Theorem afv0nbfvbi 44530

Description: The function's value at an argument is an element of a set if and only if the value of the alternative function at this argument is an element of that set, if the set does not contain the empty set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afv0nbfvbi	⊢ (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem afv0nbfvbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		afvvfveq 44527	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
2		eleq1 2826	. . . 4 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))
3	2	biimpd 228	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))
4	1, 3	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
5		elnelne2 3059	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ∅ ∉ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ≠ ∅)
6	5	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∉ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ≠ ∅)
7		fvfundmfvn0 6794	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
8		df-dfat 44498	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
9		afvfundmfveq 44517	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
10	8, 9	sylbir 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
11		eleq1 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = (𝐹'''𝐴) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
12	11	eqcoms 2746	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
13	12	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
14	6, 7, 10, 13	4syl 19	. . . 4 ⊢ ((∅ ∉ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
15	14	ex 412	. . 3 ⊢ (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵)))
16	15	pm2.43d 53	. 2 ⊢ (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
17	4, 16	impbid2 225	1 ⊢ (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∉ wnel 3048  ∅c0 4253  {csn 4558  dom cdm 5580   ↾ cres 5582  Fun wfun 6412  ‘cfv 6418   defAt wdfat 44495  '''cafv 44496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-res 5592  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-aiota 44464  df-dfat 44498  df-afv 44499

This theorem is referenced by:  aov0nbovbi  44574