MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2uz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2uz 11953
Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2uz (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem peano2uz
StepHypRef Expression
1 simp1 1159 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 peano2z 11678 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
323ad2ant2 1157 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4 zre 11641 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5 zre 11641 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6 letrp1 11144 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
75, 6syl3an2 1196 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
84, 7syl3an1 1195 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
91, 3, 83jca 1151 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
10 eluz2 11904 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
11 eluz2 11904 . 2 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
129, 10, 113imtr4i 283 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1100  wcel 2155   class class class wbr 4837  cfv 6095  (class class class)co 6868  cr 10214  1c1 10216   + caddc 10218  cle 10354  cz 11637  cuz 11898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-iun 4707  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-om 7290  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-er 7973  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-nn 11300  df-n0 11554  df-z 11638  df-uz 11899
This theorem is referenced by:  peano2uzs  11954  peano2uzr  11955  uzaddcl  11956  fzsplit  12584  fzssp1  12601  fzsuc  12605  fzpred  12606  fzp1ss  12609  fzp1elp1  12611  fztp  12614  fzneuz  12638  fzosplitsnm1  12761  fzofzp1  12783  fzosplitsn  12794  fzosplitpr  12795  fzostep1  12802  om2uzuzi  12966  uzrdgsuci  12977  fzen2  12986  fzfi  12989  seqsplit  13051  seqf1olem1  13057  seqf1olem2  13058  seqz  13066  faclbnd3  13293  bcm1k  13316  seqcoll  13459  seqcoll2  13460  swrds1  13669  clim2ser  14602  clim2ser2  14603  serf0  14628  iseraltlem2  14630  iseralt  14632  fsump1  14704  fsump1i  14717  fsumparts  14754  cvgcmp  14764  isum1p  14789  isumsup2  14794  climcndslem1  14797  climcndslem2  14798  climcnds  14799  cvgrat  14830  mertenslem1  14831  clim2prod  14835  clim2div  14836  ntrivcvgfvn0  14846  fprodntriv  14887  fprodp1  14914  fprodabs  14919  binomfallfaclem2  14985  pcfac  15814  gsumprval  17480  telgsumfzslem  18581  telgsumfzs  18582  dvply2g  24248  aaliou3lem2  24306  ppinprm  25086  chtnprm  25088  ppiublem1  25135  chtublem  25144  chtub  25145  bposlem6  25222  pntlemf  25502  ostth2lem2  25531  clwwlkvbij  27276  clwwlkvbijOLDOLD  27277  clwwlkvbijOLD  27278  fzsplit3  29874  esumcvg  30467  sseqf  30773  gsumnunsn  30934  signstfvp  30967  iprodefisumlem  31942  poimirlem1  33717  poimirlem2  33718  poimirlem3  33719  poimirlem4  33720  poimirlem6  33722  poimirlem7  33723  poimirlem8  33724  poimirlem9  33725  poimirlem12  33728  poimirlem13  33729  poimirlem14  33730  poimirlem15  33731  poimirlem16  33732  poimirlem17  33733  poimirlem18  33734  poimirlem19  33735  poimirlem20  33736  poimirlem21  33737  poimirlem22  33738  poimirlem23  33739  poimirlem24  33740  poimirlem26  33742  poimirlem27  33743  poimirlem31  33747  poimirlem32  33748  sdclem2  33843  fdc  33846  mettrifi  33858  bfplem2  33927  rexrabdioph  37854  monotuz  38001  wallispilem1  40755  dirkertrigeqlem2  40789  sge0p1  41104  carageniuncllem1  41211  iccpartres  41923  iccelpart  41938  pfxccatpfx2  41997  fmtno4prm  42056
  Copyright terms: Public domain W3C validator