Theorem peano2uz 12462

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1138	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		peano2z 12183	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1136	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		zre 12145	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12145	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		letrp1 11641	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
7	5, 6	syl3an2 1166	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
8	4, 7	syl3an1 1165	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
9	1, 3, 8	3jca 1130	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
10		eluz2 12409	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
11		eluz2 12409	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
12	9, 10, 11	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1089   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5039  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℝcr 10693  1c1 10695   + caddc 10697   ≤ cle 10833  ℤcz 12141  ℤ_≥cuz 12403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404

This theorem is referenced by:  peano2uzs  12463  peano2uzr  12464  uzaddcl  12465  fzsplit  13103  fzssp1  13120  fzsuc  13124  fzpred  13125  fzp1ss  13128  fzp1elp1  13130  fztp  13133  fzneuz  13158  fzosplitsnm1  13282  fzofzp1  13304  fzosplitsn  13315  fzosplitpr  13316  fzostep1  13323  om2uzuzi  13487  uzrdgsuci  13498  fzen2  13507  fzfi  13510  seqsplit  13574  seqf1olem1  13580  seqf1olem2  13581  seqz  13589  faclbnd3  13823  bcm1k  13846  seqcoll  13995  seqcoll2  13996  swrds1  14196  pfxccatpfx2  14267  clim2ser  15183  clim2ser2  15184  serf0  15209  iseraltlem2  15211  iseralt  15213  fsump1  15283  fsump1i  15296  fsumparts  15333  cvgcmp  15343  isum1p  15368  isumsup2  15373  climcndslem1  15376  climcndslem2  15377  climcnds  15378  cvgrat  15410  mertenslem1  15411  clim2prod  15415  clim2div  15416  ntrivcvgfvn0  15426  fprodntriv  15467  fprodp1  15494  fprodabs  15499  binomfallfaclem2  15565  pcfac  16415  gsumsplit1r  18113  gsumprval  18114  telgsumfzslem  19327  telgsumfzs  19328  dvply2g  25132  aaliou3lem2  25190  ppinprm  25988  chtnprm  25990  ppiublem1  26037  chtublem  26046  chtub  26047  bposlem6  26124  pntlemf  26440  ostth2lem2  26469  clwwlkvbij  28150  fzsplit3  30789  esumcvg  31720  sseqf  32025  gsumnunsn  32186  signstfvp  32216  iprodefisumlem  33375  poimirlem1  35464  poimirlem2  35465  poimirlem3  35466  poimirlem4  35467  poimirlem6  35469  poimirlem7  35470  poimirlem8  35471  poimirlem9  35472  poimirlem12  35475  poimirlem13  35476  poimirlem14  35477  poimirlem15  35478  poimirlem16  35479  poimirlem17  35480  poimirlem18  35481  poimirlem19  35482  poimirlem20  35483  poimirlem21  35484  poimirlem22  35485  poimirlem23  35486  poimirlem24  35487  poimirlem26  35489  poimirlem27  35490  poimirlem31  35494  poimirlem32  35495  sdclem2  35586  fdc  35589  mettrifi  35601  bfplem2  35667  rexrabdioph  40260  monotuz  40407  wallispilem1  43224  dirkertrigeqlem2  43258  sge0p1  43570  carageniuncllem1  43677  iccpartres  44486  iccelpart  44501  fmtno4prm  44643