Theorem asinneg 26046

Description: The arcsine function is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = -(arcsin‘𝐴))

Proof of Theorem asinneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 10940	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 10965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		ax-1cn 10939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		sqcl 13848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6		subcl 11230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
8	7	sqrtcld 15159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
9	3, 8	addcld 11004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
10		asinlem 26028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)
11	9, 10	logcld 25736	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ)
12		efneg 15817	. . . . . . 7 ⊢ ((log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ → (exp‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = (1 / (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = (1 / (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
14		eflog 25742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0) → (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
15	9, 10, 14	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
16	15	oveq2d 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))) = (1 / ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
17		asinlem2 26029	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)
18	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
19		negcl 11231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
20		mulcl 10965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
21	1, 19, 20	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
22	19	sqcld 13872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) ∈ ℂ)
23		subcl 11230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (-𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (-𝐴↑2)) ∈ ℂ)
24	4, 22, 23	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (-𝐴↑2)) ∈ ℂ)
25	24	sqrtcld 15159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (-𝐴↑2))) ∈ ℂ)
26	21, 25	addcld 11004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
27	18, 9, 26, 10	divmuld 11783	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ↔ (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1))
28	17, 27	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
29	13, 16, 28	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
30		asinlem 26028	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0)
31	19, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0)
32	11	negcld 11329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ)
33	11	imnegd 14931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
34	11	imcld 14916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ)
35	34	renegcld 11412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ)
36		pire 25625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → π ∈ ℝ)
38	9, 10	logimcld 25737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π < (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∧ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π))
39	38	simprd 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π)
40	9	renegd 14930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = -(ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
41		asinlem3 26031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
42	9	recld 14915	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℝ)
43	42	le0neg2d 11557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ↔ -(ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0))
44	41, 43	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0)
45	40, 44	eqbrtrd 5095	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0)
46	9	negcld 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
47	46	recld 14915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℝ)
48		0re 10987	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
49		lenlt 11063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
50	47, 48, 49	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
51	45, 50	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ¬ 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
52		lognegb 25755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0) → (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = π))
53	9, 10, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = π))
54		rpgt0 12752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ → 0 < -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
55		rpre 12748	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ → -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ)
56	55	rered 14945	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ → (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
57	54, 56	breqtrrd 5101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ → 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
58	53, 57	syl6bir 253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = π → 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
59	58	necon3bd 2957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≠ π))
60	51, 59	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≠ π)
61	60	necomd 2999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → π ≠ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
62	34, 37, 39, 61	leneltd 11139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) < π)
63		ltneg 11485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
64	34, 36, 63	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
65	62, 64	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
66	38	simpld 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -π < (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
67	36	renegcli 11292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -π ∈ ℝ
68		ltle 11073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) → -π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
69	67, 34, 68	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π < (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) → -π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
70	66, 69	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
71		lenegcon1 11489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ) → (-π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ↔ -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π))
72	36, 34, 71	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ↔ -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π))
73	70, 72	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π)
74	67	rexri 11043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -π ∈ ℝ*
75		elioc2 13152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → (-(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π) ↔ (-(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ ∧ -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∧ -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π)))
76	74, 36, 75	mp2an 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π) ↔ (-(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ ∧ -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∧ -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π))
77	35, 65, 73, 76	syl3anbrc 1342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π))
78	33, 77	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π))
79		imf 14834	. . . . . . . . 9 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
80		ffn 6592	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ:ℂ⟶ℝ → ℑ Fn ℂ)
81		elpreima 6927	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ Fn ℂ → (-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ (◡ℑ “ (-π(,]π)) ↔ (-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π))))
82	79, 80, 81	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ (◡ℑ “ (-π(,]π)) ↔ (-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π)))
83	32, 78, 82	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ (◡ℑ “ (-π(,]π)))
84		logrn 25724	. . . . . . 7 ⊢ ran log = (◡ℑ “ (-π(,]π))
85	83, 84	eleqtrrdi 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ran log)
86		logeftb 25749	. . . . . 6 ⊢ ((((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0 ∧ -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ran log) → ((log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ↔ (exp‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
87	26, 31, 85, 86	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ↔ (exp‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
88	29, 87	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
89	88	oveq2d 7283	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))) = (-i · -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
90		negicn 11232	. . . 4 ⊢ -i ∈ ℂ
91		mulneg2 11422	. . . 4 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ) → (-i · -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = -(-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
92	90, 11, 91	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = -(-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
93	89, 92	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))) = -(-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
94		asinval 26042	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = (-i · (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
95	19, 94	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = (-i · (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
96		asinval 26042	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
97	96	negeqd 11225	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(arcsin‘𝐴) = -(-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
98	93, 95, 97	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = -(arcsin‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5073  ^◡ccnv 5583  ran crn 5585   “ cima 5587   Fn wfn 6421  ⟶wf 6422  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267  ℂcc 10879  ℝcr 10880  0cc0 10881  1c1 10882  ici 10883   + caddc 10884   · cmul 10886  ℝ^*cxr 11018   < clt 11019   ≤ cle 11020   − cmin 11215  -cneg 11216   / cdiv 11642  2c2 12038  ℝ⁺crp 12740  (,]cioc 13090  ↑cexp 13792  ℜcre 14818  ℑcim 14819  √csqrt 14954  expce 15781  πcpi 15786  logclog 25720  arcsincasin 26022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-inf2 9386  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959  ax-addf 10960  ax-mulf 10961

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-supp 7965  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-er 8485  df-map 8604  df-pm 8605  df-ixp 8673  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fsupp 9116  df-fi 9157  df-sup 9188  df-inf 9189  df-oi 9256  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-q 12699  df-rp 12741  df-xneg 12858  df-xadd 12859  df-xmul 12860  df-ioo 13093  df-ioc 13094  df-ico 13095  df-icc 13096  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-fl 13522  df-mod 13600  df-seq 13732  df-exp 13793  df-fac 13998  df-bc 14027  df-hash 14055  df-shft 14788  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-limsup 15190  df-clim 15207  df-rlim 15208  df-sum 15408  df-ef 15787  df-sin 15789  df-cos 15790  df-pi 15792  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-starv 16987  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-ip 16990  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-unif 16995  df-hom 16996  df-cco 16997  df-rest 17143  df-topn 17144  df-0g 17162  df-gsum 17163  df-topgen 17164  df-pt 17165  df-prds 17168  df-xrs 17223  df-qtop 17228  df-imas 17229  df-xps 17231  df-mre 17305  df-mrc 17306  df-acs 17308  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-submnd 18441  df-mulg 18711  df-cntz 18933  df-cmn 19398  df-psmet 20599  df-xmet 20600  df-met 20601  df-bl 20602  df-mopn 20603  df-fbas 20604  df-fg 20605  df-cnfld 20608  df-top 22053  df-topon 22070  df-topsp 22092  df-bases 22106  df-cld 22180  df-ntr 22181  df-cls 22182  df-nei 22259  df-lp 22297  df-perf 22298  df-cn 22388  df-cnp 22389  df-haus 22476  df-tx 22723  df-hmeo 22916  df-fil 23007  df-fm 23099  df-flim 23100  df-flf 23101  df-xms 23483  df-ms 23484  df-tms 23485  df-cncf 24051  df-limc 25040  df-dv 25041  df-log 25722  df-asin 26025

This theorem is referenced by:  acosneg  26047  sinasin  26049  reasinsin  26056  cosasin  26064  areacirc  35878