Theorem asinneg 25941

Description: The arcsine function is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = -(arcsin‘𝐴))

Proof of Theorem asinneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 10861	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 10886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		ax-1cn 10860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		sqcl 13766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6		subcl 11150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
8	7	sqrtcld 15077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
9	3, 8	addcld 10925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
10		asinlem 25923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)
11	9, 10	logcld 25631	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ)
12		efneg 15735	. . . . . . 7 ⊢ ((log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ → (exp‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = (1 / (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = (1 / (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
14		eflog 25637	. . . . . . . 8 ⊢ ((((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0) → (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
15	9, 10, 14	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
16	15	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))) = (1 / ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
17		asinlem2 25924	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)
18	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
19		negcl 11151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
20		mulcl 10886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
21	1, 19, 20	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
22	19	sqcld 13790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) ∈ ℂ)
23		subcl 11150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (-𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (-𝐴↑2)) ∈ ℂ)
24	4, 22, 23	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (-𝐴↑2)) ∈ ℂ)
25	24	sqrtcld 15077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (-𝐴↑2))) ∈ ℂ)
26	21, 25	addcld 10925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
27	18, 9, 26, 10	divmuld 11703	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ↔ (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1))
28	17, 27	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
29	13, 16, 28	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
30		asinlem 25923	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0)
31	19, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0)
32	11	negcld 11249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ)
33	11	imnegd 14849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
34	11	imcld 14834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ)
35	34	renegcld 11332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ)
36		pire 25520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → π ∈ ℝ)
38	9, 10	logimcld 25632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π < (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∧ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π))
39	38	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π)
40	9	renegd 14848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = -(ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
41		asinlem3 25926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
42	9	recld 14833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℝ)
43	42	le0neg2d 11477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ↔ -(ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0))
44	41, 43	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0)
45	40, 44	eqbrtrd 5092	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0)
46	9	negcld 11249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
47	46	recld 14833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℝ)
48		0re 10908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
49		lenlt 10984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
50	47, 48, 49	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
51	45, 50	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ¬ 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
52		lognegb 25650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0) → (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = π))
53	9, 10, 52	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = π))
54		rpgt0 12671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ → 0 < -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
55		rpre 12667	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ → -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ)
56	55	rered 14863	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ → (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
57	54, 56	breqtrrd 5098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ → 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
58	53, 57	syl6bir 253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = π → 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
59	58	necon3bd 2956	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≠ π))
60	51, 59	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≠ π)
61	60	necomd 2998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → π ≠ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
62	34, 37, 39, 61	leneltd 11059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) < π)
63		ltneg 11405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
64	34, 36, 63	sylancl 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
65	62, 64	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
66	38	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -π < (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
67	36	renegcli 11212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -π ∈ ℝ
68		ltle 10994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) → -π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
69	67, 34, 68	sylancr 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π < (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) → -π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
70	66, 69	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
71		lenegcon1 11409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ) → (-π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ↔ -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π))
72	36, 34, 71	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ↔ -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π))
73	70, 72	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π)
74	67	rexri 10964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -π ∈ ℝ*
75		elioc2 13071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → (-(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π) ↔ (-(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ ∧ -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∧ -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π)))
76	74, 36, 75	mp2an 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π) ↔ (-(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ ∧ -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∧ -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π))
77	35, 65, 73, 76	syl3anbrc 1341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π))
78	33, 77	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π))
79		imf 14752	. . . . . . . . 9 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
80		ffn 6584	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ:ℂ⟶ℝ → ℑ Fn ℂ)
81		elpreima 6917	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ Fn ℂ → (-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ (◡ℑ “ (-π(,]π)) ↔ (-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π))))
82	79, 80, 81	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ (◡ℑ “ (-π(,]π)) ↔ (-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π)))
83	32, 78, 82	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ (◡ℑ “ (-π(,]π)))
84		logrn 25619	. . . . . . 7 ⊢ ran log = (◡ℑ “ (-π(,]π))
85	83, 84	eleqtrrdi 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ran log)
86		logeftb 25644	. . . . . 6 ⊢ ((((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0 ∧ -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ran log) → ((log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ↔ (exp‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
87	26, 31, 85, 86	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ↔ (exp‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
88	29, 87	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
89	88	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))) = (-i · -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
90		negicn 11152	. . . 4 ⊢ -i ∈ ℂ
91		mulneg2 11342	. . . 4 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ) → (-i · -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = -(-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
92	90, 11, 91	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = -(-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
93	89, 92	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))) = -(-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
94		asinval 25937	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = (-i · (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
95	19, 94	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = (-i · (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
96		asinval 25937	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
97	96	negeqd 11145	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(arcsin‘𝐴) = -(-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
98	93, 95, 97	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = -(arcsin‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579  ran crn 5581   “ cima 5583   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803  ici 10804   + caddc 10805   · cmul 10807  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  2c2 11958  ℝ⁺crp 12659  (,]cioc 13009  ↑cexp 13710  ℜcre 14736  ℑcim 14737  √csqrt 14872  expce 15699  πcpi 15704  logclog 25615  arcsincasin 25917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617  df-asin 25920

This theorem is referenced by:  acosneg  25942  sinasin  25944  reasinsin  25951  cosasin  25959  areacirc  35797