Theorem asinsin 24913

Description: The arcsine function composed with sin is equal to the identity. This plus sinasin 24910 allow us to view sin and arcsin as inverse operations to each other. For ease of use, we have not defined precisely the correct domain of correctness of this identity; in addition to the main region described here it is also true for some points on the branch cuts, namely when 𝐴 = (π / 2) − i𝑦 for nonnegative real 𝑦 and also symmetrically at 𝐴 = i𝑦 − (π / 2). In particular, when restricted to reals this identity extends to the closed interval [-(π / 2), (π / 2)], not just the open interval (see reasinsin 24917). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinsin	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem asinsin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincl 15141	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	adantr 472	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
3		asinval 24903	. . 3 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = (-i · (log‘((i · (sin‘𝐴)) + (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2)))))))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = (-i · (log‘((i · (sin‘𝐴)) + (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2)))))))
5		ax-icn 10250	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
6		mulcl 10275	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
7	5, 2, 6	sylancr 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
8		simpl 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		mulcl 10275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10	5, 8, 9	sylancr 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11		efcl 15098	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	7, 12	pncan3d 10651	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · (sin‘𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴)))) = (exp‘(i · 𝐴)))
14	12, 7	subcld 10648	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
15		ax-1cn 10249	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
16	2	sqcld 13216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
17		subcl 10536	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (1 − ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
18	15, 16, 17	sylancr 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 − ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
19		binom2sub 13191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴)))↑2) = ((((exp‘(i · 𝐴))↑2) − (2 · ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))))) + ((i · (sin‘𝐴))↑2)))
20	12, 7, 19	syl2anc 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴)))↑2) = ((((exp‘(i · 𝐴))↑2) − (2 · ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))))) + ((i · (sin‘𝐴))↑2)))
21	12	sqvald 13215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴))↑2) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
22		2cn 11349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 2 ∈ ℂ)
24	23, 12, 7	mul12d 10501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴)))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (2 · (i · (sin‘𝐴)))))
25	21, 24	oveq12d 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴))↑2) − (2 · ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (2 · (i · (sin‘𝐴))))))
26		coscl 15142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
27	26	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
28		subsq 13182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴)↑2) − ((i · (sin‘𝐴))↑2)) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴)))))
29	27, 7, 28	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴)↑2) − ((i · (sin‘𝐴))↑2)) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴)))))
30		sqmul 13136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · (sin‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((sin‘𝐴)↑2)))
31	5, 2, 30	sylancr 581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · (sin‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((sin‘𝐴)↑2)))
32		i2 13175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i↑2) = -1
33	32	oveq1i 6854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i↑2) · ((sin‘𝐴)↑2)) = (-1 · ((sin‘𝐴)↑2))
34	16	mulm1d 10738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-1 · ((sin‘𝐴)↑2)) = -((sin‘𝐴)↑2))
35	33, 34	syl5eq 2811	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i↑2) · ((sin‘𝐴)↑2)) = -((sin‘𝐴)↑2))
36	31, 35	eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · (sin‘𝐴))↑2) = -((sin‘𝐴)↑2))
37	36	oveq2d 6860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴)↑2) − ((i · (sin‘𝐴))↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) − -((sin‘𝐴)↑2)))
38	27	sqcld 13216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
39	38, 16	subnegd 10655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴)↑2) − -((sin‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)))
40	38, 16	addcomd 10494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
41	37, 39, 40	3eqtrd 2803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴)↑2) − ((i · (sin‘𝐴))↑2)) = (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
42		efival 15167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
43	42	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
44	7	2timesd 11523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (i · (sin‘𝐴))) = ((i · (sin‘𝐴)) + (i · (sin‘𝐴))))
45	43, 44	oveq12d 6862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (2 · (i · (sin‘𝐴)))) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) − ((i · (sin‘𝐴)) + (i · (sin‘𝐴)))))
46	27, 7, 7	pnpcan2d 10686	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) − ((i · (sin‘𝐴)) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
47	45, 46	eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (2 · (i · (sin‘𝐴)))) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
48	43, 47	oveq12d 6862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (2 · (i · (sin‘𝐴))))) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴)))))
49		mulcl 10275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ) → (2 · (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
50	22, 7, 49	sylancr 581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
51	12, 12, 50	subdid 10742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (2 · (i · (sin‘𝐴))))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (2 · (i · (sin‘𝐴))))))
52	48, 51	eqtr3d 2801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴)))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (2 · (i · (sin‘𝐴))))))
53	29, 41, 52	3eqtr3d 2807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (2 · (i · (sin‘𝐴))))))
54		sincossq 15191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
55	54	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
56	25, 53, 55	3eqtr2d 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴))↑2) − (2 · ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))))) = 1)
57	56, 36	oveq12d 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((((exp‘(i · 𝐴))↑2) − (2 · ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))))) + ((i · (sin‘𝐴))↑2)) = (1 + -((sin‘𝐴)↑2)))
58		negsub 10585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (1 + -((sin‘𝐴)↑2)) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))
59	15, 16, 58	sylancr 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 + -((sin‘𝐴)↑2)) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))
60	20, 57, 59	3eqtrd 2803	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴)))↑2) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))
61		halfre 11494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 / 2) ∈ ℝ)
63		negicn 10538	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -i ∈ ℂ
64		mulcl 10275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
65	63, 8, 64	sylancr 581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
66		efcl 15098	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
68	12, 67	addcld 10315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
69	68	recld 14222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) ∈ ℝ)
70		halfgt0 11496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (1 / 2)
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (1 / 2))
72	12	recld 14222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) ∈ ℝ)
73	67	recld 14222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℝ)
74		asinsinlem 24912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))))
75		negcl 10537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
76	75	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -𝐴 ∈ ℂ)
77		reneg 14153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
78	77	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
79		recl 14138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
80		halfpire 24511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
81	80	renegcli 10598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
82		iooneg 12500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ -(ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)--(π / 2))))
83	81, 80, 82	mp3an12 1575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ → ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ -(ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)--(π / 2))))
84	79, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ -(ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)--(π / 2))))
85	84	biimpa 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -(ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)--(π / 2)))
86	80	recni 10310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
87	86	negnegi 10607	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ --(π / 2) = (π / 2)
88	87	oveq2i 6855	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-(π / 2)(,)--(π / 2)) = (-(π / 2)(,)(π / 2))
89	85, 88	syl6eleq 2854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -(ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
90	78, 89	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘-𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
91		asinsinlem 24912	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘-𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(exp‘(i · -𝐴))))
92	76, 90, 91	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(exp‘(i · -𝐴))))
93		mulneg12 10724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
94	5, 8, 93	sylancr 581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
95	94	fveq2d 6381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(-i · 𝐴)) = (exp‘(i · -𝐴)))
96	95	fveq2d 6381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(exp‘(-i · 𝐴))) = (ℜ‘(exp‘(i · -𝐴))))
97	92, 96	breqtrrd 4839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(exp‘(-i · 𝐴))))
98	72, 73, 74, 97	addgt0d 10858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < ((ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) + (ℜ‘(exp‘(-i · 𝐴)))))
99	12, 67	readdd 14242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) = ((ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) + (ℜ‘(exp‘(-i · 𝐴)))))
100	98, 99	breqtrrd 4839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))
101	62, 69, 71, 100	mulgt0d 10448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < ((1 / 2) · (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
102		cosval 15138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
103	102	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
104		2ne0 11385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≠ 0
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 2 ≠ 0)
106	68, 23, 105	divrec2d 11061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = ((1 / 2) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))
107	103, 106	eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) = ((1 / 2) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))
108	107	fveq2d 6381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(cos‘𝐴)) = (ℜ‘((1 / 2) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
109		remul2 14158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (ℜ‘((1 / 2) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))) = ((1 / 2) · (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
110	61, 68, 109	sylancr 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((1 / 2) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))) = ((1 / 2) · (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
111	108, 110	eqtrd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(cos‘𝐴)) = ((1 / 2) · (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
112	101, 111	breqtrrd 4839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(cos‘𝐴)))
113	43	oveq1d 6859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴))) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) − (i · (sin‘𝐴))))
114	27, 7	pncand 10649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) − (i · (sin‘𝐴))) = (cos‘𝐴))
115	113, 114	eqtrd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴))) = (cos‘𝐴))
116	115	fveq2d 6381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴)))) = (ℜ‘(cos‘𝐴)))
117	112, 116	breqtrrd 4839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴)))))
118	14, 18, 60, 117	eqsqrt2d 14396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴))) = (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2))))
119	118	oveq2d 6860	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · (sin‘𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴)))) = ((i · (sin‘𝐴)) + (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2)))))
120	13, 119	eqtr3d 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · 𝐴)) = ((i · (sin‘𝐴)) + (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2)))))
121	120	fveq2d 6381	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘(exp‘(i · 𝐴))) = (log‘((i · (sin‘𝐴)) + (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2))))))
122		pire 24505	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
123	122	renegcli 10598	. . . . . . . . 9 ⊢ -π ∈ ℝ
124	123	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -π ∈ ℝ)
125	81	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -(π / 2) ∈ ℝ)
126		elioore 12410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
127	126	adantl 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
128		pirp 24508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ+
129		rphalflt 12061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
130	128, 129	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) < π
131	80, 122	ltnegi 10828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 2) < π ↔ -π < -(π / 2))
132	130, 131	mpbi 221	. . . . . . . . 9 ⊢ -π < -(π / 2)
133	132	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -π < -(π / 2))
134		eliooord 12438	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (-(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
135	134	adantl 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
136	135	simpld 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -(π / 2) < (ℜ‘𝐴))
137	124, 125, 127, 133, 136	lttrd 10454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -π < (ℜ‘𝐴))
138		imre 14136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))))
139	10, 138	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))))
140	5, 5	mulneg1i 10732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-i · i) = -(i · i)
141		ixi 10912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · i) = -1
142	141	negeqi 10530	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(i · i) = --1
143	15	negnegi 10607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ --1 = 1
144	140, 142, 143	3eqtri 2791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-i · i) = 1
145	144	oveq1i 6854	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
146	63	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -i ∈ ℂ)
147	5	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → i ∈ ℂ)
148	146, 147, 8	mulassd 10319	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
149		mulid2 10294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
150	149	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
151	145, 148, 150	3eqtr3a 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
152	151	fveq2d 6381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
153	139, 152	eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
154	137, 153	breqtrrd 4839	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -π < (ℑ‘(i · 𝐴)))
155	122	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → π ∈ ℝ)
156	80	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (π / 2) ∈ ℝ)
157	135	simprd 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) < (π / 2))
158	130	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (π / 2) < π)
159	127, 156, 155, 157, 158	lttrd 10454	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) < π)
160	127, 155, 159	ltled 10441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ≤ π)
161	153, 160	eqbrtrd 4833	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(i · 𝐴)) ≤ π)
162		ellogrn 24600	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ran log ↔ ((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(i · 𝐴)) ∧ (ℑ‘(i · 𝐴)) ≤ π))
163	10, 154, 161, 162	syl3anbrc 1443	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · 𝐴) ∈ ran log)
164		logef 24622	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ran log → (log‘(exp‘(i · 𝐴))) = (i · 𝐴))
165	163, 164	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘(exp‘(i · 𝐴))) = (i · 𝐴))
166	121, 165	eqtr3d 2801	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘((i · (sin‘𝐴)) + (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2))))) = (i · 𝐴))
167	166	oveq2d 6860	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-i · (log‘((i · (sin‘𝐴)) + (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2)))))) = (-i · (i · 𝐴)))
168	4, 167, 151	3eqtrd 2803	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ≠ wne 2937   class class class wbr 4811  ran crn 5280  ‘cfv 6070  (class class class)co 6844  ℂcc 10189  ℝcr 10190  0cc0 10191  1c1 10192  ici 10193   + caddc 10194   · cmul 10196   < clt 10330   ≤ cle 10331   − cmin 10522  -cneg 10523   / cdiv 10940  2c2 11329  ℝ⁺crp 12031  (,)cioo 12380  ↑cexp 13070  ℜcre 14125  ℑcim 14126  √csqrt 14261  expce 15077  sincsin 15079  cosccos 15080  πcpi 15082  logclog 24595  arcsincasin 24883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269  ax-addf 10270  ax-mulf 10271

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-of 7097  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-supp 7500  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-2o 7767  df-oadd 7770  df-er 7949  df-map 8064  df-pm 8065  df-ixp 8116  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-fsupp 8485  df-fi 8526  df-sup 8557  df-inf 8558  df-oi 8624  df-card 9018  df-cda 9245  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-7 11342  df-8 11343  df-9 11344  df-n0 11541  df-z 11627  df-dec 11744  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-xneg 12149  df-xadd 12150  df-xmul 12151  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-fl 12804  df-mod 12880  df-seq 13012  df-exp 13071  df-fac 13268  df-bc 13297  df-hash 13325  df-shft 14095  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-limsup 14490  df-clim 14507  df-rlim 14508  df-sum 14705  df-ef 15083  df-sin 15085  df-cos 15086  df-pi 15088  df-struct 16135  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-sets 16140  df-ress 16141  df-plusg 16230  df-mulr 16231  df-starv 16232  df-sca 16233  df-vsca 16234  df-ip 16235  df-tset 16236  df-ple 16237  df-ds 16239  df-unif 16240  df-hom 16241  df-cco 16242  df-rest 16352  df-topn 16353  df-0g 16371  df-gsum 16372  df-topgen 16373  df-pt 16374  df-prds 16377  df-xrs 16431  df-qtop 16436  df-imas 16437  df-xps 16439  df-mre 16515  df-mrc 16516  df-acs 16518  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-submnd 17605  df-mulg 17811  df-cntz 18016  df-cmn 18464  df-psmet 20014  df-xmet 20015  df-met 20016  df-bl 20017  df-mopn 20018  df-fbas 20019  df-fg 20020  df-cnfld 20023  df-top 20981  df-topon 20998  df-topsp 21020  df-bases 21033  df-cld 21106  df-ntr 21107  df-cls 21108  df-nei 21185  df-lp 21223  df-perf 21224  df-cn 21314  df-cnp 21315  df-haus 21402  df-tx 21648  df-hmeo 21841  df-fil 21932  df-fm 22024  df-flim 22025  df-flf 22026  df-xms 22407  df-ms 22408  df-tms 22409  df-cncf 22963  df-limc 23924  df-dv 23925  df-log 24597  df-asin 24886

This theorem is referenced by:  acoscos  24914  reasinsin  24917  asinsinb  24918