MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinneg 26388
Description: The arcsine function is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinneg (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (arcsinβ€˜-𝐴) = -(arcsinβ€˜π΄))

Proof of Theorem asinneg
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11168 . . . . . . . . . 10 i ∈ β„‚
2 mulcl 11193 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
31, 2mpan 688 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
4 ax-1cn 11167 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„‚
5 sqcl 14082 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴↑2) ∈ β„‚)
6 subcl 11458 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ β„‚ ∧ (𝐴↑2) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (𝐴↑2)) ∈ β„‚)
74, 5, 6sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (1 βˆ’ (𝐴↑2)) ∈ β„‚)
87sqrtcld 15383 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))) ∈ β„‚)
93, 8addcld 11232 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))) ∈ β„‚)
10 asinlem 26370 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))) β‰  0)
119, 10logcld 26078 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) ∈ β„‚)
12 efneg 16040 . . . . . . 7 ((logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜-(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) = (1 / (expβ€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))))))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜-(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) = (1 / (expβ€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))))))
14 eflog 26084 . . . . . . . 8 ((((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))) ∈ β„‚ ∧ ((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))) β‰  0) β†’ (expβ€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) = ((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))
159, 10, 14syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) = ((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))
1615oveq2d 7424 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (1 / (expβ€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))))) = (1 / ((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))))
17 asinlem2 26371 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))) Β· ((i Β· -𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2))))) = 1)
184a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 1 ∈ β„‚)
19 negcl 11459 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -𝐴 ∈ β„‚)
20 mulcl 11193 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ β„‚ ∧ -𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· -𝐴) ∈ β„‚)
211, 19, 20sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· -𝐴) ∈ β„‚)
2219sqcld 14108 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-𝐴↑2) ∈ β„‚)
23 subcl 11458 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ β„‚ ∧ (-𝐴↑2) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (-𝐴↑2)) ∈ β„‚)
244, 22, 23sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (1 βˆ’ (-𝐴↑2)) ∈ β„‚)
2524sqrtcld 15383 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2))) ∈ β„‚)
2621, 25addcld 11232 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((i Β· -𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2)))) ∈ β„‚)
2718, 9, 26, 10divmuld 12011 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((1 / ((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) = ((i Β· -𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2)))) ↔ (((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))) Β· ((i Β· -𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2))))) = 1))
2817, 27mpbird 256 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (1 / ((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) = ((i Β· -𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2)))))
2913, 16, 283eqtrd 2776 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜-(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) = ((i Β· -𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2)))))
30 asinlem 26370 . . . . . . 7 (-𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((i Β· -𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2)))) β‰  0)
3119, 30syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((i Β· -𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2)))) β‰  0)
3211negcld 11557 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) ∈ β„‚)
3311imnegd 15156 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‘β€˜-(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) = -(β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))
3411imcld 15141 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ)
3534renegcld 11640 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ)
36 pire 25967 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ ℝ
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
389, 10logimcld 26079 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ≀ Ο€))
3938simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ≀ Ο€)
409renegd 15155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„œβ€˜-((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) = -(β„œβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))))
41 asinlem3 26373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 0 ≀ (β„œβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))))
429recld 15140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„œβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) ∈ ℝ)
4342le0neg2d 11785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (0 ≀ (β„œβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) ↔ -(β„œβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) ≀ 0))
4441, 43mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(β„œβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) ≀ 0)
4540, 44eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„œβ€˜-((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) ≀ 0)
469negcld 11557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))) ∈ β„‚)
4746recld 15140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„œβ€˜-((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) ∈ ℝ)
48 0re 11215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
49 lenlt 11291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((β„œβ€˜-((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((β„œβ€˜-((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) ≀ 0 ↔ Β¬ 0 < (β„œβ€˜-((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))
5047, 48, 49sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„œβ€˜-((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) ≀ 0 ↔ Β¬ 0 < (β„œβ€˜-((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))
5145, 50mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ Β¬ 0 < (β„œβ€˜-((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))))
52 lognegb 26097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))) ∈ β„‚ ∧ ((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))) β‰  0) β†’ (-((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ ↔ (β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) = Ο€))
539, 10, 52syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ ↔ (β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) = Ο€))
54 rpgt0 12985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ β†’ 0 < -((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))
55 rpre 12981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ β†’ -((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))) ∈ ℝ)
5655rered 15170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ β†’ (β„œβ€˜-((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) = -((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))
5754, 56breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))) ∈ ℝ+ β†’ 0 < (β„œβ€˜-((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))))
5853, 57syl6bir 253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) = Ο€ β†’ 0 < (β„œβ€˜-((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))
5958necon3bd 2954 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (Β¬ 0 < (β„œβ€˜-((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) β‰  Ο€))
6051, 59mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) β‰  Ο€)
6160necomd 2996 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ Ο€ β‰  (β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))
6234, 37, 39, 61leneltd 11367 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) < Ο€)
63 ltneg 11713 . . . . . . . . . . . 12 (((β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) < Ο€ ↔ -Ο€ < -(β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))))))
6434, 36, 63sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) < Ο€ ↔ -Ο€ < -(β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))))))
6562, 64mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -Ο€ < -(β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))
6638simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))
6736renegcli 11520 . . . . . . . . . . . . 13 -Ο€ ∈ ℝ
68 ltle 11301 . . . . . . . . . . . . 13 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ) β†’ (-Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) β†’ -Ο€ ≀ (β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))))))
6967, 34, 68sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) β†’ -Ο€ ≀ (β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))))))
7066, 69mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -Ο€ ≀ (β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))
71 lenegcon1 11717 . . . . . . . . . . . 12 ((Ο€ ∈ ℝ ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ) β†’ (-Ο€ ≀ (β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ↔ -(β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ≀ Ο€))
7236, 34, 71sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-Ο€ ≀ (β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ↔ -(β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ≀ Ο€))
7370, 72mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ≀ Ο€)
7467rexri 11271 . . . . . . . . . . 11 -Ο€ ∈ ℝ*
75 elioc2 13386 . . . . . . . . . . 11 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (-(β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ∈ (-Ο€(,]Ο€) ↔ (-(β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ ∧ -Ο€ < -(β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ∧ -(β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ≀ Ο€)))
7674, 36, 75mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (-(β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ∈ (-Ο€(,]Ο€) ↔ (-(β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ∈ ℝ ∧ -Ο€ < -(β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ∧ -(β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ≀ Ο€))
7735, 65, 73, 76syl3anbrc 1343 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(β„‘β€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ∈ (-Ο€(,]Ο€))
7833, 77eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‘β€˜-(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ∈ (-Ο€(,]Ο€))
79 imf 15059 . . . . . . . . 9 β„‘:β„‚βŸΆβ„
80 ffn 6717 . . . . . . . . 9 (β„‘:β„‚βŸΆβ„ β†’ β„‘ Fn β„‚)
81 elpreima 7059 . . . . . . . . 9 (β„‘ Fn β„‚ β†’ (-(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) ∈ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)) ↔ (-(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜-(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ∈ (-Ο€(,]Ο€))))
8279, 80, 81mp2b 10 . . . . . . . 8 (-(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) ∈ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)) ↔ (-(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜-(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) ∈ (-Ο€(,]Ο€)))
8332, 78, 82sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) ∈ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)))
84 logrn 26066 . . . . . . 7 ran log = (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))
8583, 84eleqtrrdi 2844 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) ∈ ran log)
86 logeftb 26091 . . . . . 6 ((((i Β· -𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2)))) ∈ β„‚ ∧ ((i Β· -𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2)))) β‰  0 ∧ -(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) ∈ ran log) β†’ ((logβ€˜((i Β· -𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2))))) = -(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) ↔ (expβ€˜-(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) = ((i Β· -𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2))))))
8726, 31, 85, 86syl3anc 1371 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((logβ€˜((i Β· -𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2))))) = -(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) ↔ (expβ€˜-(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) = ((i Β· -𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2))))))
8829, 87mpbird 256 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (logβ€˜((i Β· -𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2))))) = -(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))))
8988oveq2d 7424 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-i Β· (logβ€˜((i Β· -𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2)))))) = (-i Β· -(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))
90 negicn 11460 . . . 4 -i ∈ β„‚
91 mulneg2 11650 . . . 4 ((-i ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) ∈ β„‚) β†’ (-i Β· -(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) = -(-i Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))
9290, 11, 91sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-i Β· -(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) = -(-i Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))
9389, 92eqtrd 2772 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-i Β· (logβ€˜((i Β· -𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2)))))) = -(-i Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))
94 asinval 26384 . . 3 (-𝐴 ∈ β„‚ β†’ (arcsinβ€˜-𝐴) = (-i Β· (logβ€˜((i Β· -𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2)))))))
9519, 94syl 17 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (arcsinβ€˜-𝐴) = (-i Β· (logβ€˜((i Β· -𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (-𝐴↑2)))))))
96 asinval 26384 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (arcsinβ€˜π΄) = (-i Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))
9796negeqd 11453 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(arcsinβ€˜π΄) = -(-i Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))
9893, 95, 973eqtr4d 2782 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (arcsinβ€˜-𝐴) = -(arcsinβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110  ici 11111   + caddc 11112   Β· cmul 11114  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443  -cneg 11444   / cdiv 11870  2c2 12266  β„+crp 12973  (,]cioc 13324  β†‘cexp 14026  β„œcre 15043  β„‘cim 15044  βˆšcsqrt 15179  expce 16004  Ο€cpi 16009  logclog 26062  arcsincasin 26364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064  df-asin 26367
This theorem is referenced by:  acosneg  26389  sinasin  26391  reasinsin  26398  cosasin  26406  areacirc  36576
  Copyright terms: Public domain W3C validator