  14227  bcm1k  14250  seqcoll  14399  seqcoll2  14400  swrds1  14602  pfxccatpfx2  14672  clim2ser  15590  clim2ser2  15591  serf0  15616  iseraltlem2  15618  iseralt  15620  fsump1  15691  fsump1i  15704  fsumparts  15741  cvgcmp  15751  isum1p  15776  isumsup2  15781  climcndslem1  15784  climcndslem2  15785  climcnds  15786  cvgrat  15818  mertenslem1  15819  clim2prod  15823  clim2div  15824  ntrivcvgfvn0  15834  fprodntriv  15877  fprodp1  15904  fprodabs  15909  binomfallfaclem2  15975  pcfac  16839  gsumsplit1r  18624  gsumprval  18625  telgsumfzslem  19929  telgsumfzs  19930  dvply2g  26260  dvply2gOLD  26261  aaliou3lem2  26319  ppinprm  27130  chtnprm  27132  ppiublem1  27181  chtublem  27190  chtub  27191  bposlem6  27268  pntlemf  27584  ostth2lem2  27613  clwwlkvbij  30200  fzsplit3  32883  esumcvg  34263  sseqf  34569  gsumnunsn  34718  signstfvp  34748  iprodefisumlem  35953  poimirlem1  37869  poimirlem2  37870  poimirlem3  37871  poimirlem4  37872  poimirlem6  37874  poimirlem7  37875  poimirlem8  37876  poimirlem9  37877  poimirlem12  37880  poimirlem13  37881  poimirlem14  37882  poimirlem15  37883  poimirlem16  37884  poimirlem17  37885  poimirlem18  37886  poimirlem19  37887  poimirlem20  37888  poimirlem21  37889  poimirlem22  37890  poimirlem23  37891  poimirlem24  37892  poimirlem26  37894  poimirlem27  37895  poimirlem31  37899  poimirlem32  37900  sdclem2  37990  fdc  37993  mettrifi  38005  bfplem2  38071  rexrabdioph  43148  monotuz  43295  wallispilem1  46420  dirkertrigeqlem2  46454  sge0p1  46769  carageniuncllem1  46876  iccpartres  47775  iccelpart  47790  fmtno4prm  47932