MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asin1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asin1 24973
Description: The arcsine of 1 is π / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asin1 (arcsin‘1) = (π / 2)

Proof of Theorem asin1
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 10282 . . 3 1 ∈ ℂ
2 asinval 24961 . . 3 (1 ∈ ℂ → (arcsin‘1) = (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))))))
31, 2ax-mp 5 . 2 (arcsin‘1) = (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))))
4 ax-icn 10283 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
54addid1i 10513 . . . . . 6 (i + 0) = i
64mulid1i 10333 . . . . . . 7 (i · 1) = i
7 sq1 13212 . . . . . . . . . . 11 (1↑2) = 1
87oveq2i 6889 . . . . . . . . . 10 (1 − (1↑2)) = (1 − 1)
9 1m1e0 11385 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
108, 9eqtri 2821 . . . . . . . . 9 (1 − (1↑2)) = 0
1110fveq2i 6414 . . . . . . . 8 (√‘(1 − (1↑2))) = (√‘0)
12 sqrt0 14323 . . . . . . . 8 (√‘0) = 0
1311, 12eqtri 2821 . . . . . . 7 (√‘(1 − (1↑2))) = 0
146, 13oveq12i 6890 . . . . . 6 ((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))) = (i + 0)
15 efhalfpi 24565 . . . . . 6 (exp‘(i · (π / 2))) = i
165, 14, 153eqtr4i 2831 . . . . 5 ((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))) = (exp‘(i · (π / 2)))
1716fveq2i 6414 . . . 4 (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))) = (log‘(exp‘(i · (π / 2))))
18 halfpire 24558 . . . . . . . 8 (π / 2) ∈ ℝ
1918recni 10343 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℂ
204, 19mulcli 10336 . . . . . 6 (i · (π / 2)) ∈ ℂ
21 pipos 24554 . . . . . . . . 9 0 < π
22 pire 24552 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
23 lt0neg2 10827 . . . . . . . . . 10 (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0 < π ↔ -π < 0)
2521, 24mpbi 222 . . . . . . . 8 -π < 0
26 pirp 24555 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ+
27 rphalfcl 12103 . . . . . . . . . 10 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π / 2) ∈ ℝ+
29 rpgt0 12088 . . . . . . . . 9 ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 < (π / 2)
3122renegcli 10634 . . . . . . . . 9 -π ∈ ℝ
32 0re 10330 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
3331, 32, 18lttri 10453 . . . . . . . 8 ((-π < 0 ∧ 0 < (π / 2)) → -π < (π / 2))
3425, 30, 33mp2an 684 . . . . . . 7 -π < (π / 2)
3520addid2i 10514 . . . . . . . . 9 (0 + (i · (π / 2))) = (i · (π / 2))
3635fveq2i 6414 . . . . . . . 8 (ℑ‘(0 + (i · (π / 2)))) = (ℑ‘(i · (π / 2)))
3732, 18crimi 14274 . . . . . . . 8 (ℑ‘(0 + (i · (π / 2)))) = (π / 2)
3836, 37eqtr3i 2823 . . . . . . 7 (ℑ‘(i · (π / 2))) = (π / 2)
3934, 38breqtrri 4870 . . . . . 6 -π < (ℑ‘(i · (π / 2)))
40 rphalflt 12105 . . . . . . . . 9 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
4126, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 (π / 2) < π
4218, 22, 41ltleii 10450 . . . . . . 7 (π / 2) ≤ π
4338, 42eqbrtri 4864 . . . . . 6 (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π
44 ellogrn 24647 . . . . . 6 ((i · (π / 2)) ∈ ran log ↔ ((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(i · (π / 2))) ∧ (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π))
4520, 39, 43, 44mpbir3an 1442 . . . . 5 (i · (π / 2)) ∈ ran log
46 logef 24669 . . . . 5 ((i · (π / 2)) ∈ ran log → (log‘(exp‘(i · (π / 2)))) = (i · (π / 2)))
4745, 46ax-mp 5 . . . 4 (log‘(exp‘(i · (π / 2)))) = (i · (π / 2))
4817, 47eqtri 2821 . . 3 (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))) = (i · (π / 2))
4948oveq2i 6889 . 2 (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))))) = (-i · (i · (π / 2)))
504, 4mulneg1i 10768 . . . . . 6 (-i · i) = -(i · i)
51 ixi 10948 . . . . . . 7 (i · i) = -1
5251negeqi 10565 . . . . . 6 -(i · i) = --1
53 negneg1e1 11438 . . . . . 6 --1 = 1
5450, 52, 533eqtri 2825 . . . . 5 (-i · i) = 1
5554oveq1i 6888 . . . 4 ((-i · i) · (π / 2)) = (1 · (π / 2))
56 negicn 10573 . . . . 5 -i ∈ ℂ
5756, 4, 19mulassi 10340 . . . 4 ((-i · i) · (π / 2)) = (-i · (i · (π / 2)))
5855, 57eqtr3i 2823 . . 3 (1 · (π / 2)) = (-i · (i · (π / 2)))
5919mulid2i 10334 . . 3 (1 · (π / 2)) = (π / 2)
6058, 59eqtr3i 2823 . 2 (-i · (i · (π / 2))) = (π / 2)
613, 49, 603eqtri 2825 1 (arcsin‘1) = (π / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198   = wceq 1653  wcel 2157   class class class wbr 4843  ran crn 5313  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225  ici 10226   + caddc 10227   · cmul 10229   < clt 10363  cle 10364  cmin 10556  -cneg 10557   / cdiv 10976  2c2 11368  +crp 12074  cexp 13114  cim 14179  csqrt 14314  expce 15128  πcpi 15133  logclog 24642  arcsincasin 24941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ioo 12428  df-ioc 12429  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-mod 12924  df-seq 13056  df-exp 13115  df-fac 13314  df-bc 13343  df-hash 13371  df-shft 14148  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-limsup 14543  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-ef 15134  df-sin 15136  df-cos 15137  df-pi 15139  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-hom 16291  df-cco 16292  df-rest 16398  df-topn 16399  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-topgen 16419  df-pt 16420  df-prds 16423  df-xrs 16477  df-qtop 16482  df-imas 16483  df-xps 16485  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-mulg 17857  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-fbas 20065  df-fg 20066  df-cnfld 20069  df-top 21027  df-topon 21044  df-topsp 21066  df-bases 21079  df-cld 21152  df-ntr 21153  df-cls 21154  df-nei 21231  df-lp 21269  df-perf 21270  df-cn 21360  df-cnp 21361  df-haus 21448  df-tx 21694  df-hmeo 21887  df-fil 21978  df-fm 22070  df-flim 22071  df-flf 22072  df-xms 22453  df-ms 22454  df-tms 22455  df-cncf 23009  df-limc 23971  df-dv 23972  df-log 24644  df-asin 24944
This theorem is referenced by:  acos1  24974  reasinsin  24975  areacirc  33993
  Copyright terms: Public domain W3C validator