Theorem afv0nbfvbi 42046

Description: The function's value at an argument is an element of a set if and only if the value of the alternative function at this argument is an element of that set, if the set does not contain the empty set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afv0nbfvbi	⊢ (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))

Proof of Theorem afv0nbfvbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		afvvfveq 42043	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
2		eleq1 2894	. . . 4 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))
3	2	biimpd 221	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))
4	1, 3	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
5		elnelne2 3113	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ∅ ∉ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ≠ ∅)
6	5	ancoms 452	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∉ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝐴) ≠ ∅)
7		fvfundmfvn0 6472	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
8		df-dfat 42014	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})))
9		afvfundmfveq 42033	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 defAt 𝐴 → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
10	8, 9	sylbir 227	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {𝐴})) → (𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴))
11		eleq1 2894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = (𝐹'''𝐴) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
12	11	eqcoms 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
13	12	biimpd 221	. . . . 5 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
14	6, 7, 10, 13	4syl 19	. . . 4 ⊢ ((∅ ∉ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
15	14	ex 403	. . 3 ⊢ (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵)))
16	15	pm2.43d 53	. 2 ⊢ (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵))
17	4, 16	impbid2 218	1 ⊢ (∅ ∉ 𝐵 → ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999   ∉ wnel 3102  ∅c0 4144  {csn 4397  dom cdm 5342   ↾ cres 5344  Fun wfun 6117  ‘cfv 6123   defAt wdfat 42011  '''cafv 42012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-br 4874  df-opab 4936  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-res 5354  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fv 6131  df-aiota 41975  df-dfat 42014  df-afv 42015

This theorem is referenced by:  aov0nbovbi  42090