Theorem afvvfveq 44157

Description: The value of the alternative function at a set as argument equals the function's value at this argument. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afvvfveq	⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem afvvfveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvelim 44132	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = V → ¬ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵)
2	1	necon2ai 2963	. 2 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ≠ V)
3		afvnufveq 44156	. 2 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ≠ V → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2934  Vcvv 3397  ‘cfv 6333  '''cafv 44126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-br 5028  df-opab 5090  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-res 5531  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fv 6341  df-aiota 44093  df-dfat 44128  df-afv 44129

This theorem is referenced by:  afv0fv0  44158  afv0nbfvbi  44160  aovvoveq  44201