Theorem afv0nbfvbi 47275

Description: The function's value at an argument is an element of a set if and only if the value of the alternative function at this argument is an element of that set, if the set does not contain the empty set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afv0nbfvbi	⊢ (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem afv0nbfvbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		afvvfveq 47272	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
2		eleq1 2821	. . . 4 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))
3	2	biimpd 229	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))
4	1, 3	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
5		elnelne2 3045	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ∅ ∉ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ≠ ∅)
6	5	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∉ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ≠ ∅)
7		fvfundmfvn0 6868	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
8		df-dfat 47243	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
9		afvfundmfveq 47262	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
10	8, 9	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
11		eleq1 2821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = (𝐹'''𝐴) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
12	11	eqcoms 2741	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
13	12	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
14	6, 7, 10, 13	4syl 19	. . . 4 ⊢ ((∅ ∉ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
15	14	ex 412	. . 3 ⊢ (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵)))
16	15	pm2.43d 53	. 2 ⊢ (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
17	4, 16	impbid2 226	1 ⊢ (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ∉ wnel 3033  ∅c0 4282  {csn 4575  dom cdm 5619   ↾ cres 5621  Fun wfun 6480  ‘cfv 6486   defAt wdfat 47240  '''cafv 47241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-br 5094  df-opab 5156  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-res 5631  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-aiota 47209  df-dfat 47243  df-afv 47244

This theorem is referenced by:  aov0nbovbi  47319