Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  afv0nbfvbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem afv0nbfvbi 46800
Description: The function's value at an argument is an element of a set if and only if the value of the alternative function at this argument is an element of that set, if the set does not contain the empty set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)
Assertion
Ref Expression
afv0nbfvbi (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem afv0nbfvbi
StepHypRef Expression
1 afvvfveq 46797 . . 3 ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴))
2 eleq1 2814 . . . 4 ((𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴) → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐵))
32biimpd 228 . . 3 ((𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴) → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵))
41, 3mpcom 38 . 2 ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)
5 elnelne2 3048 . . . . . 6 (((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ∅ ∉ 𝐵) → (𝐹𝐴) ≠ ∅)
65ancoms 457 . . . . 5 ((∅ ∉ 𝐵 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐹𝐴) ≠ ∅)
7 fvfundmfvn0 6936 . . . . 5 ((𝐹𝐴) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
8 df-dfat 46768 . . . . . 6 (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
9 afvfundmfveq 46787 . . . . . 6 (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴))
108, 9sylbir 234 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) → (𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴))
11 eleq1 2814 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) = (𝐹'''𝐴) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
1211eqcoms 2734 . . . . . 6 ((𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
1312biimpd 228 . . . . 5 ((𝐹'''𝐴) = (𝐹𝐴) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
146, 7, 10, 134syl 19 . . . 4 ((∅ ∉ 𝐵 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
1514ex 411 . . 3 (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵)))
1615pm2.43d 53 . 2 (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
174, 16impbid2 225 1 (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wnel 3036  c0 4322  {csn 4623  dom cdm 5674  cres 5676  Fun wfun 6540  cfv 6546   defAt wdfat 46765  '''cafv 46766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pr 5425
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-br 5146  df-opab 5208  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-res 5686  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fv 6554  df-aiota 46734  df-dfat 46768  df-afv 46769
This theorem is referenced by:  aov0nbovbi  46844
  Copyright terms: Public domain W3C validator