Theorem asinneg 26929

Description: The arcsine function is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = -(arcsin‘𝐴))

Proof of Theorem asinneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11214	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 11239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		ax-1cn 11213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		sqcl 14158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6		subcl 11507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
8	7	sqrtcld 15476	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
9	3, 8	addcld 11280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
10		asinlem 26911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)
11	9, 10	logcld 26612	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ)
12		efneg 16134	. . . . . . 7 ⊢ ((log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ → (exp‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = (1 / (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = (1 / (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
14		eflog 26618	. . . . . . . 8 ⊢ ((((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0) → (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
15	9, 10, 14	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
16	15	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))) = (1 / ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
17		asinlem2 26912	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1)
18	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
19		negcl 11508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
20		mulcl 11239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
21	1, 19, 20	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
22	19	sqcld 14184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) ∈ ℂ)
23		subcl 11507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (-𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (-𝐴↑2)) ∈ ℂ)
24	4, 22, 23	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (-𝐴↑2)) ∈ ℂ)
25	24	sqrtcld 15476	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (-𝐴↑2))) ∈ ℂ)
26	21, 25	addcld 11280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
27	18, 9, 26, 10	divmuld 12065	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ↔ (((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) · ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = 1))
28	17, 27	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
29	13, 16, 28	3eqtrd 2781	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
30		asinlem 26911	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0)
31	19, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0)
32	11	negcld 11607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ)
33	11	imnegd 15249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
34	11	imcld 15234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ)
35	34	renegcld 11690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ)
36		pire 26500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → π ∈ ℝ)
38	9, 10	logimcld 26613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π < (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∧ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π))
39	38	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π)
40	9	renegd 15248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = -(ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
41		asinlem3 26914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
42	9	recld 15233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℝ)
43	42	le0neg2d 11835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ↔ -(ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0))
44	41, 43	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0)
45	40, 44	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0)
46	9	negcld 11607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
47	46	recld 15233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℝ)
48		0re 11263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
49		lenlt 11339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
50	47, 48, 49	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
51	45, 50	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ¬ 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
52		lognegb 26632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0) → (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = π))
53	9, 10, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = π))
54		rpgt0 13047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ → 0 < -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
55		rpre 13043	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ → -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ)
56	55	rered 15263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ → (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = -((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
57	54, 56	breqtrrd 5171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ → 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
58	53, 57	biimtrrdi 254	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = π → 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
59	58	necon3bd 2954	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 0 < (ℜ‘-((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≠ π))
60	51, 59	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≠ π)
61	60	necomd 2996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → π ≠ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
62	34, 37, 39, 61	leneltd 11415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) < π)
63		ltneg 11763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
64	34, 36, 63	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
65	62, 64	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
66	38	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -π < (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
67	36	renegcli 11570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -π ∈ ℝ
68		ltle 11349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) → -π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
69	67, 34, 68	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π < (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) → -π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
70	66, 69	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
71		lenegcon1 11767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ) → (-π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ↔ -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π))
72	36, 34, 71	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-π ≤ (ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ↔ -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π))
73	70, 72	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π)
74	67	rexri 11319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -π ∈ ℝ*
75		elioc2 13450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → (-(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π) ↔ (-(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ ∧ -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∧ -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π)))
76	74, 36, 75	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π) ↔ (-(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ ∧ -π < -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∧ -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ≤ π))
77	35, 65, 73, 76	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π))
78	33, 77	eqeltrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π))
79		imf 15152	. . . . . . . . 9 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
80		ffn 6736	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ:ℂ⟶ℝ → ℑ Fn ℂ)
81		elpreima 7078	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ Fn ℂ → (-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ (◡ℑ “ (-π(,]π)) ↔ (-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π))))
82	79, 80, 81	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ (◡ℑ “ (-π(,]π)) ↔ (-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ (-π(,]π)))
83	32, 78, 82	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ (◡ℑ “ (-π(,]π)))
84		logrn 26600	. . . . . . 7 ⊢ ran log = (◡ℑ “ (-π(,]π))
85	83, 84	eleqtrrdi 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ran log)
86		logeftb 26625	. . . . . 6 ⊢ ((((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) ≠ 0 ∧ -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ran log) → ((log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ↔ (exp‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
87	26, 31, 85, 86	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ↔ (exp‘-(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))))
88	29, 87	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2))))) = -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
89	88	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))) = (-i · -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
90		negicn 11509	. . . 4 ⊢ -i ∈ ℂ
91		mulneg2 11700	. . . 4 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ) → (-i · -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = -(-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
92	90, 11, 91	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · -(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = -(-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
93	89, 92	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))) = -(-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
94		asinval 26925	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = (-i · (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
95	19, 94	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = (-i · (log‘((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))))
96		asinval 26925	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
97	96	negeqd 11502	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(arcsin‘𝐴) = -(-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
98	93, 95, 97	3eqtr4d 2787	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = -(arcsin‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ^◡ccnv 5684  ran crn 5686   “ cima 5688   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  ℝ⁺crp 13034  (,]cioc 13388  ↑cexp 14102  ℜcre 15136  ℑcim 15137  √csqrt 15272  expce 16097  πcpi 16102  logclog 26596  arcsincasin 26905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-asin 26908

This theorem is referenced by:  acosneg  26930  sinasin  26932  reasinsin  26939  cosasin  26947  areacirc  37720