Theorem afv0fv0 48188

Description: If the value of the alternative function at an argument is the empty set, the function's value at this argument is the empty set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afv0fv0	⊢ ((𝐹'''𝐴) = ∅ → (𝐹‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem afv0fv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5261	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		eleq1a 2856	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((𝐹'''𝐴) = ∅ → (𝐹'''𝐴) ∈ V))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = ∅ → (𝐹'''𝐴) ∈ V)
4		afvvfveq 48187	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ V → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
5		eqeq1 2765	. . . 4 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹'''𝐴) = ∅ ↔ (𝐹‘𝐴) = ∅))
6	5	biimpd 232	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹'''𝐴) = ∅ → (𝐹‘𝐴) = ∅))
7	4, 6	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ V → ((𝐹'''𝐴) = ∅ → (𝐹‘𝐴) = ∅))
8	3, 7	mpcom 39	1 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = ∅ → (𝐹‘𝐴) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ∅c0 4279  ‘cfv 6537  '''cafv 48156

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-res 5663  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-aiota 48124  df-dfat 48158  df-afv 48159

This theorem is used by:  afvfv0bi  48191  aov0ov0  48232