Theorem afvvfunressn 47137

Description: If the function value of a class for an argument is a set, the class restricted to the singleton of the argument is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afvvfunressn	⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → Fun (𝐹 ↾ {𝐴}))

Proof of Theorem afvvfunressn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfunsnafv 47136	. . 3 ⊢ (¬ Fun (𝐹 ↾ {𝐴}) → (𝐹'''𝐴) = V)
2		nvelim 47117	. . 3 ⊢ ((𝐹'''𝐴) = V → ¬ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (¬ Fun (𝐹 ↾ {𝐴}) → ¬ (𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵)
4	3	con4i 114	1 ⊢ ((𝐹'''𝐴) ∈ 𝐵 → Fun (𝐹 ↾ {𝐴}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  {csn 4585   ↾ cres 5633  Fun wfun 6493  '''cafv 47111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-res 5643  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fv 6507  df-aiota 47079  df-dfat 47113  df-afv 47114

This theorem is referenced by:  aovvfunressn  47181