Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  afv0nbfvbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem afv0nbfvbi 41758
Description: The function's value at an argument is an element of a set if and only if the value of the alternative function at this argument is an element of that set, if the set does not contain the empty set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)
Assertion
Ref Expression
afv0nbfvbi (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem afv0nbfvbi
StepHypRef Expression
1 afvvfveq 41755 . . 3 ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴))
2 eleq1 2884 . . . 4 ((𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴) → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐵))
32biimpd 220 . . 3 ((𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴) → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵))
41, 3mpcom 38 . 2 ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)
5 elnelne2 3103 . . . . . 6 (((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ∅ ∉ 𝐵) → (𝐹𝐴) ≠ ∅)
65ancoms 448 . . . . 5 ((∅ ∉ 𝐵 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐹𝐴) ≠ ∅)
7 fvfundmfvn0 6456 . . . . 5 ((𝐹𝐴) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
8 df-dfat 41726 . . . . . 6 (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
9 afvfundmfveq 41745 . . . . . 6 (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴))
108, 9sylbir 226 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) → (𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴))
11 eleq1 2884 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) = (𝐹'''𝐴) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
1211eqcoms 2825 . . . . . 6 ((𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
1312biimpd 220 . . . . 5 ((𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
146, 7, 10, 134syl 19 . . . 4 ((∅ ∉ 𝐵 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
1514ex 399 . . 3 (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵)))
1615pm2.43d 53 . 2 (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
174, 16impbid2 217 1 (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  wnel 3092  c0 4127  {csn 4381  dom cdm 5324  cres 5326  Fun wfun 6105  cfv 6111   defAt wdfat 41723  '''cafv 41724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-nul 4128  df-if 4291  df-sn 4382  df-pr 4384  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-br 4856  df-opab 4918  df-id 5232  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-res 5336  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fv 6119  df-aiota 41687  df-dfat 41726  df-afv 41727
This theorem is referenced by:  aov0nbovbi  41802
  Copyright terms: Public domain W3C validator