Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  areacirclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem areacirclem4 37671
Description: Endpoint-inclusive continuity of antiderivative of cross-section of circle. (Contributed by Brendan Leahy, 31-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
areacirclem4 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
Distinct variable group:   𝑡,𝑅

Proof of Theorem areacirclem4
StepHypRef Expression
1 rpcn 13067 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℂ)
21sqcld 14194 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
3 rpre 13065 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
43renegcld 11717 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℝ+ → -𝑅 ∈ ℝ)
5 iccssre 13489 . . . . 5 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
64, 3, 5syl2anc 583 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
7 ax-resscn 11241 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
86, 7sstrdi 4021 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ)
9 ssid 4031 . . . 4 ℂ ⊆ ℂ
109a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → ℂ ⊆ ℂ)
11 cncfmptc 24957 . . 3 (((𝑅↑2) ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (𝑅↑2)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
122, 8, 10, 11syl3anc 1371 . 2 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (𝑅↑2)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
13 eqid 2740 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1413addcn 24906 . . . 4 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
1514a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
168sselda 4008 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℂ)
171adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
18 rpne0 13073 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ≠ 0)
1918adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
2016, 17, 19divcld 12070 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℂ)
21 asinval 26943 . . . . . . 7 ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℂ → (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) = (-i · (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) = (-i · (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
23 ax-icn 11243 . . . . . . . . . . . 12 i ∈ ℂ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → i ∈ ℂ)
2524, 20mulcld 11310 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (i · (𝑡 / 𝑅)) ∈ ℂ)
26 1cnd 11285 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 1 ∈ ℂ)
2720sqcld 14194 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℂ)
2826, 27subcld 11647 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) ∈ ℂ)
2928sqrtcld 15486 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℂ)
3025, 29addcld 11309 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℂ)
31 0lt1 11812 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
32 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → 𝑡 = 0)
3332oveq1d 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (𝑡 / 𝑅) = (0 / 𝑅))
341, 18div0d 12069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0 / 𝑅) = 0)
35343ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (0 / 𝑅) = 0)
3633, 35eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (𝑡 / 𝑅) = 0)
3736oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (i · (𝑡 / 𝑅)) = (i · 0))
38 it0e0 12515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (i · 0) = 0
3937, 38eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (i · (𝑡 / 𝑅)) = 0)
4036oveq1d 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) = (0↑2))
4140oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) = (1 − (0↑2)))
4241fveq2d 6924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = (√‘(1 − (0↑2))))
43 sq0 14241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0↑2) = 0
4443oveq2i 7459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 − (0↑2)) = (1 − 0)
45 1m0e1 12414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 − 0) = 1
4644, 45eqtri 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 − (0↑2)) = 1
4746fveq2i 6923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (√‘(1 − (0↑2))) = (√‘1)
48 sqrt1 15320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (√‘1) = 1
4947, 48eqtri 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (√‘(1 − (0↑2))) = 1
5042, 49eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = 1)
5139, 50oveq12d 7466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (0 + 1))
52 0p1e1 12415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + 1) = 1
5351, 52eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = 1)
5453breq2d 5178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (0 < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ↔ 0 < 1))
55 0red 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → 0 ∈ ℝ)
56 1red 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → 1 ∈ ℝ)
5753, 56eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ)
5855, 57ltnled 11437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (0 < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ↔ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
5954, 58bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → (0 < 1 ↔ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
6031, 59mpbii 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 = 0) → ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0)
61603expa 1118 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 = 0) → ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0)
6261olcd 873 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 = 0) → (¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
63 inelr 12283 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ i ∈ ℝ
6425, 29pncand 11648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (i · (𝑡 / 𝑅)))
65643adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (i · (𝑡 / 𝑅)))
6665oveq1d 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)) = ((i · (𝑡 / 𝑅)) · (𝑅 / 𝑡)))
6723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → i ∈ ℂ)
68203adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℂ)
6913ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℂ)
70163adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ∈ ℂ)
71 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ≠ 0)
7269, 70, 71divcld 12070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑅 / 𝑡) ∈ ℂ)
7367, 68, 72mulassd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) · (𝑅 / 𝑡)) = (i · ((𝑡 / 𝑅) · (𝑅 / 𝑡))))
7466, 73eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)) = (i · ((𝑡 / 𝑅) · (𝑅 / 𝑡))))
75183ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑅 ≠ 0)
7670, 69, 71, 75divcan6d 12089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ((𝑡 / 𝑅) · (𝑅 / 𝑡)) = 1)
7776oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (i · ((𝑡 / 𝑅) · (𝑅 / 𝑡))) = (i · 1))
7867mulridd 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (i · 1) = i)
7974, 77, 783eqtrrd 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → i = ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)))
8079adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → i = ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)))
81 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ)
82 1red 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 1 ∈ ℝ)
836sselda 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
843adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
8583, 84, 19redivcld 12122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ)
8685resqcld 14175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℝ)
8782, 86resubcld 11718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) ∈ ℝ)
88 elicc2 13472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
894, 3, 88syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
90 1red 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
91 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
923adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
9318adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
9491, 92, 93redivcld 12122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ)
9594resqcld 14175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℝ)
9690, 95subge0d 11880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) ↔ ((𝑡 / 𝑅)↑2) ≤ 1))
97 recn 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
9897adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
991adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
10098, 99, 93sqdivd 14209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) = ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)))
101100breq1d 5176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡 / 𝑅)↑2) ≤ 1 ↔ ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)) ≤ 1))
102 resqcl 14174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
103102adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
1043resqcld 14175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
105 rpgt0 13069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑅)
106 0red 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
107 0le0 12394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 0 ≤ 0
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 0)
109 rpge0 13070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑅)
110106, 3, 108, 109lt2sqd 14305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0 < 𝑅 ↔ (0↑2) < (𝑅↑2)))
11143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0↑2) = 0)
112111breq1d 5176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((0↑2) < (𝑅↑2) ↔ 0 < (𝑅↑2)))
113110, 112bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑅 ∈ ℝ+ → (0 < 𝑅 ↔ 0 < (𝑅↑2)))
114105, 113mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < (𝑅↑2))
115104, 114elrpd 13096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ∈ ℝ+)
116115adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ+)
117103, 90, 116ledivmuld 13152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡↑2) / (𝑅↑2)) ≤ 1 ↔ (𝑡↑2) ≤ ((𝑅↑2) · 1)))
118 absresq 15351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑡 ∈ ℝ → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
119118eqcomd 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) = ((abs‘𝑡)↑2))
1202mulridd 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) · 1) = (𝑅↑2))
121119, 120breqan12rd 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) ≤ ((𝑅↑2) · 1) ↔ ((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2)))
12297abscld 15485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑡 ∈ ℝ → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
123122adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
12497absge0d 15493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑡 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝑡))
125124adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑡))
126109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑅)
127123, 92, 125, 126le2sqd 14306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ ((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2)))
12891, 92absled 15479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
129121, 127, 1283bitr2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) ≤ ((𝑅↑2) · 1) ↔ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
130117, 129bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡↑2) / (𝑅↑2)) ≤ 1 ↔ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
13196, 101, 1303bitrrd 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅𝑡𝑡𝑅) ↔ 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
132131biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅𝑡𝑡𝑅) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
133132exp4b 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅𝑡 → (𝑡𝑅 → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
1341333impd 1348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
13589, 134sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
136135imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))
13787, 136resqrtcld 15466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℝ)
1381373adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℝ)
139138adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℝ)
14081, 139resubcld 11718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ)
14133ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑅 ∈ ℝ)
142833adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → 𝑡 ∈ ℝ)
143141, 142, 71redivcld 12122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑅 / 𝑡) ∈ ℝ)
144143adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → (𝑅 / 𝑡) ∈ ℝ)
145140, 144remulcld 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) − (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (𝑅 / 𝑡)) ∈ ℝ)
14680, 145eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ) → i ∈ ℝ)
147146ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
1481473expa 1118 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
14963, 148mtoi 199 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ)
150149orcd 872 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
15162, 150pm2.61dane 3035 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
152 ianor 982 . . . . . . . . . . 11 (¬ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0) ↔ (¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∨ ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
153151, 152sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ¬ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
154 mnfxr 11347 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
155 0re 11292 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
156 elioc2 13470 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0)))
157154, 155, 156mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (-∞(,]0) ↔ (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
158 3simpb 1149 . . . . . . . . . . 11 ((((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ -∞ < ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
159157, 158sylbi 217 . . . . . . . . . 10 (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (-∞(,]0) → (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℝ ∧ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ≤ 0))
160153, 159nsyl 140 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ¬ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (-∞(,]0))
16130, 160eldifd 3987 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
162 fvres 6939 . . . . . . . 8 (((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
163161, 162syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
164163oveq2d 7464 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (-i · ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))) = (-i · (log‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
16522, 164eqtr4d 2783 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) = (-i · ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
166165mpteq2dva 5266 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (arcsin‘(𝑡 / 𝑅))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (-i · ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))))
167 negicn 11537 . . . . . . 7 -i ∈ ℂ
168167a1i 11 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → -i ∈ ℂ)
169 cncfmptc 24957 . . . . . 6 ((-i ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ -i) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
170168, 8, 10, 169syl3anc 1371 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ -i) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
17113cnfldtopon 24824 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
172171a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
173 resttopon 23190 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (TopOn‘(-𝑅[,]𝑅)))
174172, 8, 173syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (TopOn‘(-𝑅[,]𝑅)))
175161fmpttd 7149 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))):(-𝑅[,]𝑅)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0)))
176 difssd 4160 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ)
17716, 17, 19divrec2d 12074 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · 𝑡))
178177oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (i · (𝑡 / 𝑅)) = (i · ((1 / 𝑅) · 𝑡)))
1791, 18reccld 12063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
180179adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
18124, 180, 16mulassd 11313 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((i · (1 / 𝑅)) · 𝑡) = (i · ((1 / 𝑅) · 𝑡)))
182178, 181eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (i · (𝑡 / 𝑅)) = ((i · (1 / 𝑅)) · 𝑡))
183182mpteq2dva 5266 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (i · (𝑡 / 𝑅))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (1 / 𝑅)) · 𝑡)))
18423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℝ+ → i ∈ ℂ)
185184, 179mulcld 11310 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℝ+ → (i · (1 / 𝑅)) ∈ ℂ)
186 cncfmptc 24957 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i · (1 / 𝑅)) ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (i · (1 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
187185, 8, 10, 186syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (i · (1 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
188 cncfmptid 24958 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ 𝑡) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
1898, 10, 188syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ 𝑡) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
190187, 189mulcncf 25499 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (1 / 𝑅)) · 𝑡)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
191183, 190eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (i · (𝑡 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
19217, 29mulcld 11310 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℂ)
193192, 17, 19divrec2d 12074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) / 𝑅) = ((1 / 𝑅) · (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
19429, 17, 19divcan3d 12075 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) / 𝑅) = (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
195104adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
1963sqge0d 14187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑅↑2))
197196adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ (𝑅↑2))
198195, 197, 87, 136sqrtmuld 15473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = ((√‘(𝑅↑2)) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
1992adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
200199, 26, 27subdid 11746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = (((𝑅↑2) · 1) − ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
201199mulridd 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · 1) = (𝑅↑2))
20216, 17, 19sqdivd 14209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) = ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)))
203202oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2)) = ((𝑅↑2) · ((𝑡↑2) / (𝑅↑2))))
20416sqcld 14194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
205 sqne0 14173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 ∈ ℂ → ((𝑅↑2) ≠ 0 ↔ 𝑅 ≠ 0))
2061, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑅↑2) ≠ 0 ↔ 𝑅 ≠ 0))
20718, 206mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅↑2) ≠ 0)
208207adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ≠ 0)
209204, 199, 208divcan2d 12072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡↑2) / (𝑅↑2))) = (𝑡↑2))
210203, 209eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2)) = (𝑡↑2))
211201, 210oveq12d 7466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (((𝑅↑2) · 1) − ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
212200, 211eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
213212fveq2d 6924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
214109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ 𝑅)
21584, 214sqrtsqd 15468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
216215oveq1d 7463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((√‘(𝑅↑2)) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
217198, 213, 2163eqtr3rd 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
218217oveq2d 7464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((1 / 𝑅) · (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
219193, 194, 2183eqtr3d 2788 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
220219mpteq2dva 5266 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
221 cncfmptc 24957 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / 𝑅) ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (1 / 𝑅)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
222179, 8, 10, 221syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (1 / 𝑅)) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
223 areacirclem2 37669 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
2243, 109, 223syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
225222, 224mulcncf 25499 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
226220, 225eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
22713, 15, 191, 226cncfmpt2f 24960 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
228 cncfcdm 24943 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))):(-𝑅[,]𝑅)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
229176, 227, 228syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))):(-𝑅[,]𝑅)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
230175, 229mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
231 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅))
232 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
23313, 231, 232cncfcn 24955 . . . . . . . . 9 (((-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ) → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
2348, 176, 233syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
235230, 234eleqtrd 2846 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
236 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
237236logcn 26707 . . . . . . . . 9 (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ)
238 difss 4159 . . . . . . . . . 10 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
239 eqid 2740 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
24013, 232, 239cncfcn 24955 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
241238, 9, 240mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))
242237, 241eleqtri 2842 . . . . . . . 8 (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))
243242a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
244174, 235, 243cnmpt11f 23693 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
24513, 231, 239cncfcn 24955 . . . . . . 7 (((-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
2468, 10, 245syl2anc 583 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
247244, 246eleqtrrd 2847 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
248170, 247mulcncf 25499 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (-i · ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘((i · (𝑡 / 𝑅)) + (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
249166, 248eqeltrd 2844 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (arcsin‘(𝑡 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
250219oveq2d 7464 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = ((𝑡 / 𝑅) · ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
251199, 204subcld 11647 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℂ)
252251sqrtcld 15486 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ℂ)
25320, 180, 252mulassd 11313 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (((𝑡 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((𝑡 / 𝑅) · ((1 / 𝑅) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
25416, 17, 19divrecd 12073 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) = (𝑡 · (1 / 𝑅)))
255254oveq1d 7463 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) = ((𝑡 · (1 / 𝑅)) · (1 / 𝑅)))
25616, 180, 180mulassd 11313 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 · (1 / 𝑅)) · (1 / 𝑅)) = (𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))))
257255, 256eqtrd 2780 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) = (𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))))
258257oveq1d 7463 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (((𝑡 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = ((𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
259250, 253, 2583eqtr2d 2786 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = ((𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
260259mpteq2dva 5266 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
261179, 179mulcld 11310 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) ∈ ℂ)
262 cncfmptc 24957 . . . . . . 7 ((((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅)) ∈ ℂ ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
263261, 8, 10, 262syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
264189, 263mulcncf 25499 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
265264, 224mulcncf 25499 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑡 · ((1 / 𝑅) · (1 / 𝑅))) · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
266260, 265eqeltrd 2844 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
26713, 15, 249, 266cncfmpt2f 24960 . 2 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
26812, 267mulcncf 25499 1 (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 846  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  cdif 3973  wss 3976   class class class wbr 5166  cmpt 5249  cres 5702  wf 6569  cfv 6573  (class class class)co 7448  cc 11182  cr 11183  0cc0 11184  1c1 11185  ici 11186   + caddc 11187   · cmul 11189  -∞cmnf 11322  *cxr 11323   < clt 11324  cle 11325  cmin 11520  -cneg 11521   / cdiv 11947  2c2 12348  +crp 13057  (,]cioc 13408  [,]cicc 13410  cexp 14112  csqrt 15282  abscabs 15283  t crest 17480  TopOpenctopn 17481  fldccnfld 21387  TopOnctopon 22937   Cn ccn 23253   ×t ctx 23589  cnccncf 24921  logclog 26614  arcsincasin 26923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-tan 16119  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-log 26616  df-cxp 26617  df-asin 26926
This theorem is referenced by:  areacirc  37673
  Copyright terms: Public domain W3C validator