Theorem afv0nbfvbi 47776

Description: The function's value at an argument is an element of a set if and only if the value of the alternative function at this argument is an element of that set, if the set does not contain the empty set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afv0nbfvbi	⊢ (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem afv0nbfvbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		afvvfveq 47773	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
2		eleq1 2857	. . . 4 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))
3	2	biimpd 232	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))
4	1, 3	mpcom 39	. 2 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
5		elnelne2 3082	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ∅ ∉ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ≠ ∅)
6	5	ancoms 463	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∉ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ≠ ∅)
7		fvfundmfvn0 6922	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
8		df-dfat 47744	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
9		afvfundmfveq 47763	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
10	8, 9	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
11		eleq1 2857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = (𝐹'''𝐴) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
12	11	eqcoms 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
13	12	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
14	6, 7, 10, 13	4syl 20	. . . 4 ⊢ ((∅ ∉ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
15	14	ex 417	. . 3 ⊢ (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵)))
16	15	pm2.43d 54	. 2 ⊢ (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
17	4, 16	impbid2 229	1 ⊢ (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ∉ wnel 3070  ∅c0 4294  {csn 4594  dom cdm 5662   ↾ cres 5664  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537   defAt wdfat 47741  '''cafv 47742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-br 5114  df-opab 5178  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-res 5674  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-aiota 47710  df-dfat 47744  df-afv 47745

This theorem is referenced by:  aov0nbovbi  47820