areacirclem4 - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem areacirclem4 37697

Description: Endpoint-inclusive continuity of antiderivative of cross-section of circle. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
areacirclem4	⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))

Distinct variable group: 𝑡,𝑅

**Proof of Theorem areacirclem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 13042	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℂ)
2	1	sqcld 14180	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
3		rpre 13040	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ)
4	3	renegcld 11687	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → -𝑅 ∈ ℝ)
5		iccssre 13465	. . . . 5 ⊢ ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
6	4, 3, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
7		ax-resscn 11209	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	6, 7	sstrdi 4007	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ)
9		ssid 4017	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ℂ ⊆ ℂ)
11		cncfmptc 24951	. . 3 ⊢ (((𝑅↑2) ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (𝑅↑2)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
12	2, 8, 10, 11	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (𝑅↑2)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
13		eqid 2734	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
14	13	addcn 24900	. . . 4 ⊢ + ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld))
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → + ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)))
16	8	sselda 3994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℂ)
17	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
18		rpne0 13048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ≠ 0)
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
20	16, 17, 19	divcld 12040	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℂ)
21		asinval 26939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℂ → (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) = (-i · (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) = (-i · (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
23		ax-icn 11211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → i ∈ ℂ)
25	24, 20	mulcld 11278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (i · (𝑡 / 𝑅)) ∈ ℂ)
26		1cnd 11253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 1 ∈ ℂ)
27	20	sqcld 14180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℂ)
28	26, 27	subcld 11617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) ∈ ℂ)
29	28	sqrtcld 15472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℂ)
30	25, 29	addcld 11277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℂ)
31		0lt1 11782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
32		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → 𝑡 = 0)
33	32	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (𝑡 / 𝑅) = (0 / 𝑅))
34	1, 18	div0d 12039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0 / 𝑅) = 0)
35	34	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (0 / 𝑅) = 0)
36	33, 35	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (𝑡 / 𝑅) = 0)
37	36	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (i · (𝑡 / 𝑅)) = (i · 0))
38		it0e0 12485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (i · 0) = 0
39	37, 38	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (i · (𝑡 / 𝑅)) = 0)
40	36	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) = (0↑2))
41	40	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) = (1 − (0↑2)))
42	41	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = (√‘(1 − (0↑2))))
43		sq0 14227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0↑2) = 0
44	43	oveq2i 7441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 − (0↑2)) = (1 − 0)
45		1m0e1 12384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 − 0) = 1
46	44, 45	eqtri 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 − (0↑2)) = 1
47	46	fveq2i 6909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (√‘(1 − (0↑2))) = (√‘1)
48		sqrt1 15306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (√‘1) = 1
49	47, 48	eqtri 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (√‘(1 − (0↑2))) = 1
50	42, 49	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = 1)
51	39, 50	oveq12d 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (0 + 1))
52		0p1e1 12385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 + 1) = 1
53	51, 52	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = 1)
54	53	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (0 < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ↔ 0 < 1))
55		0red 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → 0 ∈ ℝ)
56		1red 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → 1 ∈ ℝ)
57	53, 56	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ)
58	55, 57	ltnled 11405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (0 < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ↔ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
59	54, 58	bitr3d 281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (0 < 1 ↔ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
60	31, 59	mpbii 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0)
61	60	3expa 1117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 = 0) → ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0)
62	61	olcd 874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 = 0) → (¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
63		inelr 12253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
64	25, 29	pncand 11618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (i · (𝑡 / 𝑅)))
65	64	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (i · (𝑡 / 𝑅)))
66	65	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)) = ((i · (𝑡 / 𝑅)) · (𝑅 / 𝑡)))
67	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → i ∈ ℂ)
68	20	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℂ)
69	1	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℂ)
70	16	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ∈ ℂ)
71		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ≠ 0)
72	69, 70, 71	divcld 12040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑅 / 𝑡) ∈ ℂ)
73	67, 68, 72	mulassd 11281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) · (𝑅 / 𝑡)) = (i · ((𝑡 / 𝑅) · (𝑅 / 𝑡))))
74	66, 73	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)) = (i · ((𝑡 / 𝑅) · (𝑅 / 𝑡))))
75	18	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑅 ≠ 0)
76	70, 69, 71, 75	divcan6d 12059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((𝑡 / 𝑅) · (𝑅 / 𝑡)) = 1)
77	76	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (i · ((𝑡 / 𝑅) · (𝑅 / 𝑡))) = (i · 1))
78	67	mulridd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (i · 1) = i)
79	74, 77, 78	3eqtrrd 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → i = ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)))
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → i = ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)))
81		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ)
82		1red 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 1 ∈ ℝ)
83	6	sselda 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
84	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
85	83, 84, 19	redivcld 12092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ)
86	85	resqcld 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℝ)
87	82, 86	resubcld 11688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) ∈ ℝ)
88		elicc2 13448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
89	4, 3, 88	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
90		1red 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
91		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
92	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
93	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
94	91, 92, 93	redivcld 12092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ)
95	94	resqcld 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℝ)
96	90, 95	subge0d 11850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) ↔ ((𝑡 / 𝑅)↑2) ≤ 1))
97		recn 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
98	97	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
99	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
100	98, 99, 93	sqdivd 14195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) = ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)))
101	100	breq1d 5157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡 / 𝑅)↑2) ≤ 1 ↔ ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)) ≤ 1))
102		resqcl 14160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
103	102	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
104	3	resqcld 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
105		rpgt0 13044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 < 𝑅)
106		0red 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ∈ ℝ)
107		0le0 12364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ 0 ≤ 0
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ 0)
109		rpge0 13045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ 𝑅)
110	106, 3, 108, 109	lt2sqd 14291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0 < 𝑅 ↔ (0↑2) < (𝑅↑2)))
111	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0↑2) = 0)
112	111	breq1d 5157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((0↑2) < (𝑅↑2) ↔ 0 < (𝑅↑2)))
113	110, 112	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0 < 𝑅 ↔ 0 < (𝑅↑2)))
114	105, 113	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 < (𝑅↑2))
115	104, 114	elrpd 13071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℝ⁺)
116	115	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ⁺)
117	103, 90, 116	ledivmuld 13127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡↑2) / (𝑅↑2)) ≤ 1 ↔ (𝑡↑2) ≤ ((𝑅↑2) · 1)))
118		absresq 15337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
119	118	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) = ((abs‘𝑡)↑2))
120	2	mulridd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) · 1) = (𝑅↑2))
121	119, 120	breqan12rd 5164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) ≤ ((𝑅↑2) · 1) ↔ ((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2)))
122	97	abscld 15471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
123	122	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
124	97	absge0d 15479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝑡))
125	124	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑡))
126	109	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑅)
127	123, 92, 125, 126	le2sqd 14292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ ((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2)))
128	91, 92	absled 15465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ (-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
129	121, 127, 128	3bitr2d 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) ≤ ((𝑅↑2) · 1) ↔ (-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
130	117, 129	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡↑2) / (𝑅↑2)) ≤ 1 ↔ (-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
131	96, 101, 130	3bitrrd 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅) ↔ 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
132	131	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
133	132	exp4b 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅 ≤ 𝑡 → (𝑡 ≤ 𝑅 → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
134	133	3impd 1347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
135	89, 134	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
136	135	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))
137	87, 136	resqrtcld 15452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℝ)
138	137	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℝ)
139	138	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℝ)
140	81, 139	resubcld 11688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ)
141	3	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ)
142	83	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ∈ ℝ)
143	141, 142, 71	redivcld 12092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑅 / 𝑡) ∈ ℝ)
144	143	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → (𝑅 / 𝑡) ∈ ℝ)
145	140, 144	remulcld 11288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)) ∈ ℝ)
146	80, 145	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → i ∈ ℝ)
147	146	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
148	147	3expa 1117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
149	63, 148	mtoi 199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ)
150	149	orcd 873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
151	62, 150	pm2.61dane 3026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
152		ianor 983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0) ↔ (¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
153	151, 152	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ¬ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
154		mnfxr 11315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
155		0re 11260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
156		elioc2 13446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0)))
157	154, 155, 156	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
158		3simpb 1148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
159	157, 158	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (-∞(,]0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
160	153, 159	nsyl 140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (-∞(,]0))
161	30, 160	eldifd 3973	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
162		fvres 6925	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
163	161, 162	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
164	163	oveq2d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (-i · ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))) = (-i · (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
165	22, 164	eqtr4d 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) = (-i · ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
166	165	mpteq2dva 5247	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (arcsin‘(𝑡 / 𝑅))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (-i · ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))))
167		negicn 11506	. . . . . . 7 ⊢ -i ∈ ℂ
168	167	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → -i ∈ ℂ)
169		cncfmptc 24951	. . . . . 6 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ -i) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
170	168, 8, 10, 169	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ -i) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
171	13	cnfldtopon 24818	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ)
172	171	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ))
173		resttopon 23184	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (TopOn‘(-𝑅[,]𝑅)))
174	172, 8, 173	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (TopOn‘(-𝑅[,]𝑅)))
175	161	fmpttd 7134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))):(-𝑅[,]𝑅)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0)))
176		difssd 4146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ)
177	16, 17, 19	divrec2d 12044	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · 𝑡))
178	177	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (i · (𝑡 / 𝑅)) = (i · ((1 / 𝑅) · 𝑡)))
179	1, 18	reccld 12033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
180	179	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
181	24, 180, 16	mulassd 11281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((i · (1 / 𝑅)) · 𝑡) = (i · ((1 / 𝑅) · 𝑡)))
182	178, 181	eqtr4d 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (i · (𝑡 / 𝑅)) = ((i · (1 / 𝑅)) · 𝑡))
183	182	mpteq2dva 5247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (i · (𝑡 / 𝑅))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (1 / 𝑅)) · 𝑡)))
184	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → i ∈ ℂ)
185	184, 179	mulcld 11278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (i · (1 / 𝑅)) ∈ ℂ)
186		cncfmptc 24951	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · (1 / 𝑅)) ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (i · (1 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
187	185, 8, 10, 186	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (i · (1 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
188		cncfmptid 24952	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ 𝑡) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
189	8, 10, 188	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ 𝑡) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
190	187, 189	mulcncf 25493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (1 / 𝑅)) · 𝑡)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
191	183, 190	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (i · (𝑡 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
192	17, 29	mulcld 11278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℂ)
193	192, 17, 19	divrec2d 12044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
194	29, 17, 19	divcan3d 12045	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) / 𝑅) = (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
195	104	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
196	3	sqge0d 14173	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ (𝑅↑2))
197	196	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ (𝑅↑2))
198	195, 197, 87, 136	sqrtmuld 15459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = ((√‘(𝑅↑2)) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
199	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
200	199, 26, 27	subdid 11716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = (((𝑅↑2) · 1) − ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
201	199	mulridd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · 1) = (𝑅↑2))
202	16, 17, 19	sqdivd 14195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) = ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)))
203	202	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2)) = ((𝑅↑2) · ((𝑡↑2) / (𝑅↑2))))
204	16	sqcld 14180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
205		sqne0 14159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → ((𝑅↑2) ≠ 0 ↔ 𝑅 ≠ 0))
206	1, 205	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) ≠ 0 ↔ 𝑅 ≠ 0))
207	18, 206	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ≠ 0)
208	207	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ≠ 0)
209	204, 199, 208	divcan2d 12042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡↑2) / (𝑅↑2))) = (𝑡↑2))
210	203, 209	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2)) = (𝑡↑2))
211	201, 210	oveq12d 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (((𝑅↑2) · 1) − ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
212	200, 211	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
213	212	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
214	109	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ 𝑅)
215	84, 214	sqrtsqd 15454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
216	215	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((√‘(𝑅↑2)) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
217	198, 213, 216	3eqtr3rd 2783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
218	217	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((1 / 𝑅) · (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
219	193, 194, 218	3eqtr3d 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
220	219	mpteq2dva 5247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
221		cncfmptc 24951	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1 / 𝑅) ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (1 / 𝑅)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
222	179, 8, 10, 221	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (1 / 𝑅)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
223		areacirclem2 37695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
224	3, 109, 223	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
225	222, 224	mulcncf 25493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
226	220, 225	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
227	13, 15, 191, 226	cncfmpt2f 24954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
228		cncfcdm 24937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))):(-𝑅[,]𝑅)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
229	176, 227, 228	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))):(-𝑅[,]𝑅)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
230	175, 229	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
231		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅))
232		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
233	13, 231, 232	cncfcn 24949	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ) → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
234	8, 176, 233	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
235	230, 234	eleqtrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
236		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
237	236	logcn 26703	. . . . . . . . 9 ⊢ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ)
238		difss 4145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
239		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ)
240	13, 232, 239	cncfcn 24949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ)))
241	238, 9, 240	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ))
242	237, 241	eleqtri 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ))
243	242	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ)))
244	174, 235, 243	cnmpt11f 23687	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ)))
245	13, 231, 239	cncfcn 24949	. . . . . . 7 ⊢ (((-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ)))
246	8, 10, 245	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ)))
247	244, 246	eleqtrrd 2841	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
248	170, 247	mulcncf 25493	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (-i · ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
249	166, 248	eqeltrd 2838	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (arcsin‘(𝑡 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
250	219	oveq2d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = ((𝑡 / 𝑅) · ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
251	199, 204	subcld 11617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℂ)
252	251	sqrtcld 15472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
253	20, 180, 252	mulassd 11281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (((𝑡 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((𝑡 / 𝑅) · ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
254	16, 17, 19	divrecd 12043	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) = (𝑡 · (1 / 𝑅)))
255	254	oveq1d 7445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) = ((𝑡 · (1 / 𝑅)) · (1 / 𝑅)))
256	16, 180, 180	mulassd 11281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 · (1 / 𝑅)) · (1 / 𝑅)) = (𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))))
257	255, 256	eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) = (𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))))
258	257	oveq1d 7445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (((𝑡 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
259	250, 253, 258	3eqtr2d 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = ((𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
260	259	mpteq2dva 5247	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
261	179, 179	mulcld 11278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) ∈ ℂ)
262		cncfmptc 24951	. . . . . . 7 ⊢ ((((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
263	261, 8, 10, 262	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
264	189, 263	mulcncf 25493	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
265	264, 224	mulcncf 25493	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
266	260, 265	eqeltrd 2838	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
267	13, 15, 249, 266	cncfmpt2f 24954	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
268	12, 267	mulcncf 25493	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1536 ∈ wcel 2105 ≠ wne 2937 ∖ cdif 3959 ⊆ wss 3962 class class class wbr 5147 ↦ cmpt 5230 ↾ cres 5690 ⟶wf 6558 ‘cfv 6562 (class class class)co 7430 ℂcc 11150 ℝcr 11151 0cc0 11152 1c1 11153 ici 11154 + caddc 11155 · cmul 11157 -∞cmnf 11290 ℝ^*cxr 11291 < clt 11292 ≤ cle 11293 − cmin 11489 -cneg 11490 / cdiv 11917 2c2 12318 ℝ⁺crp 13031 (,]cioc 13384 [,]cicc 13386 ↑cexp 14098 √csqrt 15268 abscabs 15269 ↾_t crest 17466 TopOpenctopn 17467 ℂ_fldccnfld 21381 TopOnctopon 22931 Cn ccn 23247 ×_t ctx 23583 –cn→ccncf 24915 logclog 26610 arcsincasin 26919

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1791 ax-4 1805 ax-5 1907 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2138 ax-11 2154 ax-12 2174 ax-ext 2705 ax-rep 5284 ax-sep 5301 ax-nul 5311 ax-pow 5370 ax-pr 5437 ax-un 7753 ax-inf2 9678 ax-cnex 11208 ax-resscn 11209 ax-1cn 11210 ax-icn 11211 ax-addcl 11212 ax-addrcl 11213 ax-mulcl 11214 ax-mulrcl 11215 ax-mulcom 11216 ax-addass 11217 ax-mulass 11218 ax-distr 11219 ax-i2m1 11220 ax-1ne0 11221 ax-1rid 11222 ax-rnegex 11223 ax-rrecex 11224 ax-cnre 11225 ax-pre-lttri 11226 ax-pre-lttrn 11227 ax-pre-ltadd 11228 ax-pre-mulgt0 11229 ax-pre-sup 11230 ax-addf 11231

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1539 df-fal 1549 df-ex 1776 df-nf 1780 df-sb 2062 df-mo 2537 df-eu 2566 df-clab 2712 df-cleq 2726 df-clel 2813 df-nfc 2889 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3433 df-v 3479 df-sbc 3791 df-csb 3908 df-dif 3965 df-un 3967 df-in 3969 df-ss 3979 df-pss 3982 df-nul 4339 df-if 4531 df-pw 4606 df-sn 4631 df-pr 4633 df-tp 4635 df-op 4637 df-uni 4912 df-int 4951 df-iun 4997 df-iin 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5582 df-eprel 5588 df-po 5596 df-so 5597 df-fr 5640 df-se 5641 df-we 5642 df-xp 5694 df-rel 5695 df-cnv 5696 df-co 5697 df-dm 5698 df-rn 5699 df-res 5700 df-ima 5701 df-pred 6322 df-ord 6388 df-on 6389 df-lim 6390 df-suc 6391 df-iota 6515 df-fun 6564 df-fn 6565 df-f 6566 df-f1 6567 df-fo 6568 df-f1o 6569 df-fv 6570 df-isom 6571 df-riota 7387 df-ov 7433 df-oprab 7434 df-mpo 7435 df-of 7696 df-om 7887 df-1st 8012 df-2nd 8013 df-supp 8184 df-frecs 8304 df-wrecs 8335 df-recs 8409 df-rdg 8448 df-1o 8504 df-2o 8505 df-er 8743 df-map 8866 df-pm 8867 df-ixp 8936 df-en 8984 df-dom 8985 df-sdom 8986 df-fin 8987 df-fsupp 9399 df-fi 9448 df-sup 9479 df-inf 9480 df-oi 9547 df-card 9976 df-pnf 11294 df-mnf 11295 df-xr 11296 df-ltxr 11297 df-le 11298 df-sub 11491 df-neg 11492 df-div 11918 df-nn 12264 df-2 12326 df-3 12327 df-4 12328 df-5 12329 df-6 12330 df-7 12331 df-8 12332 df-9 12333 df-n0 12524 df-z 12611 df-dec 12731 df-uz 12876 df-q 12988 df-rp 13032 df-xneg 13151 df-xadd 13152 df-xmul 13153 df-ioo 13387 df-ioc 13388 df-ico 13389 df-icc 13390 df-fz 13544 df-fzo 13691 df-fl 13828 df-mod 13906 df-seq 14039 df-exp 14099 df-fac 14309 df-bc 14338 df-hash 14366 df-shft 15102 df-cj 15134 df-re 15135 df-im 15136 df-sqrt 15270 df-abs 15271 df-limsup 15503 df-clim 15520 df-rlim 15521 df-sum 15719 df-ef 16099 df-sin 16101 df-cos 16102 df-tan 16103 df-pi 16104 df-struct 17180 df-sets 17197 df-slot 17215 df-ndx 17227 df-base 17245 df-ress 17274 df-plusg 17310 df-mulr 17311 df-starv 17312 df-sca 17313 df-vsca 17314 df-ip 17315 df-tset 17316 df-ple 17317 df-ds 17319 df-unif 17320 df-hom 17321 df-cco 17322 df-rest 17468 df-topn 17469 df-0g 17487 df-gsum 17488 df-topgen 17489 df-pt 17490 df-prds 17493 df-xrs 17548 df-qtop 17553 df-imas 17554 df-xps 17556 df-mre 17630 df-mrc 17631 df-acs 17633 df-mgm 18665 df-sgrp 18744 df-mnd 18760 df-submnd 18809 df-mulg 19098 df-cntz 19347 df-cmn 19814 df-psmet 21373 df-xmet 21374 df-met 21375 df-bl 21376 df-mopn 21377 df-fbas 21378 df-fg 21379 df-cnfld 21382 df-top 22915 df-topon 22932 df-topsp 22954 df-bases 22968 df-cld 23042 df-ntr 23043 df-cls 23044 df-nei 23121 df-lp 23159 df-perf 23160 df-cn 23250 df-cnp 23251 df-haus 23338 df-cmp 23410 df-tx 23585 df-hmeo 23778 df-fil 23869 df-fm 23961 df-flim 23962 df-flf 23963 df-xms 24345 df-ms 24346 df-tms 24347 df-cncf 24917 df-limc 25915 df-dv 25916 df-log 26612 df-cxp 26613 df-asin 26922

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