Theorem afvvfunressn 47908

Description: If the function value of a class for an argument is a set, the class restricted to the singleton of the argument is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afvvfunressn	⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → Fun (𝐹 ↾ {𝐴}))

Proof of Theorem afvvfunressn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfunsnafv 47907	. . 3 ⊢ (¬ Fun (𝐹 ↾ {𝐴}) → (𝐹'''𝐴) = V)
2		nvelim 47888	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = V → ¬ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (¬ Fun (𝐹 ↾ {𝐴}) → ¬ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵)
4	3	con4i 115	1 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → Fun (𝐹 ↾ {𝐴}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  {csn 4588   ↾ cres 5662  Fun wfun 6530  '''cafv 47882

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-res 5672  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-aiota 47850  df-dfat 47884  df-afv 47885

This theorem is used by:  aovvfunressn  47952