Theorem asin1 27112

Description: The arcsine of 1 is π / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asin1	⊢ (arcsin‘1) = (π / 2)

Proof of Theorem asin1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11175	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		asinval 27100	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℂ → (arcsin‘1) = (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (arcsin‘1) = (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))))
4		ax-icn 11176	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	addridi 11414	. . . . . 6 ⊢ (i + 0) = i
6	4	mulridi 11230	. . . . . . 7 ⊢ (i · 1) = i
7		sq1 14251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
8	7	oveq2i 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − (1↑2)) = (1 − 1)
9		1m1e0 12330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
10	8, 9	eqtri 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − (1↑2)) = 0
11	10	fveq2i 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘(1 − (1↑2))) = (√‘0)
12		sqrt0 15318	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘0) = 0
13	11, 12	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ (√‘(1 − (1↑2))) = 0
14	6, 13	oveq12i 7431	. . . . . 6 ⊢ ((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))) = (i + 0)
15		efhalfpi 26689	. . . . . 6 ⊢ (exp‘(i · (π / 2))) = i
16	5, 14, 15	3eqtr4i 2798	. . . . 5 ⊢ ((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))) = (exp‘(i · (π / 2)))
17	16	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))) = (log‘(exp‘(i · (π / 2))))
18		halfpire 26682	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
19	18	recni 11240	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
20	4, 19	mulcli 11233	. . . . . 6 ⊢ (i · (π / 2)) ∈ ℂ
21		pipos 26676	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < π
22		pire 26672	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
23		lt0neg2 11738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < π ↔ -π < 0)
25	21, 24	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ -π < 0
26		pirp 26679	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ+
27		rphalfcl 13063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ+
29		rpgt0 13047	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (π / 2)
31	22	renegcli 11536	. . . . . . . . 9 ⊢ -π ∈ ℝ
32		0re 11227	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
33	31, 32, 18	lttri 11353	. . . . . . . 8 ⊢ ((-π < 0 ∧ 0 < (π / 2)) → -π < (π / 2))
34	25, 30, 33	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ -π < (π / 2)
35	20	addlidi 11415	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + (i · (π / 2))) = (i · (π / 2))
36	35	fveq2i 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (ℑ‘(0 + (i · (π / 2)))) = (ℑ‘(i · (π / 2)))
37	32, 18	crimi 15270	. . . . . . . 8 ⊢ (ℑ‘(0 + (i · (π / 2)))) = (π / 2)
38	36, 37	eqtr3i 2790	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(i · (π / 2))) = (π / 2)
39	34, 38	breqtrri 5140	. . . . . 6 ⊢ -π < (ℑ‘(i · (π / 2)))
40		rphalflt 13065	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
41	26, 40	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) < π
42	18, 22, 41	ltleii 11350	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ≤ π
43	38, 42	eqbrtri 5134	. . . . . 6 ⊢ (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π
44		ellogrn 26777	. . . . . 6 ⊢ ((i · (π / 2)) ∈ ran log ↔ ((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(i · (π / 2))) ∧ (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π))
45	20, 39, 43, 44	mpbir3an 1360	. . . . 5 ⊢ (i · (π / 2)) ∈ ran log
46		logef 26799	. . . . 5 ⊢ ((i · (π / 2)) ∈ ran log → (log‘(exp‘(i · (π / 2)))) = (i · (π / 2)))
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (log‘(exp‘(i · (π / 2)))) = (i · (π / 2))
48	17, 47	eqtri 2788	. . 3 ⊢ (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))) = (i · (π / 2))
49	48	oveq2i 7430	. 2 ⊢ (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))))) = (-i · (i · (π / 2)))
50	4, 4	mulneg1i 11677	. . . . . 6 ⊢ (-i · i) = -(i · i)
51		ixi 11860	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) = -1
52	51	negeqi 11467	. . . . . 6 ⊢ -(i · i) = --1
53		negneg1e1 12224	. . . . . 6 ⊢ --1 = 1
54	50, 52, 53	3eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ (-i · i) = 1
55	54	oveq1i 7429	. . . 4 ⊢ ((-i · i) · (π / 2)) = (1 · (π / 2))
56		negicn 11475	. . . . 5 ⊢ -i ∈ ℂ
57	56, 4, 19	mulassi 11237	. . . 4 ⊢ ((-i · i) · (π / 2)) = (-i · (i · (π / 2)))
58	55, 57	eqtr3i 2790	. . 3 ⊢ (1 · (π / 2)) = (-i · (i · (π / 2)))
59	19	mullidi 11231	. . 3 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
60	58, 59	eqtr3i 2790	. 2 ⊢ (-i · (i · (π / 2))) = (π / 2)
61	3, 49, 60	3eqtri 2792	1 ⊢ (arcsin‘1) = (π / 2)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  ℝcr 11116  0cc0 11117  1c1 11118  ici 11119   + caddc 11120   · cmul 11122   < clt 11260   ≤ cle 11261   − cmin 11458  -cneg 11459   / cdiv 11888  2c2 12312  ℝ⁺crp 13034  ↑cexp 14117  ℑcim 15175  √csqrt 15310  expce 16139  πcpi 16144  logclog 26772  arcsincasin 27080

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16145  df-sin 16147  df-cos 16148  df-pi 16150  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-rest 17499  df-topn 17500  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-topgen 17520  df-pt 17521  df-prds 17524  df-xrs 17580  df-qtop 17585  df-imas 17586  df-xps 17588  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-mulg 19180  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-fbas 21571  df-fg 21572  df-cnfld 21575  df-top 23103  df-topon 23120  df-topsp 23142  df-bases 23155  df-cld 23228  df-ntr 23229  df-cls 23230  df-nei 23307  df-lp 23345  df-perf 23346  df-cn 23436  df-cnp 23437  df-haus 23524  df-tx 23772  df-hmeo 23965  df-fil 24056  df-fm 24148  df-flim 24149  df-flf 24150  df-xms 24530  df-ms 24531  df-tms 24532  df-cncf 25090  df-limc 26078  df-dv 26079  df-log 26774  df-asin 27083

This theorem is used by:  acos1  27113  reasinsin  27114  areacirc  38423