Theorem afv0fv0 47179

Description: If the value of the alternative function at an argument is the empty set, the function's value at this argument is the empty set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afv0fv0	⊢ ((𝐹'''𝐴) = ∅ → (𝐹‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem afv0fv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5245	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		eleq1a 2826	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((𝐹'''𝐴) = ∅ → (𝐹'''𝐴) ∈ V))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = ∅ → (𝐹'''𝐴) ∈ V)
4		afvvfveq 47178	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ V → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
5		eqeq1 2735	. . . 4 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹'''𝐴) = ∅ ↔ (𝐹‘𝐴) = ∅))
6	5	biimpd 229	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹'''𝐴) = ∅ → (𝐹‘𝐴) = ∅))
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ V → ((𝐹'''𝐴) = ∅ → (𝐹‘𝐴) = ∅))
8	3, 7	mpcom 38	1 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = ∅ → (𝐹‘𝐴) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4283  ‘cfv 6481  '''cafv 47147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-res 5628  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-aiota 47115  df-dfat 47149  df-afv 47150

This theorem is referenced by:  afvfv0bi  47182  aov0ov0  47223