MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asin1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asin1 25399
Description: The arcsine of 1 is π / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asin1 (arcsin‘1) = (π / 2)

Proof of Theorem asin1
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 10584 . . 3 1 ∈ ℂ
2 asinval 25387 . . 3 (1 ∈ ℂ → (arcsin‘1) = (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))))))
31, 2ax-mp 5 . 2 (arcsin‘1) = (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))))
4 ax-icn 10585 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
54addid1i 10816 . . . . . 6 (i + 0) = i
64mulid1i 10634 . . . . . . 7 (i · 1) = i
7 sq1 13548 . . . . . . . . . . 11 (1↑2) = 1
87oveq2i 7156 . . . . . . . . . 10 (1 − (1↑2)) = (1 − 1)
9 1m1e0 11698 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
108, 9eqtri 2844 . . . . . . . . 9 (1 − (1↑2)) = 0
1110fveq2i 6667 . . . . . . . 8 (√‘(1 − (1↑2))) = (√‘0)
12 sqrt0 14591 . . . . . . . 8 (√‘0) = 0
1311, 12eqtri 2844 . . . . . . 7 (√‘(1 − (1↑2))) = 0
146, 13oveq12i 7157 . . . . . 6 ((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))) = (i + 0)
15 efhalfpi 24986 . . . . . 6 (exp‘(i · (π / 2))) = i
165, 14, 153eqtr4i 2854 . . . . 5 ((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))) = (exp‘(i · (π / 2)))
1716fveq2i 6667 . . . 4 (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))) = (log‘(exp‘(i · (π / 2))))
18 halfpire 24979 . . . . . . . 8 (π / 2) ∈ ℝ
1918recni 10644 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℂ
204, 19mulcli 10637 . . . . . 6 (i · (π / 2)) ∈ ℂ
21 pipos 24975 . . . . . . . . 9 0 < π
22 pire 24973 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
23 lt0neg2 11136 . . . . . . . . . 10 (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0 < π ↔ -π < 0)
2521, 24mpbi 231 . . . . . . . 8 -π < 0
26 pirp 24976 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ+
27 rphalfcl 12406 . . . . . . . . . 10 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π / 2) ∈ ℝ+
29 rpgt0 12391 . . . . . . . . 9 ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 < (π / 2)
3122renegcli 10936 . . . . . . . . 9 -π ∈ ℝ
32 0re 10632 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
3331, 32, 18lttri 10755 . . . . . . . 8 ((-π < 0 ∧ 0 < (π / 2)) → -π < (π / 2))
3425, 30, 33mp2an 688 . . . . . . 7 -π < (π / 2)
3520addid2i 10817 . . . . . . . . 9 (0 + (i · (π / 2))) = (i · (π / 2))
3635fveq2i 6667 . . . . . . . 8 (ℑ‘(0 + (i · (π / 2)))) = (ℑ‘(i · (π / 2)))
3732, 18crimi 14542 . . . . . . . 8 (ℑ‘(0 + (i · (π / 2)))) = (π / 2)
3836, 37eqtr3i 2846 . . . . . . 7 (ℑ‘(i · (π / 2))) = (π / 2)
3934, 38breqtrri 5085 . . . . . 6 -π < (ℑ‘(i · (π / 2)))
40 rphalflt 12408 . . . . . . . . 9 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
4126, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 (π / 2) < π
4218, 22, 41ltleii 10752 . . . . . . 7 (π / 2) ≤ π
4338, 42eqbrtri 5079 . . . . . 6 (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π
44 ellogrn 25070 . . . . . 6 ((i · (π / 2)) ∈ ran log ↔ ((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(i · (π / 2))) ∧ (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π))
4520, 39, 43, 44mpbir3an 1333 . . . . 5 (i · (π / 2)) ∈ ran log
46 logef 25092 . . . . 5 ((i · (π / 2)) ∈ ran log → (log‘(exp‘(i · (π / 2)))) = (i · (π / 2)))
4745, 46ax-mp 5 . . . 4 (log‘(exp‘(i · (π / 2)))) = (i · (π / 2))
4817, 47eqtri 2844 . . 3 (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))) = (i · (π / 2))
4948oveq2i 7156 . 2 (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))))) = (-i · (i · (π / 2)))
504, 4mulneg1i 11075 . . . . . 6 (-i · i) = -(i · i)
51 ixi 11258 . . . . . . 7 (i · i) = -1
5251negeqi 10868 . . . . . 6 -(i · i) = --1
53 negneg1e1 11744 . . . . . 6 --1 = 1
5450, 52, 533eqtri 2848 . . . . 5 (-i · i) = 1
5554oveq1i 7155 . . . 4 ((-i · i) · (π / 2)) = (1 · (π / 2))
56 negicn 10876 . . . . 5 -i ∈ ℂ
5756, 4, 19mulassi 10641 . . . 4 ((-i · i) · (π / 2)) = (-i · (i · (π / 2)))
5855, 57eqtr3i 2846 . . 3 (1 · (π / 2)) = (-i · (i · (π / 2)))
5919mulid2i 10635 . . 3 (1 · (π / 2)) = (π / 2)
6058, 59eqtr3i 2846 . 2 (-i · (i · (π / 2))) = (π / 2)
613, 49, 603eqtri 2848 1 (arcsin‘1) = (π / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5058  ran crn 5550  cfv 6349  (class class class)co 7145  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  ici 10528   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  2c2 11681  +crp 12379  cexp 13419  cim 14447  csqrt 14582  expce 15405  πcpi 15410  logclog 25065  arcsincasin 25367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-ef 15411  df-sin 15413  df-cos 15414  df-pi 15416  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-submnd 17947  df-mulg 18165  df-cntz 18387  df-cmn 18839  df-psmet 20467  df-xmet 20468  df-met 20469  df-bl 20470  df-mopn 20471  df-fbas 20472  df-fg 20473  df-cnfld 20476  df-top 21432  df-topon 21449  df-topsp 21471  df-bases 21484  df-cld 21557  df-ntr 21558  df-cls 21559  df-nei 21636  df-lp 21674  df-perf 21675  df-cn 21765  df-cnp 21766  df-haus 21853  df-tx 22100  df-hmeo 22293  df-fil 22384  df-fm 22476  df-flim 22477  df-flf 22478  df-xms 22859  df-ms 22860  df-tms 22861  df-cncf 23415  df-limc 24393  df-dv 24394  df-log 25067  df-asin 25370
This theorem is referenced by:  acos1  25400  reasinsin  25401  areacirc  34869
  Copyright terms: Public domain W3C validator