Theorem afv0fv0 47095

Description: If the value of the alternative function at an argument is the empty set, the function's value at this argument is the empty set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afv0fv0	⊢ ((𝐹'''𝐴) = ∅ → (𝐹‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem afv0fv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5287	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		eleq1a 2828	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((𝐹'''𝐴) = ∅ → (𝐹'''𝐴) ∈ V))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = ∅ → (𝐹'''𝐴) ∈ V)
4		afvvfveq 47094	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ V → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
5		eqeq1 2738	. . . 4 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹'''𝐴) = ∅ ↔ (𝐹‘𝐴) = ∅))
6	5	biimpd 229	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹'''𝐴) = ∅ → (𝐹‘𝐴) = ∅))
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ V → ((𝐹'''𝐴) = ∅ → (𝐹‘𝐴) = ∅))
8	3, 7	mpcom 38	1 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = ∅ → (𝐹‘𝐴) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463  ∅c0 4313  ‘cfv 6540  '''cafv 47063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-br 5124  df-opab 5186  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-res 5677  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fv 6548  df-aiota 47031  df-dfat 47065  df-afv 47066

This theorem is referenced by:  afvfv0bi  47098  aov0ov0  47139