MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asin1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asin1 25624
Description: The arcsine of 1 is π / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asin1 (arcsin‘1) = (π / 2)

Proof of Theorem asin1
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 10666 . . 3 1 ∈ ℂ
2 asinval 25612 . . 3 (1 ∈ ℂ → (arcsin‘1) = (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))))))
31, 2ax-mp 5 . 2 (arcsin‘1) = (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))))
4 ax-icn 10667 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
54addid1i 10898 . . . . . 6 (i + 0) = i
64mulid1i 10716 . . . . . . 7 (i · 1) = i
7 sq1 13643 . . . . . . . . . . 11 (1↑2) = 1
87oveq2i 7175 . . . . . . . . . 10 (1 − (1↑2)) = (1 − 1)
9 1m1e0 11781 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
108, 9eqtri 2761 . . . . . . . . 9 (1 − (1↑2)) = 0
1110fveq2i 6671 . . . . . . . 8 (√‘(1 − (1↑2))) = (√‘0)
12 sqrt0 14684 . . . . . . . 8 (√‘0) = 0
1311, 12eqtri 2761 . . . . . . 7 (√‘(1 − (1↑2))) = 0
146, 13oveq12i 7176 . . . . . 6 ((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))) = (i + 0)
15 efhalfpi 25208 . . . . . 6 (exp‘(i · (π / 2))) = i
165, 14, 153eqtr4i 2771 . . . . 5 ((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))) = (exp‘(i · (π / 2)))
1716fveq2i 6671 . . . 4 (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))) = (log‘(exp‘(i · (π / 2))))
18 halfpire 25201 . . . . . . . 8 (π / 2) ∈ ℝ
1918recni 10726 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℂ
204, 19mulcli 10719 . . . . . 6 (i · (π / 2)) ∈ ℂ
21 pipos 25197 . . . . . . . . 9 0 < π
22 pire 25195 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
23 lt0neg2 11218 . . . . . . . . . 10 (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0 < π ↔ -π < 0)
2521, 24mpbi 233 . . . . . . . 8 -π < 0
26 pirp 25198 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ+
27 rphalfcl 12492 . . . . . . . . . 10 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π / 2) ∈ ℝ+
29 rpgt0 12477 . . . . . . . . 9 ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 < (π / 2)
3122renegcli 11018 . . . . . . . . 9 -π ∈ ℝ
32 0re 10714 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
3331, 32, 18lttri 10837 . . . . . . . 8 ((-π < 0 ∧ 0 < (π / 2)) → -π < (π / 2))
3425, 30, 33mp2an 692 . . . . . . 7 -π < (π / 2)
3520addid2i 10899 . . . . . . . . 9 (0 + (i · (π / 2))) = (i · (π / 2))
3635fveq2i 6671 . . . . . . . 8 (ℑ‘(0 + (i · (π / 2)))) = (ℑ‘(i · (π / 2)))
3732, 18crimi 14635 . . . . . . . 8 (ℑ‘(0 + (i · (π / 2)))) = (π / 2)
3836, 37eqtr3i 2763 . . . . . . 7 (ℑ‘(i · (π / 2))) = (π / 2)
3934, 38breqtrri 5054 . . . . . 6 -π < (ℑ‘(i · (π / 2)))
40 rphalflt 12494 . . . . . . . . 9 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
4126, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 (π / 2) < π
4218, 22, 41ltleii 10834 . . . . . . 7 (π / 2) ≤ π
4338, 42eqbrtri 5048 . . . . . 6 (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π
44 ellogrn 25295 . . . . . 6 ((i · (π / 2)) ∈ ran log ↔ ((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(i · (π / 2))) ∧ (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π))
4520, 39, 43, 44mpbir3an 1342 . . . . 5 (i · (π / 2)) ∈ ran log
46 logef 25317 . . . . 5 ((i · (π / 2)) ∈ ran log → (log‘(exp‘(i · (π / 2)))) = (i · (π / 2)))
4745, 46ax-mp 5 . . . 4 (log‘(exp‘(i · (π / 2)))) = (i · (π / 2))
4817, 47eqtri 2761 . . 3 (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))) = (i · (π / 2))
4948oveq2i 7175 . 2 (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))))) = (-i · (i · (π / 2)))
504, 4mulneg1i 11157 . . . . . 6 (-i · i) = -(i · i)
51 ixi 11340 . . . . . . 7 (i · i) = -1
5251negeqi 10950 . . . . . 6 -(i · i) = --1
53 negneg1e1 11827 . . . . . 6 --1 = 1
5450, 52, 533eqtri 2765 . . . . 5 (-i · i) = 1
5554oveq1i 7174 . . . 4 ((-i · i) · (π / 2)) = (1 · (π / 2))
56 negicn 10958 . . . . 5 -i ∈ ℂ
5756, 4, 19mulassi 10723 . . . 4 ((-i · i) · (π / 2)) = (-i · (i · (π / 2)))
5855, 57eqtr3i 2763 . . 3 (1 · (π / 2)) = (-i · (i · (π / 2)))
5919mulid2i 10717 . . 3 (1 · (π / 2)) = (π / 2)
6058, 59eqtr3i 2763 . 2 (-i · (i · (π / 2))) = (π / 2)
613, 49, 603eqtri 2765 1 (arcsin‘1) = (π / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209   = wceq 1542  wcel 2113   class class class wbr 5027  ran crn 5520  cfv 6333  (class class class)co 7164  cc 10606  cr 10607  0cc0 10608  1c1 10609  ici 10610   + caddc 10611   · cmul 10613   < clt 10746  cle 10747  cmin 10941  -cneg 10942   / cdiv 11368  2c2 11764  +crp 12465  cexp 13514  cim 14540  csqrt 14675  expce 15500  πcpi 15505  logclog 25290  arcsincasin 25592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-addf 10687  ax-mulf 10688
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-ioc 12819  df-ico 12820  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-mod 13322  df-seq 13454  df-exp 13515  df-fac 13719  df-bc 13748  df-hash 13776  df-shft 14509  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-limsup 14911  df-clim 14928  df-rlim 14929  df-sum 15129  df-ef 15506  df-sin 15508  df-cos 15509  df-pi 15511  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-hom 16685  df-cco 16686  df-rest 16792  df-topn 16793  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-topgen 16813  df-pt 16814  df-prds 16817  df-xrs 16871  df-qtop 16876  df-imas 16877  df-xps 16879  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-mulg 18336  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-fbas 20207  df-fg 20208  df-cnfld 20211  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-cld 21763  df-ntr 21764  df-cls 21765  df-nei 21842  df-lp 21880  df-perf 21881  df-cn 21971  df-cnp 21972  df-haus 22059  df-tx 22306  df-hmeo 22499  df-fil 22590  df-fm 22682  df-flim 22683  df-flf 22684  df-xms 23066  df-ms 23067  df-tms 23068  df-cncf 23623  df-limc 24610  df-dv 24611  df-log 25292  df-asin 25595
This theorem is referenced by:  acos1  25625  reasinsin  25626  areacirc  35482
  Copyright terms: Public domain W3C validator