Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  areacirclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem areacirclem4 34866
Description: Endpoint-inclusive continuity of antiderivative of cross-section of circle. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
areacirclem4 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
Distinct variable group:   𝑡,𝑅

Proof of Theorem areacirclem4
StepHypRef Expression
1 rpcn 12387 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℂ)
21sqcld 13496 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
3 rpre 12385 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
43renegcld 11055 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅 ∈ ℝ)
5 iccssre 12806 . . . . 5 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
64, 3, 5syl2anc 584 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
7 ax-resscn 10582 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
86, 7sstrdi 3976 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ)
9 ssid 3986 . . . 4 ℂ ⊆ ℂ
109a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → ℂ ⊆ ℂ)
11 cncfmptc 23446 . . 3 (((𝑅↑2) ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (𝑅↑2)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
122, 8, 10, 11syl3anc 1363 . 2 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (𝑅↑2)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
13 eqid 2818 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1413addcn 23400 . . . 4 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
1514a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
168sselda 3964 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℂ)
171adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
18 rpne0 12393 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ≠ 0)
1918adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
2016, 17, 19divcld 11404 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℂ)
21 asinval 25387 . . . . . . 7 ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℂ → (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) = (-i · (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) = (-i · (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
23 ax-icn 10584 . . . . . . . . . . . 12 i ∈ ℂ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → i ∈ ℂ)
2524, 20mulcld 10649 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (i · (𝑡 / 𝑅)) ∈ ℂ)
26 1cnd 10624 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 1 ∈ ℂ)
2720sqcld 13496 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℂ)
2826, 27subcld 10985 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) ∈ ℂ)
2928sqrtcld 14785 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℂ)
3025, 29addcld 10648 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℂ)
31 0lt1 11150 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
32 simp3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → 𝑡 = 0)
3332oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (𝑡 / 𝑅) = (0 / 𝑅))
341, 18div0d 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0 / 𝑅) = 0)
35343ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (0 / 𝑅) = 0)
3633, 35eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (𝑡 / 𝑅) = 0)
3736oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (i · (𝑡 / 𝑅)) = (i · 0))
38 it0e0 11847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (i · 0) = 0
3937, 38syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (i · (𝑡 / 𝑅)) = 0)
4036oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) = (0↑2))
4140oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) = (1 − (0↑2)))
4241fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = (√‘(1 − (0↑2))))
43 sq0 13543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0↑2) = 0
4443oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 − (0↑2)) = (1 − 0)
45 1m0e1 11746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 − 0) = 1
4644, 45eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 − (0↑2)) = 1
4746fveq2i 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (√‘(1 − (0↑2))) = (√‘1)
48 sqrt1 14619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (√‘1) = 1
4947, 48eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (√‘(1 − (0↑2))) = 1
5042, 49syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = 1)
5139, 50oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (0 + 1))
52 0p1e1 11747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + 1) = 1
5351, 52syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = 1)
5453breq2d 5069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (0 < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ↔ 0 < 1))
55 0red 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → 0 ∈ ℝ)
56 1red 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → 1 ∈ ℝ)
5753, 56eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ)
5855, 57ltnled 10775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (0 < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ↔ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
5954, 58bitr3d 282 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (0 < 1 ↔ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
6031, 59mpbii 234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0)
61603expa 1110 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 = 0) → ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0)
6261olcd 870 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 = 0) → (¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
63 inelr 11616 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ i ∈ ℝ
6425, 29pncand 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (i · (𝑡 / 𝑅)))
65643adant3 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (i · (𝑡 / 𝑅)))
6665oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)) = ((i · (𝑡 / 𝑅)) · (𝑅 / 𝑡)))
6723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → i ∈ ℂ)
68203adant3 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℂ)
6913ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℂ)
70163adant3 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ∈ ℂ)
71 simp3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ≠ 0)
7269, 70, 71divcld 11404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑅 / 𝑡) ∈ ℂ)
7367, 68, 72mulassd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) · (𝑅 / 𝑡)) = (i · ((𝑡 / 𝑅) · (𝑅 / 𝑡))))
7466, 73eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)) = (i · ((𝑡 / 𝑅) · (𝑅 / 𝑡))))
75183ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑅 ≠ 0)
7670, 69, 71, 75divcan6d 11423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((𝑡 / 𝑅) · (𝑅 / 𝑡)) = 1)
7776oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (i · ((𝑡 / 𝑅) · (𝑅 / 𝑡))) = (i · 1))
7867mulid1d 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (i · 1) = i)
7974, 77, 783eqtrrd 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → i = ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)))
8079adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → i = ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)))
81 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ)
82 1red 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 1 ∈ ℝ)
836sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
843adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
8583, 84, 19redivcld 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ)
8685resqcld 13599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℝ)
8782, 86resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) ∈ ℝ)
88 elicc2 12789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
894, 3, 88syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
90 1red 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
91 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
923adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
9318adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
9491, 92, 93redivcld 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ)
9594resqcld 13599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℝ)
9690, 95subge0d 11218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) ↔ ((𝑡 / 𝑅)↑2) ≤ 1))
97 recn 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
9897adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
991adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
10098, 99, 93sqdivd 13511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) = ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)))
101100breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡 / 𝑅)↑2) ≤ 1 ↔ ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)) ≤ 1))
102 resqcl 13478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
103102adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
1043resqcld 13599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
105 rpgt0 12389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑅)
106 0red 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
107 0le0 11726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 0 ≤ 0
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 0)
109 rpge0 12390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑅)
110106, 3, 108, 109lt2sqd 13607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0 < 𝑅 ↔ (0↑2) < (𝑅↑2)))
11143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0↑2) = 0)
112111breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((0↑2) < (𝑅↑2) ↔ 0 < (𝑅↑2)))
113110, 112bitrd 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0 < 𝑅 ↔ 0 < (𝑅↑2)))
114105, 113mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < (𝑅↑2))
115104, 114elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℝ+)
116115adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ+)
117103, 90, 116ledivmuld 12472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡↑2) / (𝑅↑2)) ≤ 1 ↔ (𝑡↑2) ≤ ((𝑅↑2) · 1)))
118 absresq 14650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑡 ∈ ℝ → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
119118eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) = ((abs‘𝑡)↑2))
1202mulid1d 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · 1) = (𝑅↑2))
121119, 120breqan12rd 5074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) ≤ ((𝑅↑2) · 1) ↔ ((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2)))
12297abscld 14784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑡 ∈ ℝ → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
123122adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
12497absge0d 14792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑡 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝑡))
125124adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑡))
126109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑅)
127123, 92, 125, 126le2sqd 13608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ ((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2)))
12891, 92absled 14778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
129121, 127, 1283bitr2d 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) ≤ ((𝑅↑2) · 1) ↔ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
130117, 129bitrd 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡↑2) / (𝑅↑2)) ≤ 1 ↔ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
13196, 101, 1303bitrrd 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅𝑡𝑡𝑅) ↔ 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
132131biimpd 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅𝑡𝑡𝑅) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
133132exp4b 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅𝑡 → (𝑡𝑅 → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
1341333impd 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
13589, 134sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
136135imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))
13787, 136resqrtcld 14765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℝ)
1381373adant3 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℝ)
139138adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℝ)
14081, 139resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ)
14133ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ)
142833adant3 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ∈ ℝ)
143141, 142, 71redivcld 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑅 / 𝑡) ∈ ℝ)
144143adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → (𝑅 / 𝑡) ∈ ℝ)
145140, 144remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)) ∈ ℝ)
14680, 145eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → i ∈ ℝ)
147146ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
1481473expa 1110 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
14963, 148mtoi 200 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ)
150149orcd 869 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
15162, 150pm2.61dane 3101 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
152 ianor 975 . . . . . . . . . . 11 (¬ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0) ↔ (¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
153151, 152sylibr 235 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ¬ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
154 mnfxr 10686 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
155 0re 10631 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
156 elioc2 12787 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0)))
157154, 155, 156mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
158 3simpb 1141 . . . . . . . . . . 11 ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
159157, 158sylbi 218 . . . . . . . . . 10 (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (-∞(,]0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
160153, 159nsyl 142 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (-∞(,]0))
16130, 160eldifd 3944 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
162 fvres 6682 . . . . . . . 8 (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
163161, 162syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
164163oveq2d 7161 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (-i · ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))) = (-i · (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
16522, 164eqtr4d 2856 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) = (-i · ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
166165mpteq2dva 5152 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (arcsin‘(𝑡 / 𝑅))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (-i · ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))))
167 negicn 10875 . . . . . . 7 -i ∈ ℂ
168167a1i 11 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → -i ∈ ℂ)
169 cncfmptc 23446 . . . . . 6 ((-i ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ -i) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
170168, 8, 10, 169syl3anc 1363 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ -i) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
17113cnfldtopon 23318 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
172171a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
173 resttopon 21697 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (TopOn‘(-𝑅[,]𝑅)))
174172, 8, 173syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (TopOn‘(-𝑅[,]𝑅)))
175161fmpttd 6871 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))):(-𝑅[,]𝑅)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0)))
176 difssd 4106 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ)
17716, 17, 19divrec2d 11408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · 𝑡))
178177oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (i · (𝑡 / 𝑅)) = (i · ((1 / 𝑅) · 𝑡)))
1791, 18reccld 11397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
180179adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
18124, 180, 16mulassd 10652 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((i · (1 / 𝑅)) · 𝑡) = (i · ((1 / 𝑅) · 𝑡)))
182178, 181eqtr4d 2856 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (i · (𝑡 / 𝑅)) = ((i · (1 / 𝑅)) · 𝑡))
183182mpteq2dva 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (i · (𝑡 / 𝑅))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (1 / 𝑅)) · 𝑡)))
18423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → i ∈ ℂ)
185184, 179mulcld 10649 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (i · (1 / 𝑅)) ∈ ℂ)
186 cncfmptc 23446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i · (1 / 𝑅)) ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (i · (1 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
187185, 8, 10, 186syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (i · (1 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
188 cncfmptid 23447 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ 𝑡) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
1898, 10, 188syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ 𝑡) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
190187, 189mulcncf 23974 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (1 / 𝑅)) · 𝑡)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
191183, 190eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (i · (𝑡 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
19217, 29mulcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℂ)
193192, 17, 19divrec2d 11408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
19429, 17, 19divcan3d 11409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) / 𝑅) = (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
195104adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
1963sqge0d 13600 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑅↑2))
197196adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ (𝑅↑2))
198195, 197, 87, 136sqrtmuld 14772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = ((√‘(𝑅↑2)) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
1992adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
200199, 26, 27subdid 11084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = (((𝑅↑2) · 1) − ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
201199mulid1d 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · 1) = (𝑅↑2))
20216, 17, 19sqdivd 13511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) = ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)))
203202oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2)) = ((𝑅↑2) · ((𝑡↑2) / (𝑅↑2))))
20416sqcld 13496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
205 sqne0 13477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 ∈ ℂ → ((𝑅↑2) ≠ 0 ↔ 𝑅 ≠ 0))
2061, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) ≠ 0 ↔ 𝑅 ≠ 0))
20718, 206mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ≠ 0)
208207adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ≠ 0)
209204, 199, 208divcan2d 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡↑2) / (𝑅↑2))) = (𝑡↑2))
210203, 209eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2)) = (𝑡↑2))
211201, 210oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (((𝑅↑2) · 1) − ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
212200, 211eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
213212fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
214109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ 𝑅)
21584, 214sqrtsqd 14767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
216215oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((√‘(𝑅↑2)) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
217198, 213, 2163eqtr3rd 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
218217oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((1 / 𝑅) · (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
219193, 194, 2183eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
220219mpteq2dva 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
221 cncfmptc 23446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / 𝑅) ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (1 / 𝑅)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
222179, 8, 10, 221syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (1 / 𝑅)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
223 areacirclem2 34864 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
2243, 109, 223syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
225222, 224mulcncf 23974 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
226220, 225eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
22713, 15, 191, 226cncfmpt2f 23449 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
228 cncffvrn 23433 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))):(-𝑅[,]𝑅)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
229176, 227, 228syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))):(-𝑅[,]𝑅)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
230175, 229mpbird 258 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
231 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅))
232 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
23313, 231, 232cncfcn 23444 . . . . . . . . 9 (((-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ) → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
2348, 176, 233syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
235230, 234eleqtrd 2912 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
236 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
237236logcn 25157 . . . . . . . . 9 (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ)
238 difss 4105 . . . . . . . . . 10 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
239 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
24013, 232, 239cncfcn 23444 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
241238, 9, 240mp2an 688 . . . . . . . . 9 ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))
242237, 241eleqtri 2908 . . . . . . . 8 (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))
243242a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
244174, 235, 243cnmpt11f 22200 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
24513, 231, 239cncfcn 23444 . . . . . . 7 (((-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
2468, 10, 245syl2anc 584 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
247244, 246eleqtrrd 2913 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
248170, 247mulcncf 23974 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (-i · ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
249166, 248eqeltrd 2910 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (arcsin‘(𝑡 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
250219oveq2d 7161 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = ((𝑡 / 𝑅) · ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
251199, 204subcld 10985 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℂ)
252251sqrtcld 14785 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
25320, 180, 252mulassd 10652 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (((𝑡 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((𝑡 / 𝑅) · ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
25416, 17, 19divrecd 11407 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) = (𝑡 · (1 / 𝑅)))
255254oveq1d 7160 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) = ((𝑡 · (1 / 𝑅)) · (1 / 𝑅)))
25616, 180, 180mulassd 10652 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 · (1 / 𝑅)) · (1 / 𝑅)) = (𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))))
257255, 256eqtrd 2853 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) = (𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))))
258257oveq1d 7160 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (((𝑡 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
259250, 253, 2583eqtr2d 2859 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = ((𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
260259mpteq2dva 5152 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
261179, 179mulcld 10649 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) ∈ ℂ)
262 cncfmptc 23446 . . . . . . 7 ((((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
263261, 8, 10, 262syl3anc 1363 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
264189, 263mulcncf 23974 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
265264, 224mulcncf 23974 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
266260, 265eqeltrd 2910 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
26713, 15, 249, 266cncfmpt2f 23449 . 2 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
26812, 267mulcncf 23974 1 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cdif 3930  wss 3933   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cres 5550  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526  ici 10527   + caddc 10528   · cmul 10530  -∞cmnf 10661  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  2c2 11680  +crp 12377  (,]cioc 12727  [,]cicc 12729  cexp 13417  csqrt 14580  abscabs 14581  t crest 16682  TopOpenctopn 16683  fldccnfld 20473  TopOnctopon 21446   Cn ccn 21760   ×t ctx 22096  cnccncf 23411  logclog 25065  arcsincasin 25367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-tan 15413  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067  df-cxp 25068  df-asin 25370
This theorem is referenced by:  areacirc  34868
  Copyright terms: Public domain W3C validator