Theorem afvfv0bi 48329

Description: The function's value at an argument is the empty set if and only if the value of the alternative function at this argument is either the empty set or the universe. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afvfv0bi	⊢ ((𝐹‘𝐴) = ∅ ↔ ((𝐹'''𝐴) = ∅ ∨ (𝐹'''𝐴) = V))

Proof of Theorem afvfv0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioran 999	. . . 4 ⊢ (¬ ((𝐹'''𝐴) = ∅ ∨ (𝐹'''𝐴) = V) ↔ (¬ (𝐹'''𝐴) = ∅ ∧ ¬ (𝐹'''𝐴) = V))
2		df-ne 2956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ≠ V ↔ ¬ (𝐹'''𝐴) = V)
3		afvnufveq 48324	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ≠ V → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
4	2, 3	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐹'''𝐴) = V → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
5		eqeq1 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹'''𝐴) = ∅ ↔ (𝐹‘𝐴) = ∅))
6	5	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → (¬ (𝐹'''𝐴) = ∅ ↔ ¬ (𝐹‘𝐴) = ∅))
7	6	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → (¬ (𝐹'''𝐴) = ∅ → ¬ (𝐹‘𝐴) = ∅))
8	4, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐹'''𝐴) = V → (¬ (𝐹'''𝐴) = ∅ → ¬ (𝐹‘𝐴) = ∅))
9	8	impcom 413	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐹'''𝐴) = ∅ ∧ ¬ (𝐹'''𝐴) = V) → ¬ (𝐹‘𝐴) = ∅)
10	1, 9	sylbi 220	. . 3 ⊢ (¬ ((𝐹'''𝐴) = ∅ ∨ (𝐹'''𝐴) = V) → ¬ (𝐹‘𝐴) = ∅)
11	10	con4i 115	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = ∅ → ((𝐹'''𝐴) = ∅ ∨ (𝐹'''𝐴) = V))
12		afv0fv0 48326	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = ∅ → (𝐹‘𝐴) = ∅)
13		afvpcfv0 48323	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = V → (𝐹‘𝐴) = ∅)
14	12, 13	jaoi 871	. 2 ⊢ (((𝐹'''𝐴) = ∅ ∨ (𝐹'''𝐴) = V) → (𝐹‘𝐴) = ∅)
15	11, 14	impbii 212	1 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = ∅ ↔ ((𝐹'''𝐴) = ∅ ∨ (𝐹'''𝐴) = V))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4277  ‘cfv 6541  '''cafv 48294

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-res 5662  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fv 6549  df-aiota 48262  df-dfat 48296  df-afv 48297

This theorem is used by:  aovov0bi  48373