Theorem afv0nbfvbi 47508

Description: The function's value at an argument is an element of a set if and only if the value of the alternative function at this argument is an element of that set, if the set does not contain the empty set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afv0nbfvbi	⊢ (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem afv0nbfvbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		afvvfveq 47505	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
2		eleq1 2825	. . . 4 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))
3	2	biimpd 229	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))
4	1, 3	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
5		elnelne2 3049	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ∅ ∉ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ≠ ∅)
6	5	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∉ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ≠ ∅)
7		fvfundmfvn0 6882	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
8		df-dfat 47476	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
9		afvfundmfveq 47495	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
10	8, 9	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
11		eleq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = (𝐹'''𝐴) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
12	11	eqcoms 2745	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
13	12	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
14	6, 7, 10, 13	4syl 19	. . . 4 ⊢ ((∅ ∉ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
15	14	ex 412	. . 3 ⊢ (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵)))
16	15	pm2.43d 53	. 2 ⊢ (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
17	4, 16	impbid2 226	1 ⊢ (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∉ wnel 3037  ∅c0 4287  {csn 4582  dom cdm 5632   ↾ cres 5634  Fun wfun 6494  ‘cfv 6500   defAt wdfat 47473  '''cafv 47474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-res 5644  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-aiota 47442  df-dfat 47476  df-afv 47477

This theorem is referenced by:  aov0nbovbi  47552