Theorem afvvfveq 48311

Description: The value of the alternative function at a set as argument equals the function's value at this argument. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afvvfveq	⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem afvvfveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvelim 48286	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = V → ¬ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵)
2	1	necon2ai 2984	. 2 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ≠ V)
3		afvnufveq 48310	. 2 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ≠ V → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
4	2, 3	syl 18	1 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ‘cfv 6538  '''cafv 48280

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-res 5662  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-aiota 48248  df-dfat 48282  df-afv 48283

This theorem is used by:  afv0fv0  48312  afv0nbfvbi  48314  aovvoveq  48355