MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asin1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asin1 26937
Description: The arcsine of 1 is π / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asin1 (arcsin‘1) = (π / 2)

Proof of Theorem asin1
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 11213 . . 3 1 ∈ ℂ
2 asinval 26925 . . 3 (1 ∈ ℂ → (arcsin‘1) = (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))))))
31, 2ax-mp 5 . 2 (arcsin‘1) = (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))))
4 ax-icn 11214 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
54addridi 11448 . . . . . 6 (i + 0) = i
64mulridi 11265 . . . . . . 7 (i · 1) = i
7 sq1 14234 . . . . . . . . . . 11 (1↑2) = 1
87oveq2i 7442 . . . . . . . . . 10 (1 − (1↑2)) = (1 − 1)
9 1m1e0 12338 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
108, 9eqtri 2765 . . . . . . . . 9 (1 − (1↑2)) = 0
1110fveq2i 6909 . . . . . . . 8 (√‘(1 − (1↑2))) = (√‘0)
12 sqrt0 15280 . . . . . . . 8 (√‘0) = 0
1311, 12eqtri 2765 . . . . . . 7 (√‘(1 − (1↑2))) = 0
146, 13oveq12i 7443 . . . . . 6 ((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))) = (i + 0)
15 efhalfpi 26513 . . . . . 6 (exp‘(i · (π / 2))) = i
165, 14, 153eqtr4i 2775 . . . . 5 ((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))) = (exp‘(i · (π / 2)))
1716fveq2i 6909 . . . 4 (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))) = (log‘(exp‘(i · (π / 2))))
18 halfpire 26506 . . . . . . . 8 (π / 2) ∈ ℝ
1918recni 11275 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℂ
204, 19mulcli 11268 . . . . . 6 (i · (π / 2)) ∈ ℂ
21 pipos 26502 . . . . . . . . 9 0 < π
22 pire 26500 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
23 lt0neg2 11770 . . . . . . . . . 10 (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0 < π ↔ -π < 0)
2521, 24mpbi 230 . . . . . . . 8 -π < 0
26 pirp 26503 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ+
27 rphalfcl 13062 . . . . . . . . . 10 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π / 2) ∈ ℝ+
29 rpgt0 13047 . . . . . . . . 9 ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 < (π / 2)
3122renegcli 11570 . . . . . . . . 9 -π ∈ ℝ
32 0re 11263 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
3331, 32, 18lttri 11387 . . . . . . . 8 ((-π < 0 ∧ 0 < (π / 2)) → -π < (π / 2))
3425, 30, 33mp2an 692 . . . . . . 7 -π < (π / 2)
3520addlidi 11449 . . . . . . . . 9 (0 + (i · (π / 2))) = (i · (π / 2))
3635fveq2i 6909 . . . . . . . 8 (ℑ‘(0 + (i · (π / 2)))) = (ℑ‘(i · (π / 2)))
3732, 18crimi 15232 . . . . . . . 8 (ℑ‘(0 + (i · (π / 2)))) = (π / 2)
3836, 37eqtr3i 2767 . . . . . . 7 (ℑ‘(i · (π / 2))) = (π / 2)
3934, 38breqtrri 5170 . . . . . 6 -π < (ℑ‘(i · (π / 2)))
40 rphalflt 13064 . . . . . . . . 9 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
4126, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 (π / 2) < π
4218, 22, 41ltleii 11384 . . . . . . 7 (π / 2) ≤ π
4338, 42eqbrtri 5164 . . . . . 6 (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π
44 ellogrn 26601 . . . . . 6 ((i · (π / 2)) ∈ ran log ↔ ((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(i · (π / 2))) ∧ (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π))
4520, 39, 43, 44mpbir3an 1342 . . . . 5 (i · (π / 2)) ∈ ran log
46 logef 26623 . . . . 5 ((i · (π / 2)) ∈ ran log → (log‘(exp‘(i · (π / 2)))) = (i · (π / 2)))
4745, 46ax-mp 5 . . . 4 (log‘(exp‘(i · (π / 2)))) = (i · (π / 2))
4817, 47eqtri 2765 . . 3 (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))) = (i · (π / 2))
4948oveq2i 7442 . 2 (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))))) = (-i · (i · (π / 2)))
504, 4mulneg1i 11709 . . . . . 6 (-i · i) = -(i · i)
51 ixi 11892 . . . . . . 7 (i · i) = -1
5251negeqi 11501 . . . . . 6 -(i · i) = --1
53 negneg1e1 12384 . . . . . 6 --1 = 1
5450, 52, 533eqtri 2769 . . . . 5 (-i · i) = 1
5554oveq1i 7441 . . . 4 ((-i · i) · (π / 2)) = (1 · (π / 2))
56 negicn 11509 . . . . 5 -i ∈ ℂ
5756, 4, 19mulassi 11272 . . . 4 ((-i · i) · (π / 2)) = (-i · (i · (π / 2)))
5855, 57eqtr3i 2767 . . 3 (1 · (π / 2)) = (-i · (i · (π / 2)))
5919mullidi 11266 . . 3 (1 · (π / 2)) = (π / 2)
6058, 59eqtr3i 2767 . 2 (-i · (i · (π / 2))) = (π / 2)
613, 49, 603eqtri 2769 1 (arcsin‘1) = (π / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  +crp 13034  cexp 14102  cim 15137  csqrt 15272  expce 16097  πcpi 16102  logclog 26596  arcsincasin 26905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-asin 26908
This theorem is referenced by:  acos1  26938  reasinsin  26939  areacirc  37720
  Copyright terms: Public domain W3C validator