Theorem asinneg 27214

Description: The arcsine function is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘ -𝐴) = -(arcsin‘𝐴))

Proof of Theorem asinneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 11284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		ax-1cn 11258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		sqcl 14261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6		subcl 11556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
8	7	sqrtcld 15607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
9	3, 8	addcld 11328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
10		asinlem 27196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)
11	9, 10	logcld 26898	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ)
12		efneg 16266	. . . . . . 7 ⊢ ((log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ → (exp‘ -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = (1 / (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
13	11, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘ -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = (1 / (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
14		eflog 26904	. . . . . . . 8 ⊢ ((((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0) → (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
15	9, 10, 14	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
16	15	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))) = (1 / ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
17		asinlem2 27197	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2))))) = 1)
18	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
19		negcl 11557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
20		mulcl 11284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
21	1, 19, 20	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
22	19	sqcld 14287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴↑2) ∈ ℂ)
23		subcl 11556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ( -𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − ( -𝐴↑2)) ∈ ℂ)
24	4, 22, 23	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − ( -𝐴↑2)) ∈ ℂ)
25	24	sqrtcld 15607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − ( -𝐴↑2))) ∈ ℂ)
26	21, 25	addcld 11328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
27	18, 9, 26, 10	divmuld 12115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2)))) ↔ (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2))))) = 1))
28	17, 27	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2)))))
29	13, 16, 28	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘ -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2)))))
30		asinlem 27196	. . . . . . 7 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2)))) ≠ 0)
31	19, 30	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2)))) ≠ 0)
32	11	negcld 11656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ)
33	11	imnegd 15377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘ -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
34	11	imcld 15362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ)
35	34	renegcld 11743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ)
36		pire 26783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → π ∈ ℝ)
38	9, 10	logimcld 26899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -π < (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∧ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π))
39	38	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π)
40	9	renegd 15376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘ -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = -(ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
41		asinlem3 27199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
42	9	recld 15361	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℝ)
43	42	le0neg2d 11888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ↔ -(ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0))
44	41, 43	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0)
45	40, 44	eqbrtrd 5126	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘ -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0)
46	9	negcld 11656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
47	46	recld 15361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘ -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℝ)
48		0re 11310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
49		lenlt 11388	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℜ‘ -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℜ‘ -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (ℜ‘ -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
50	47, 48, 49	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘ -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (ℜ‘ -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
51	45, 50	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ¬ 0 < (ℜ‘ -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
52		lognegb 26918	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0) → ( -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = π))
53	9, 10, 52	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = π))
54		rpgt0 13133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ( -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ → 0 < -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
55		rpre 13129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ( -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ → -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ)
56	55	rered 15391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ( -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ → (ℜ‘ -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
57	54, 56	breqtrrd 5132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ → 0 < (ℜ‘ -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
58	53, 57	biimtrrdi 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = π → 0 < (ℜ‘ -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
59	58	necon3bd 2969	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 0 < (ℜ‘ -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≠ π))
60	51, 59	mpd 16	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≠ π)
61	60	necomd 3010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → π ≠ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
62	34, 37, 39, 61	leneltd 11464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) < π)
63		ltneg 11816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
64	34, 36, 63	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
65	62, 64	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
66	38	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -π < (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
67	36	renegcli 11619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -π ∈ ℝ
68		ltle 11398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( -π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ) → ( -π < (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) → -π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
69	67, 34, 68	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -π < (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) → -π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
70	66, 69	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
71		lenegcon1 11820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ) → ( -π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ↔ -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π))
72	36, 34, 71	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ↔ -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π))
73	70, 72	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π)
74	67	rexri 11367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -π ∈ ℝ*
75		elioc2 13540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → ( -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ( -π(,]π) ↔ ( -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ ∧ -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∧ -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π)))
76	74, 36, 75	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ( -π(,]π) ↔ ( -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ ∧ -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∧ -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π))
77	35, 65, 73, 76	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ( -π(,]π))
78	33, 77	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘ -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ( -π(,]π))
79		imf 15280	. . . . . . . . 9 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
80		ffn 6709	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ:ℂ⟶ℝ → ℑ Fn ℂ)
81		elpreima 7057	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ Fn ℂ → ( -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ (◡ℑ “ ( -π(,]π)) ↔ ( -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘ -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ( -π(,]π))))
82	79, 80, 81	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ ( -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ (◡ℑ “ ( -π(,]π)) ↔ ( -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘ -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ( -π(,]π)))
83	32, 78, 82	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ (◡ℑ “ ( -π(,]π)))
84		logrn 26886	. . . . . . 7 ⊢ ran log = (◡ℑ “ ( -π(,]π))
85	83, 84	eleqtrrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ran log)
86		logeftb 26911	. . . . . 6 ⊢ ((((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2)))) ≠ 0 ∧ -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ran log) → ((log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2))))) = -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ↔ (exp‘ -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2))))))
87	26, 31, 85, 86	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2))))) = -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ↔ (exp‘ -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2))))))
88	29, 87	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2))))) = -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
89	88	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2)))))) = ( -i · -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
90		negicn 11558	. . . 4 ⊢ -i ∈ ℂ
91		mulneg2 11753	. . . 4 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ) → ( -i · -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = -( -i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
92	90, 11, 91	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = -( -i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
93	89, 92	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2)))))) = -( -i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
94		asinval 27210	. . 3 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘ -𝐴) = ( -i · (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2)))))))
95	19, 94	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘ -𝐴) = ( -i · (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − ( -𝐴↑2)))))))
96		asinval 27210	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) = ( -i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
97	96	negeqd 11551	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(arcsin‘𝐴) = -( -i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
98	93, 95, 97	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘ -𝐴) = -(arcsin‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5649  ran crn 5651   “ cima 5653   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201  ici 11202   + caddc 11203   · cmul 11205  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   -cneg 11542   / cdiv 11973  2c2 12397  ℝ⁺crp 13120  (,]cioc 13477  ↑cexp 14204  ℜcre 15264  ℑcim 15265  √csqrt 15400  expce 16227  πcpi 16232  logclog 26882  arcsincasin 27190

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884  df-asin 27193

This theorem is used by:  acosneg  27215  sinasin  27217  reasinsin  27224  cosasin  27232  areacirc  38632