Theorem afvfv0bi 48495

Description: The function's value at an argument is the empty set if and only if the value of the alternative function at this argument is either the empty set or the universe. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afvfv0bi	⊢ ((𝐹‘𝐴) = ∅ ↔ ((𝐹'''𝐴) = ∅ ∨ (𝐹'''𝐴) = V))

Proof of Theorem afvfv0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioran 999	. . . 4 ⊢ (¬ ((𝐹'''𝐴) = ∅ ∨ (𝐹'''𝐴) = V) ↔ (¬ (𝐹'''𝐴) = ∅ ∧ ¬ (𝐹'''𝐴) = V))
2		df-ne 2960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ≠ V ↔ ¬ (𝐹'''𝐴) = V)
3		afvnufveq 48490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ≠ V → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
4	2, 3	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐹'''𝐴) = V → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
5		eqeq1 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹'''𝐴) = ∅ ↔ (𝐹‘𝐴) = ∅))
6	5	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → (¬ (𝐹'''𝐴) = ∅ ↔ ¬ (𝐹‘𝐴) = ∅))
7	6	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → (¬ (𝐹'''𝐴) = ∅ → ¬ (𝐹‘𝐴) = ∅))
8	4, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐹'''𝐴) = V → (¬ (𝐹'''𝐴) = ∅ → ¬ (𝐹‘𝐴) = ∅))
9	8	impcom 413	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐹'''𝐴) = ∅ ∧ ¬ (𝐹'''𝐴) = V) → ¬ (𝐹‘𝐴) = ∅)
10	1, 9	sylbi 220	. . 3 ⊢ (¬ ((𝐹'''𝐴) = ∅ ∨ (𝐹'''𝐴) = V) → ¬ (𝐹‘𝐴) = ∅)
11	10	con4i 115	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = ∅ → ((𝐹'''𝐴) = ∅ ∨ (𝐹'''𝐴) = V))
12		afv0fv0 48492	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = ∅ → (𝐹‘𝐴) = ∅)
13		afvpcfv0 48489	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = V → (𝐹‘𝐴) = ∅)
14	12, 13	jaoi 871	. 2 ⊢ (((𝐹'''𝐴) = ∅ ∨ (𝐹'''𝐴) = V) → (𝐹‘𝐴) = ∅)
15	11, 14	impbii 212	1 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = ∅ ↔ ((𝐹'''𝐴) = ∅ ∨ (𝐹'''𝐴) = V))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  ∅c0 4281  ‘cfv 6566  '''cafv 48461

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-res 5670  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-aiota 48428  df-dfat 48463  df-afv 48464

This theorem is used by:  aovov0bi  48539