Theorem asin1 27279

Description: The arcsine of 1 is π / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asin1	⊢ (arcsin‘1) = (π / 2)

Proof of Theorem asin1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11297	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		asinval 27267	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℂ → (arcsin‘1) = ( -i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (arcsin‘1) = ( -i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))))
4		ax-icn 11298	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	addridi 11536	. . . . . 6 ⊢ (i + 0) = i
6	4	mulridi 11352	. . . . . . 7 ⊢ (i · 1) = i
7		sq1 14378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
8	7	oveq2i 7462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − (1↑2)) = (1 − 1)
9		1m1e0 12455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
10	8, 9	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − (1↑2)) = 0
11	10	fveq2i 6919	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘(1 − (1↑2))) = (√‘0)
12		sqrt0 15451	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘0) = 0
13	11, 12	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ (√‘(1 − (1↑2))) = 0
14	6, 13	oveq12i 7463	. . . . . 6 ⊢ ((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))) = (i + 0)
15		efhalfpi 26857	. . . . . 6 ⊢ (exp‘(i · (π / 2))) = i
16	5, 14, 15	3eqtr4i 2796	. . . . 5 ⊢ ((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))) = (exp‘(i · (π / 2)))
17	16	fveq2i 6919	. . . 4 ⊢ (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))) = (log‘(exp‘(i · (π / 2))))
18		halfpire 26850	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
19	18	recni 11362	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
20	4, 19	mulcli 11355	. . . . . 6 ⊢ (i · (π / 2)) ∈ ℂ
21		pipos 26844	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < π
22		pire 26840	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
23		lt0neg2 11863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < π ↔ -π < 0)
25	21, 24	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ -π < 0
26		pirp 26847	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ+
27		rphalfcl 13189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ+
29		rpgt0 13173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (π / 2)
31	22	renegcli 11658	. . . . . . . . 9 ⊢ -π ∈ ℝ
32		0re 11349	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
33	31, 32, 18	lttri 11475	. . . . . . . 8 ⊢ (( -π < 0 ∧ 0 < (π / 2)) → -π < (π / 2))
34	25, 30, 33	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ -π < (π / 2)
35	20	addlidi 11537	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + (i · (π / 2))) = (i · (π / 2))
36	35	fveq2i 6919	. . . . . . . 8 ⊢ (ℑ‘(0 + (i · (π / 2)))) = (ℑ‘(i · (π / 2)))
37	32, 18	crimi 15403	. . . . . . . 8 ⊢ (ℑ‘(0 + (i · (π / 2)))) = (π / 2)
38	36, 37	eqtr3i 2788	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(i · (π / 2))) = (π / 2)
39	34, 38	breqtrri 5138	. . . . . 6 ⊢ -π < (ℑ‘(i · (π / 2)))
40		rphalflt 13191	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
41	26, 40	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) < π
42	18, 22, 41	ltleii 11472	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ≤ π
43	38, 42	eqbrtri 5132	. . . . . 6 ⊢ (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π
44		ellogrn 26944	. . . . . 6 ⊢ ((i · (π / 2)) ∈ ran log ↔ ((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(i · (π / 2))) ∧ (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π))
45	20, 39, 43, 44	mpbir3an 1360	. . . . 5 ⊢ (i · (π / 2)) ∈ ran log
46		logef 26966	. . . . 5 ⊢ ((i · (π / 2)) ∈ ran log → (log‘(exp‘(i · (π / 2)))) = (i · (π / 2)))
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (log‘(exp‘(i · (π / 2)))) = (i · (π / 2))
48	17, 47	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))) = (i · (π / 2))
49	48	oveq2i 7462	. 2 ⊢ ( -i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))))) = ( -i · (i · (π / 2)))
50	4, 4	mulneg1i 11801	. . . . . 6 ⊢ ( -i · i) = -(i · i)
51		ixi 11985	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) = -1
52	51	negeqi 11589	. . . . . 6 ⊢ -(i · i) = - -1
53		negneg1e1 12349	. . . . . 6 ⊢ - -1 = 1
54	50, 52, 53	3eqtri 2790	. . . . 5 ⊢ ( -i · i) = 1
55	54	oveq1i 7461	. . . 4 ⊢ (( -i · i) · (π / 2)) = (1 · (π / 2))
56		negicn 11597	. . . . 5 ⊢ -i ∈ ℂ
57	56, 4, 19	mulassi 11359	. . . 4 ⊢ (( -i · i) · (π / 2)) = ( -i · (i · (π / 2)))
58	55, 57	eqtr3i 2788	. . 3 ⊢ (1 · (π / 2)) = ( -i · (i · (π / 2)))
59	19	mullidi 11353	. . 3 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
60	58, 59	eqtr3i 2788	. 2 ⊢ ( -i · (i · (π / 2))) = (π / 2)
61	3, 49, 60	3eqtri 2790	1 ⊢ (arcsin‘1) = (π / 2)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ran crn 5659  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240  ici 11241   + caddc 11242   · cmul 11244   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580   -cneg 11581   / cdiv 12013  2c2 12437  ℝ⁺crp 13160  ↑cexp 14244  ℑcim 15308  √csqrt 15443  expce 16271  πcpi 16276  logclog 26939  arcsincasin 27247

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-pi 16282  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-haus 23688  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-cncf 25254  df-limc 26241  df-dv 26242  df-log 26941  df-asin 27250

This theorem is used by:  acos1  27280  reasinsin  27281  areacirc  38899