Theorem asin1 26819

Description: The arcsine of 1 is π / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asin1	⊢ (arcsin‘1) = (π / 2)

Proof of Theorem asin1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11190	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		asinval 26807	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℂ → (arcsin‘1) = (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (arcsin‘1) = (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))))
4		ax-icn 11191	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	addridi 11425	. . . . . 6 ⊢ (i + 0) = i
6	4	mulridi 11242	. . . . . . 7 ⊢ (i · 1) = i
7		sq1 14184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1↑2) = 1
8	7	oveq2i 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − (1↑2)) = (1 − 1)
9		1m1e0 12308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
10	8, 9	eqtri 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − (1↑2)) = 0
11	10	fveq2i 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘(1 − (1↑2))) = (√‘0)
12		sqrt0 15214	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘0) = 0
13	11, 12	eqtri 2756	. . . . . . 7 ⊢ (√‘(1 − (1↑2))) = 0
14	6, 13	oveq12i 7426	. . . . . 6 ⊢ ((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))) = (i + 0)
15		efhalfpi 26399	. . . . . 6 ⊢ (exp‘(i · (π / 2))) = i
16	5, 14, 15	3eqtr4i 2766	. . . . 5 ⊢ ((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))) = (exp‘(i · (π / 2)))
17	16	fveq2i 6894	. . . 4 ⊢ (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))) = (log‘(exp‘(i · (π / 2))))
18		halfpire 26392	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
19	18	recni 11252	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
20	4, 19	mulcli 11245	. . . . . 6 ⊢ (i · (π / 2)) ∈ ℂ
21		pipos 26388	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < π
22		pire 26386	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
23		lt0neg2 11745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < π ↔ -π < 0)
25	21, 24	mpbi 229	. . . . . . . 8 ⊢ -π < 0
26		pirp 26389	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ+
27		rphalfcl 13027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ+
29		rpgt0 13012	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (π / 2)
31	22	renegcli 11545	. . . . . . . . 9 ⊢ -π ∈ ℝ
32		0re 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
33	31, 32, 18	lttri 11364	. . . . . . . 8 ⊢ ((-π < 0 ∧ 0 < (π / 2)) → -π < (π / 2))
34	25, 30, 33	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ -π < (π / 2)
35	20	addlidi 11426	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + (i · (π / 2))) = (i · (π / 2))
36	35	fveq2i 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (ℑ‘(0 + (i · (π / 2)))) = (ℑ‘(i · (π / 2)))
37	32, 18	crimi 15166	. . . . . . . 8 ⊢ (ℑ‘(0 + (i · (π / 2)))) = (π / 2)
38	36, 37	eqtr3i 2758	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(i · (π / 2))) = (π / 2)
39	34, 38	breqtrri 5169	. . . . . 6 ⊢ -π < (ℑ‘(i · (π / 2)))
40		rphalflt 13029	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
41	26, 40	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) < π
42	18, 22, 41	ltleii 11361	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ≤ π
43	38, 42	eqbrtri 5163	. . . . . 6 ⊢ (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π
44		ellogrn 26486	. . . . . 6 ⊢ ((i · (π / 2)) ∈ ran log ↔ ((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(i · (π / 2))) ∧ (ℑ‘(i · (π / 2))) ≤ π))
45	20, 39, 43, 44	mpbir3an 1339	. . . . 5 ⊢ (i · (π / 2)) ∈ ran log
46		logef 26508	. . . . 5 ⊢ ((i · (π / 2)) ∈ ran log → (log‘(exp‘(i · (π / 2)))) = (i · (π / 2)))
47	45, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (log‘(exp‘(i · (π / 2)))) = (i · (π / 2))
48	17, 47	eqtri 2756	. . 3 ⊢ (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2))))) = (i · (π / 2))
49	48	oveq2i 7425	. 2 ⊢ (-i · (log‘((i · 1) + (√‘(1 − (1↑2)))))) = (-i · (i · (π / 2)))
50	4, 4	mulneg1i 11684	. . . . . 6 ⊢ (-i · i) = -(i · i)
51		ixi 11867	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) = -1
52	51	negeqi 11477	. . . . . 6 ⊢ -(i · i) = --1
53		negneg1e1 12354	. . . . . 6 ⊢ --1 = 1
54	50, 52, 53	3eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (-i · i) = 1
55	54	oveq1i 7424	. . . 4 ⊢ ((-i · i) · (π / 2)) = (1 · (π / 2))
56		negicn 11485	. . . . 5 ⊢ -i ∈ ℂ
57	56, 4, 19	mulassi 11249	. . . 4 ⊢ ((-i · i) · (π / 2)) = (-i · (i · (π / 2)))
58	55, 57	eqtr3i 2758	. . 3 ⊢ (1 · (π / 2)) = (-i · (i · (π / 2)))
59	19	mullidi 11243	. . 3 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
60	58, 59	eqtr3i 2758	. 2 ⊢ (-i · (i · (π / 2))) = (π / 2)
61	3, 49, 60	3eqtri 2760	1 ⊢ (arcsin‘1) = (π / 2)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  ran crn 5673  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11130  ℝcr 11131  0cc0 11132  1c1 11133  ici 11134   + caddc 11135   · cmul 11137   < clt 11272   ≤ cle 11273   − cmin 11468  -cneg 11469   / cdiv 11895  2c2 12291  ℝ⁺crp 13000  ↑cexp 14052  ℑcim 15071  √csqrt 15206  expce 16031  πcpi 16036  logclog 26481  arcsincasin 26787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-ioo 13354  df-ioc 13355  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-mod 13861  df-seq 13993  df-exp 14053  df-fac 14259  df-bc 14288  df-hash 14316  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15441  df-clim 15458  df-rlim 15459  df-sum 15659  df-ef 16037  df-sin 16039  df-cos 16040  df-pi 16042  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17397  df-topn 17398  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-topgen 17418  df-pt 17419  df-prds 17422  df-xrs 17477  df-qtop 17482  df-imas 17483  df-xps 17485  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-mulg 19017  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-fbas 21269  df-fg 21270  df-cnfld 21273  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-cld 22916  df-ntr 22917  df-cls 22918  df-nei 22995  df-lp 23033  df-perf 23034  df-cn 23124  df-cnp 23125  df-haus 23212  df-tx 23459  df-hmeo 23652  df-fil 23743  df-fm 23835  df-flim 23836  df-flf 23837  df-xms 24219  df-ms 24220  df-tms 24221  df-cncf 24791  df-limc 25788  df-dv 25789  df-log 26483  df-asin 26790

This theorem is referenced by:  acos1  26820  reasinsin  26821  areacirc  37180