areacirclem4 - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem areacirclem4 37705

Description: Endpoint-inclusive continuity of antiderivative of cross-section of circle. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
areacirclem4	⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))

Distinct variable group: 𝑡,𝑅

**Proof of Theorem areacirclem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12962	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℂ)
2	1	sqcld 14109	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
3		rpre 12960	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ)
4	3	renegcld 11605	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → -𝑅 ∈ ℝ)
5		iccssre 13390	. . . . 5 ⊢ ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
6	4, 3, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
7		ax-resscn 11125	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8	6, 7	sstrdi 3959	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ)
9		ssid 3969	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ℂ ⊆ ℂ)
11		cncfmptc 24805	. . 3 ⊢ (((𝑅↑2) ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (𝑅↑2)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
12	2, 8, 10, 11	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (𝑅↑2)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
13		eqid 2729	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
14	13	addcn 24754	. . . 4 ⊢ + ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld))
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → + ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)))
16	8	sselda 3946	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℂ)
17	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
18		rpne0 12968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ≠ 0)
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
20	16, 17, 19	divcld 11958	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℂ)
21		asinval 26792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℂ → (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) = (-i · (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) = (-i · (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
23		ax-icn 11127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → i ∈ ℂ)
25	24, 20	mulcld 11194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (i · (𝑡 / 𝑅)) ∈ ℂ)
26		1cnd 11169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 1 ∈ ℂ)
27	20	sqcld 14109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℂ)
28	26, 27	subcld 11533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) ∈ ℂ)
29	28	sqrtcld 15406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℂ)
30	25, 29	addcld 11193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℂ)
31		0lt1 11700	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
32		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → 𝑡 = 0)
33	32	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (𝑡 / 𝑅) = (0 / 𝑅))
34	1, 18	div0d 11957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0 / 𝑅) = 0)
35	34	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (0 / 𝑅) = 0)
36	33, 35	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (𝑡 / 𝑅) = 0)
37	36	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (i · (𝑡 / 𝑅)) = (i · 0))
38		it0e0 12405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (i · 0) = 0
39	37, 38	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (i · (𝑡 / 𝑅)) = 0)
40	36	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) = (0↑2))
41	40	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) = (1 − (0↑2)))
42	41	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = (√‘(1 − (0↑2))))
43		sq0 14157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0↑2) = 0
44	43	oveq2i 7398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 − (0↑2)) = (1 − 0)
45		1m0e1 12302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 − 0) = 1
46	44, 45	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 − (0↑2)) = 1
47	46	fveq2i 6861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (√‘(1 − (0↑2))) = (√‘1)
48		sqrt1 15237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (√‘1) = 1
49	47, 48	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (√‘(1 − (0↑2))) = 1
50	42, 49	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = 1)
51	39, 50	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (0 + 1))
52		0p1e1 12303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 + 1) = 1
53	51, 52	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = 1)
54	53	breq2d 5119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (0 < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ↔ 0 < 1))
55		0red 11177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → 0 ∈ ℝ)
56		1red 11175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → 1 ∈ ℝ)
57	53, 56	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ)
58	55, 57	ltnled 11321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (0 < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ↔ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
59	54, 58	bitr3d 281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (0 < 1 ↔ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
60	31, 59	mpbii 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0)
61	60	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 = 0) → ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0)
62	61	olcd 874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 = 0) → (¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
63		inelr 12176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
64	25, 29	pncand 11534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (i · (𝑡 / 𝑅)))
65	64	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (i · (𝑡 / 𝑅)))
66	65	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)) = ((i · (𝑡 / 𝑅)) · (𝑅 / 𝑡)))
67	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → i ∈ ℂ)
68	20	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℂ)
69	1	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℂ)
70	16	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ∈ ℂ)
71		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ≠ 0)
72	69, 70, 71	divcld 11958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑅 / 𝑡) ∈ ℂ)
73	67, 68, 72	mulassd 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) · (𝑅 / 𝑡)) = (i · ((𝑡 / 𝑅) · (𝑅 / 𝑡))))
74	66, 73	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)) = (i · ((𝑡 / 𝑅) · (𝑅 / 𝑡))))
75	18	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑅 ≠ 0)
76	70, 69, 71, 75	divcan6d 11977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((𝑡 / 𝑅) · (𝑅 / 𝑡)) = 1)
77	76	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (i · ((𝑡 / 𝑅) · (𝑅 / 𝑡))) = (i · 1))
78	67	mulridd 11191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (i · 1) = i)
79	74, 77, 78	3eqtrrd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → i = ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)))
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → i = ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)))
81		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ)
82		1red 11175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 1 ∈ ℝ)
83	6	sselda 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
84	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
85	83, 84, 19	redivcld 12010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ)
86	85	resqcld 14090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℝ)
87	82, 86	resubcld 11606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) ∈ ℝ)
88		elicc2 13372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
89	4, 3, 88	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
90		1red 11175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
91		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
92	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
93	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
94	91, 92, 93	redivcld 12010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ)
95	94	resqcld 14090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℝ)
96	90, 95	subge0d 11768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) ↔ ((𝑡 / 𝑅)↑2) ≤ 1))
97		recn 11158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
98	97	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
99	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
100	98, 99, 93	sqdivd 14124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) = ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)))
101	100	breq1d 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡 / 𝑅)↑2) ≤ 1 ↔ ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)) ≤ 1))
102		resqcl 14089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
103	102	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
104	3	resqcld 14090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
105		rpgt0 12964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 < 𝑅)
106		0red 11177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ∈ ℝ)
107		0le0 12287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ 0 ≤ 0
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ 0)
109		rpge0 12965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ 𝑅)
110	106, 3, 108, 109	lt2sqd 14221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0 < 𝑅 ↔ (0↑2) < (𝑅↑2)))
111	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0↑2) = 0)
112	111	breq1d 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((0↑2) < (𝑅↑2) ↔ 0 < (𝑅↑2)))
113	110, 112	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0 < 𝑅 ↔ 0 < (𝑅↑2)))
114	105, 113	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 < (𝑅↑2))
115	104, 114	elrpd 12992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℝ⁺)
116	115	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ⁺)
117	103, 90, 116	ledivmuld 13048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡↑2) / (𝑅↑2)) ≤ 1 ↔ (𝑡↑2) ≤ ((𝑅↑2) · 1)))
118		absresq 15268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
119	118	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) = ((abs‘𝑡)↑2))
120	2	mulridd 11191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) · 1) = (𝑅↑2))
121	119, 120	breqan12rd 5124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) ≤ ((𝑅↑2) · 1) ↔ ((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2)))
122	97	abscld 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
123	122	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
124	97	absge0d 15413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝑡))
125	124	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑡))
126	109	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑅)
127	123, 92, 125, 126	le2sqd 14222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ ((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2)))
128	91, 92	absled 15399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ (-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
129	121, 127, 128	3bitr2d 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) ≤ ((𝑅↑2) · 1) ↔ (-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
130	117, 129	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡↑2) / (𝑅↑2)) ≤ 1 ↔ (-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅)))
131	96, 101, 130	3bitrrd 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅) ↔ 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
132	131	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
133	132	exp4b 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅 ≤ 𝑡 → (𝑡 ≤ 𝑅 → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
134	133	3impd 1349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 𝑅) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
135	89, 134	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
136	135	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))
137	87, 136	resqrtcld 15384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℝ)
138	137	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℝ)
139	138	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℝ)
140	81, 139	resubcld 11606	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ)
141	3	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ)
142	83	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ∈ ℝ)
143	141, 142, 71	redivcld 12010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑅 / 𝑡) ∈ ℝ)
144	143	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → (𝑅 / 𝑡) ∈ ℝ)
145	140, 144	remulcld 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)) ∈ ℝ)
146	80, 145	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → i ∈ ℝ)
147	146	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
148	147	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
149	63, 148	mtoi 199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ)
150	149	orcd 873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
151	62, 150	pm2.61dane 3012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
152		ianor 983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0) ↔ (¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
153	151, 152	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ¬ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
154		mnfxr 11231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
155		0re 11176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
156		elioc2 13370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 0 ∈ ℝ) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0)))
157	154, 155, 156	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
158		3simpb 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
159	157, 158	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (-∞(,]0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
160	153, 159	nsyl 140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (-∞(,]0))
161	30, 160	eldifd 3925	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
162		fvres 6877	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
163	161, 162	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
164	163	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (-i · ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))) = (-i · (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
165	22, 164	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) = (-i · ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
166	165	mpteq2dva 5200	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (arcsin‘(𝑡 / 𝑅))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (-i · ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))))
167		negicn 11422	. . . . . . 7 ⊢ -i ∈ ℂ
168	167	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → -i ∈ ℂ)
169		cncfmptc 24805	. . . . . 6 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ -i) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
170	168, 8, 10, 169	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ -i) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
171	13	cnfldtopon 24670	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ)
172	171	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ))
173		resttopon 23048	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (TopOn‘(-𝑅[,]𝑅)))
174	172, 8, 173	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (TopOn‘(-𝑅[,]𝑅)))
175	161	fmpttd 7087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))):(-𝑅[,]𝑅)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0)))
176		difssd 4100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ)
177	16, 17, 19	divrec2d 11962	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · 𝑡))
178	177	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (i · (𝑡 / 𝑅)) = (i · ((1 / 𝑅) · 𝑡)))
179	1, 18	reccld 11951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
180	179	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
181	24, 180, 16	mulassd 11197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((i · (1 / 𝑅)) · 𝑡) = (i · ((1 / 𝑅) · 𝑡)))
182	178, 181	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (i · (𝑡 / 𝑅)) = ((i · (1 / 𝑅)) · 𝑡))
183	182	mpteq2dva 5200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (i · (𝑡 / 𝑅))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (1 / 𝑅)) · 𝑡)))
184	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → i ∈ ℂ)
185	184, 179	mulcld 11194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (i · (1 / 𝑅)) ∈ ℂ)
186		cncfmptc 24805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · (1 / 𝑅)) ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (i · (1 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
187	185, 8, 10, 186	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (i · (1 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
188		cncfmptid 24806	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ 𝑡) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
189	8, 10, 188	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ 𝑡) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
190	187, 189	mulcncf 25346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (1 / 𝑅)) · 𝑡)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
191	183, 190	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (i · (𝑡 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
192	17, 29	mulcld 11194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℂ)
193	192, 17, 19	divrec2d 11962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
194	29, 17, 19	divcan3d 11963	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) / 𝑅) = (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
195	104	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
196	3	sqge0d 14102	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ (𝑅↑2))
197	196	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ (𝑅↑2))
198	195, 197, 87, 136	sqrtmuld 15391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = ((√‘(𝑅↑2)) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
199	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
200	199, 26, 27	subdid 11634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = (((𝑅↑2) · 1) − ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
201	199	mulridd 11191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · 1) = (𝑅↑2))
202	16, 17, 19	sqdivd 14124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) = ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)))
203	202	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2)) = ((𝑅↑2) · ((𝑡↑2) / (𝑅↑2))))
204	16	sqcld 14109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
205		sqne0 14088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → ((𝑅↑2) ≠ 0 ↔ 𝑅 ≠ 0))
206	1, 205	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) ≠ 0 ↔ 𝑅 ≠ 0))
207	18, 206	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ≠ 0)
208	207	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ≠ 0)
209	204, 199, 208	divcan2d 11960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡↑2) / (𝑅↑2))) = (𝑡↑2))
210	203, 209	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2)) = (𝑡↑2))
211	201, 210	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (((𝑅↑2) · 1) − ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
212	200, 211	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
213	212	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
214	109	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ 𝑅)
215	84, 214	sqrtsqd 15386	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
216	215	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((√‘(𝑅↑2)) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
217	198, 213, 216	3eqtr3rd 2773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
218	217	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((1 / 𝑅) · (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
219	193, 194, 218	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
220	219	mpteq2dva 5200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
221		cncfmptc 24805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1 / 𝑅) ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (1 / 𝑅)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
222	179, 8, 10, 221	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (1 / 𝑅)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
223		areacirclem2 37703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
224	3, 109, 223	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
225	222, 224	mulcncf 25346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
226	220, 225	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
227	13, 15, 191, 226	cncfmpt2f 24808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
228		cncfcdm 24791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))):(-𝑅[,]𝑅)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
229	176, 227, 228	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))):(-𝑅[,]𝑅)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
230	175, 229	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
231		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅))
232		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
233	13, 231, 232	cncfcn 24803	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ) → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
234	8, 176, 233	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
235	230, 234	eleqtrd 2830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
236		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
237	236	logcn 26556	. . . . . . . . 9 ⊢ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ)
238		difss 4099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
239		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ)
240	13, 232, 239	cncfcn 24803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ)))
241	238, 9, 240	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ))
242	237, 241	eleqtri 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ))
243	242	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ)))
244	174, 235, 243	cnmpt11f 23551	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ)))
245	13, 231, 239	cncfcn 24803	. . . . . . 7 ⊢ (((-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ)))
246	8, 10, 245	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ)))
247	244, 246	eleqtrrd 2831	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
248	170, 247	mulcncf 25346	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (-i · ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
249	166, 248	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (arcsin‘(𝑡 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
250	219	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = ((𝑡 / 𝑅) · ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
251	199, 204	subcld 11533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℂ)
252	251	sqrtcld 15406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
253	20, 180, 252	mulassd 11197	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (((𝑡 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((𝑡 / 𝑅) · ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
254	16, 17, 19	divrecd 11961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) = (𝑡 · (1 / 𝑅)))
255	254	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) = ((𝑡 · (1 / 𝑅)) · (1 / 𝑅)))
256	16, 180, 180	mulassd 11197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 · (1 / 𝑅)) · (1 / 𝑅)) = (𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))))
257	255, 256	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) = (𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))))
258	257	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (((𝑡 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
259	250, 253, 258	3eqtr2d 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = ((𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
260	259	mpteq2dva 5200	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
261	179, 179	mulcld 11194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) ∈ ℂ)
262		cncfmptc 24805	. . . . . . 7 ⊢ ((((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
263	261, 8, 10, 262	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
264	189, 263	mulcncf 25346	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
265	264, 224	mulcncf 25346	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
266	260, 265	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
267	13, 15, 249, 266	cncfmpt2f 24808	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
268	12, 267	mulcncf 25346	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∖ cdif 3911 ⊆ wss 3914 class class class wbr 5107 ↦ cmpt 5188 ↾ cres 5640 ⟶wf 6507 ‘cfv 6511 (class class class)co 7387 ℂcc 11066 ℝcr 11067 0cc0 11068 1c1 11069 ici 11070 + caddc 11071 · cmul 11073 -∞cmnf 11206 ℝ^*cxr 11207 < clt 11208 ≤ cle 11209 − cmin 11405 -cneg 11406 / cdiv 11835 2c2 12241 ℝ⁺crp 12951 (,]cioc 13307 [,]cicc 13309 ↑cexp 14026 √csqrt 15199 abscabs 15200 ↾_t crest 17383 TopOpenctopn 17384 ℂ_fldccnfld 21264 TopOnctopon 22797 Cn ccn 23111 ×_t ctx 23447 –cn→ccncf 24769 logclog 26463 arcsincasin 26772

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5234 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5320 ax-pr 5387 ax-un 7711 ax-inf2 9594 ax-cnex 11124 ax-resscn 11125 ax-1cn 11126 ax-icn 11127 ax-addcl 11128 ax-addrcl 11129 ax-mulcl 11130 ax-mulrcl 11131 ax-mulcom 11132 ax-addass 11133 ax-mulass 11134 ax-distr 11135 ax-i2m1 11136 ax-1ne0 11137 ax-1rid 11138 ax-rnegex 11139 ax-rrecex 11140 ax-cnre 11141 ax-pre-lttri 11142 ax-pre-lttrn 11143 ax-pre-ltadd 11144 ax-pre-mulgt0 11145 ax-pre-sup 11146 ax-addf 11147

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3406 df-v 3449 df-sbc 3754 df-csb 3863 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3934 df-nul 4297 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4590 df-pr 4592 df-tp 4594 df-op 4596 df-uni 4872 df-int 4911 df-iun 4957 df-iin 4958 df-br 5108 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-tr 5215 df-id 5533 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5591 df-se 5592 df-we 5593 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6274 df-ord 6335 df-on 6336 df-lim 6337 df-suc 6338 df-iota 6464 df-fun 6513 df-fn 6514 df-f 6515 df-f1 6516 df-fo 6517 df-f1o 6518 df-fv 6519 df-isom 6520 df-riota 7344 df-ov 7390 df-oprab 7391 df-mpo 7392 df-of 7653 df-om 7843 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-supp 8140 df-frecs 8260 df-wrecs 8291 df-recs 8340 df-rdg 8378 df-1o 8434 df-2o 8435 df-er 8671 df-map 8801 df-pm 8802 df-ixp 8871 df-en 8919 df-dom 8920 df-sdom 8921 df-fin 8922 df-fsupp 9313 df-fi 9362 df-sup 9393 df-inf 9394 df-oi 9463 df-card 9892 df-pnf 11210 df-mnf 11211 df-xr 11212 df-ltxr 11213 df-le 11214 df-sub 11407 df-neg 11408 df-div 11836 df-nn 12187 df-2 12249 df-3 12250 df-4 12251 df-5 12252 df-6 12253 df-7 12254 df-8 12255 df-9 12256 df-n0 12443 df-z 12530 df-dec 12650 df-uz 12794 df-q 12908 df-rp 12952 df-xneg 13072 df-xadd 13073 df-xmul 13074 df-ioo 13310 df-ioc 13311 df-ico 13312 df-icc 13313 df-fz 13469 df-fzo 13616 df-fl 13754 df-mod 13832 df-seq 13967 df-exp 14027 df-fac 14239 df-bc 14268 df-hash 14296 df-shft 15033 df-cj 15065 df-re 15066 df-im 15067 df-sqrt 15201 df-abs 15202 df-limsup 15437 df-clim 15454 df-rlim 15455 df-sum 15653 df-ef 16033 df-sin 16035 df-cos 16036 df-tan 16037 df-pi 16038 df-struct 17117 df-sets 17134 df-slot 17152 df-ndx 17164 df-base 17180 df-ress 17201 df-plusg 17233 df-mulr 17234 df-starv 17235 df-sca 17236 df-vsca 17237 df-ip 17238 df-tset 17239 df-ple 17240 df-ds 17242 df-unif 17243 df-hom 17244 df-cco 17245 df-rest 17385 df-topn 17386 df-0g 17404 df-gsum 17405 df-topgen 17406 df-pt 17407 df-prds 17410 df-xrs 17465 df-qtop 17470 df-imas 17471 df-xps 17473 df-mre 17547 df-mrc 17548 df-acs 17550 df-mgm 18567 df-sgrp 18646 df-mnd 18662 df-submnd 18711 df-mulg 19000 df-cntz 19249 df-cmn 19712 df-psmet 21256 df-xmet 21257 df-met 21258 df-bl 21259 df-mopn 21260 df-fbas 21261 df-fg 21262 df-cnfld 21265 df-top 22781 df-topon 22798 df-topsp 22820 df-bases 22833 df-cld 22906 df-ntr 22907 df-cls 22908 df-nei 22985 df-lp 23023 df-perf 23024 df-cn 23114 df-cnp 23115 df-haus 23202 df-cmp 23274 df-tx 23449 df-hmeo 23642 df-fil 23733 df-fm 23825 df-flim 23826 df-flf 23827 df-xms 24208 df-ms 24209 df-tms 24210 df-cncf 24771 df-limc 25767 df-dv 25768 df-log 26465 df-cxp 26466 df-asin 26775

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