Theorem afvfvn0fveq 47697

Description: If the function's value at an argument is not the empty set, it equals the value of the alternative function at this argument. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afvfvn0fveq	⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem afvfvn0fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvfundmfvn0 6901	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
2		df-dfat 47666	. . 3 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
3	1, 2	sylibr 236	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → 𝐹 defAt 𝐴)
4		afvfundmfveq 47685	. 2 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∅c0 4285  {csn 4581  dom cdm 5645   ↾ cres 5647  Fun wfun 6509  ‘cfv 6515   defAt wdfat 47663  '''cafv 47664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-res 5657  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fv 6523  df-aiota 47632  df-dfat 47666  df-afv 47667

This theorem is referenced by:  aovovn0oveq  47741