Theorem asinneg 26872

Description: The arcsine function is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = -(arcsin‘𝐴))

Proof of Theorem asinneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11092	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 11117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		ax-1cn 11091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		sqcl 14075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6		subcl 11387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	sylancr 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
8	7	sqrtcld 15397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
9	3, 8	addcld 11159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
10		asinlem 26854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)
11	9, 10	logcld 26556	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ)
12		efneg 16060	. . . . . . 7 ⊢ ((log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ → (exp‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = (1 / (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = (1 / (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
14		eflog 26562	. . . . . . . 8 ⊢ ((((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0) → (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
15	9, 10, 14	syl2anc 591	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
16	15	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))) = (1 / ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
17		asinlem2 26855	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)
18	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
19		negcl 11388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
20		mulcl 11117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
21	1, 19, 20	sylancr 594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
22	19	sqcld 14101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) ∈ ℂ)
23		subcl 11387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (-𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (-𝐴↑2)) ∈ ℂ)
24	4, 22, 23	sylancr 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (-𝐴↑2)) ∈ ℂ)
25	24	sqrtcld 15397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (-𝐴↑2))) ∈ ℂ)
26	21, 25	addcld 11159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
27	18, 9, 26, 10	divmuld 11948	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ↔ (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1))
28	17, 27	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
29	13, 16, 28	3eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
30		asinlem 26854	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0)
31	19, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0)
32	11	negcld 11487	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ)
33	11	imnegd 15167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
34	11	imcld 15152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ)
35	34	renegcld 11572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ)
36		pire 26443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → π ∈ ℝ)
38	9, 10	logimcld 26557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π < (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∧ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π))
39	38	simprd 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π)
40	9	renegd 15166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = -(ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
41		asinlem3 26857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
42	9	recld 15151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℝ)
43	42	le0neg2d 11717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ↔ -(ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0))
44	41, 43	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0)
45	40, 44	eqbrtrd 5097	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0)
46	9	negcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
47	46	recld 15151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℝ)
48		0re 11141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
49		lenlt 11219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
50	47, 48, 49	sylancl 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
51	45, 50	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ¬ 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
52		lognegb 26576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0) → (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = π))
53	9, 10, 52	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = π))
54		rpgt0 12950	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ → 0 < -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
55		rpre 12946	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ → -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ)
56	55	rered 15181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ → (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
57	54, 56	breqtrrd 5103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ → 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
58	53, 57	biimtrrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = π → 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
59	58	necon3bd 2950	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≠ π))
60	51, 59	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≠ π)
61	60	necomd 2991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → π ≠ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
62	34, 37, 39, 61	leneltd 11295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) < π)
63		ltneg 11645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
64	34, 36, 63	sylancl 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
65	62, 64	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
66	38	simpld 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -π < (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
67	36	renegcli 11450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -π ∈ ℝ
68		ltle 11229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) → -π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
69	67, 34, 68	sylancr 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π < (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) → -π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
70	66, 69	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
71		lenegcon1 11649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ) → (-π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ↔ -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π))
72	36, 34, 71	sylancr 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ↔ -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π))
73	70, 72	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π)
74	67	rexri 11198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -π ∈ ℝ*
75		elioc2 13357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → (-(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π) ↔ (-(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ ∧ -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∧ -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π)))
76	74, 36, 75	mp2an 699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π) ↔ (-(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ ∧ -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∧ -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π))
77	35, 65, 73, 76	syl3anbrc 1351	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π))
78	33, 77	eqeltrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π))
79		imf 15070	. . . . . . . . 9 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
80		ffn 6659	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ:ℂ⟶ℝ → ℑ Fn ℂ)
81		elpreima 7003	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ Fn ℂ → (-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ (◡ℑ “ (-π(,]π)) ↔ (-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π))))
82	79, 80, 81	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ (◡ℑ “ (-π(,]π)) ↔ (-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π)))
83	32, 78, 82	sylanbrc 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ (◡ℑ “ (-π(,]π)))
84		logrn 26544	. . . . . . 7 ⊢ ran log = (◡ℑ “ (-π(,]π))
85	83, 84	eleqtrrdi 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ran log)
86		logeftb 26569	. . . . . 6 ⊢ ((((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0 ∧ -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ran log) → ((log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ↔ (exp‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
87	26, 31, 85, 86	syl3anc 1380	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ↔ (exp‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
88	29, 87	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
89	88	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))) = (-i · -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
90		negicn 11389	. . . 4 ⊢ -i ∈ ℂ
91		mulneg2 11582	. . . 4 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ) → (-i · -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = -(-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
92	90, 11, 91	sylancr 594	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = -(-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
93	89, 92	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))) = -(-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
94		asinval 26868	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = (-i · (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
95	19, 94	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = (-i · (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
96		asinval 26868	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
97	96	negeqd 11382	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(arcsin‘𝐴) = -(-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
98	93, 95, 97	3eqtr4d 2786	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = -(arcsin‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   class class class wbr 5075  ^◡ccnv 5620  ran crn 5622   “ cima 5624   Fn wfn 6484  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034  ici 11035   + caddc 11036   · cmul 11038  ℝ^*cxr 11173   < clt 11174   ≤ cle 11175   − cmin 11372  -cneg 11373   / cdiv 11802  2c2 12231  ℝ⁺crp 12937  (,]cioc 13294  ↑cexp 14018  ℜcre 15054  ℑcim 15055  √csqrt 15190  expce 16021  πcpi 16026  logclog 26540  arcsincasin 26848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ioc 13298  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15024  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-ef 16027  df-sin 16029  df-cos 16030  df-pi 16032  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-psmet 21343  df-xmet 21344  df-met 21345  df-bl 21346  df-mopn 21347  df-fbas 21348  df-fg 21349  df-cnfld 21352  df-top 22881  df-topon 22898  df-topsp 22920  df-bases 22933  df-cld 23006  df-ntr 23007  df-cls 23008  df-nei 23085  df-lp 23123  df-perf 23124  df-cn 23214  df-cnp 23215  df-haus 23302  df-tx 23549  df-hmeo 23742  df-fil 23833  df-fm 23925  df-flim 23926  df-flf 23927  df-xms 24307  df-ms 24308  df-tms 24309  df-cncf 24867  df-limc 25855  df-dv 25856  df-log 26542  df-asin 26851

This theorem is referenced by:  acosneg  26873  sinasin  26875  reasinsin  26882  cosasin  26890  areacirc  38095