Theorem asinsin 26856

Description: The arcsine function composed with sin is equal to the identity. This plus sinasin 26853 allow to view sin and arcsin as inverse operations to each other. For ease of use, we have not defined precisely the correct domain of correctness of this identity; in addition to the main region described here it is also true for some points on the branch cuts, namely when 𝐴 = (π / 2) − i𝑦 for nonnegative real 𝑦 and also symmetrically at 𝐴 = i𝑦 − (π / 2). In particular, when restricted to reals this identity extends to the closed interval [-(π / 2), (π / 2)], not just the open interval (see reasinsin 26860). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinsin	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem asinsin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincl 16093	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
3		asinval 26846	. . 3 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = (-i · (log‘((i · (sin‘𝐴)) + (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2)))))))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = (-i · (log‘((i · (sin‘𝐴)) + (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2)))))))
5		ax-icn 11097	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
6		mulcl 11122	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
7	5, 2, 6	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
8		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		mulcl 11122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10	5, 8, 9	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11		efcl 16047	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	7, 12	pncan3d 11508	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · (sin‘𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴)))) = (exp‘(i · 𝐴)))
14	12, 7	subcld 11505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
15		ax-1cn 11096	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
16	2	sqcld 14106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
17		subcl 11392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (1 − ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
18	15, 16, 17	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 − ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
19		binom2sub 14182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴)))↑2) = ((((exp‘(i · 𝐴))↑2) − (2 · ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))))) + ((i · (sin‘𝐴))↑2)))
20	12, 7, 19	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴)))↑2) = ((((exp‘(i · 𝐴))↑2) − (2 · ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))))) + ((i · (sin‘𝐴))↑2)))
21	12	sqvald 14105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴))↑2) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
22		2cn 12256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 2 ∈ ℂ)
24	23, 12, 7	mul12d 11355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴)))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (2 · (i · (sin‘𝐴)))))
25	21, 24	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴))↑2) − (2 · ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (2 · (i · (sin‘𝐴))))))
26		coscl 16094	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
28		subsq 14172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴)↑2) − ((i · (sin‘𝐴))↑2)) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴)))))
29	27, 7, 28	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴)↑2) − ((i · (sin‘𝐴))↑2)) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴)))))
30		sqmul 14081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · (sin‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((sin‘𝐴)↑2)))
31	5, 2, 30	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · (sin‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((sin‘𝐴)↑2)))
32		i2 14164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i↑2) = -1
33	32	oveq1i 7377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i↑2) · ((sin‘𝐴)↑2)) = (-1 · ((sin‘𝐴)↑2))
34	16	mulm1d 11602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-1 · ((sin‘𝐴)↑2)) = -((sin‘𝐴)↑2))
35	33, 34	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i↑2) · ((sin‘𝐴)↑2)) = -((sin‘𝐴)↑2))
36	31, 35	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · (sin‘𝐴))↑2) = -((sin‘𝐴)↑2))
37	36	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴)↑2) − ((i · (sin‘𝐴))↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) − -((sin‘𝐴)↑2)))
38	27	sqcld 14106	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
39	38, 16	subnegd 11512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴)↑2) − -((sin‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)))
40	38, 16	addcomd 11348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
41	37, 39, 40	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴)↑2) − ((i · (sin‘𝐴))↑2)) = (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
42		efival 16119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
44	7	2timesd 12420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (i · (sin‘𝐴))) = ((i · (sin‘𝐴)) + (i · (sin‘𝐴))))
45	43, 44	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (2 · (i · (sin‘𝐴)))) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) − ((i · (sin‘𝐴)) + (i · (sin‘𝐴)))))
46	27, 7, 7	pnpcan2d 11543	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) − ((i · (sin‘𝐴)) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
47	45, 46	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (2 · (i · (sin‘𝐴)))) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
48	43, 47	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (2 · (i · (sin‘𝐴))))) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴)))))
49		mulcl 11122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ) → (2 · (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
50	22, 7, 49	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
51	12, 12, 50	subdid 11606	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (2 · (i · (sin‘𝐴))))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (2 · (i · (sin‘𝐴))))))
52	48, 51	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴)))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (2 · (i · (sin‘𝐴))))))
53	29, 41, 52	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (2 · (i · (sin‘𝐴))))))
54		sincossq 16143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
56	25, 53, 55	3eqtr2d 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴))↑2) − (2 · ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))))) = 1)
57	56, 36	oveq12d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((((exp‘(i · 𝐴))↑2) − (2 · ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))))) + ((i · (sin‘𝐴))↑2)) = (1 + -((sin‘𝐴)↑2)))
58		negsub 11442	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (1 + -((sin‘𝐴)↑2)) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))
59	15, 16, 58	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 + -((sin‘𝐴)↑2)) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))
60	20, 57, 59	3eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴)))↑2) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))
61		halfre 12390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 / 2) ∈ ℝ)
63		negicn 11394	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -i ∈ ℂ
64		mulcl 11122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
65	63, 8, 64	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
66		efcl 16047	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
68	12, 67	addcld 11164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
69	68	recld 15156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) ∈ ℝ)
70		halfgt0 12392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (1 / 2)
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (1 / 2))
72	12	recld 15156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) ∈ ℝ)
73	67	recld 15156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℝ)
74		asinsinlem 26855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))))
75		negcl 11393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -𝐴 ∈ ℂ)
77		reneg 15087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
78	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
79		halfpire 26428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
80	79	renegcli 11455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
81		recl 15072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
82		iooneg 13424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ -(ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)--(π / 2))))
83	80, 79, 81, 82	mp3an12i 1468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ -(ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)--(π / 2))))
84	83	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -(ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)--(π / 2)))
85	79	recni 11159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
86	85	negnegi 11464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ --(π / 2) = (π / 2)
87	86	oveq2i 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-(π / 2)(,)--(π / 2)) = (-(π / 2)(,)(π / 2))
88	84, 87	eleqtrdi 2846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -(ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
89	78, 88	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘-𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
90		asinsinlem 26855	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘-𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(exp‘(i · -𝐴))))
91	76, 89, 90	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(exp‘(i · -𝐴))))
92		mulneg12 11588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
93	5, 8, 92	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
94	93	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(-i · 𝐴)) = (exp‘(i · -𝐴)))
95	94	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(exp‘(-i · 𝐴))) = (ℜ‘(exp‘(i · -𝐴))))
96	91, 95	breqtrrd 5113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(exp‘(-i · 𝐴))))
97	72, 73, 74, 96	addgt0d 11725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < ((ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) + (ℜ‘(exp‘(-i · 𝐴)))))
98	12, 67	readdd 15176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) = ((ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) + (ℜ‘(exp‘(-i · 𝐴)))))
99	97, 98	breqtrrd 5113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))
100	62, 69, 71, 99	mulgt0d 11301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < ((1 / 2) · (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
101		cosval 16090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
102	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
103		2ne0 12285	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≠ 0
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 2 ≠ 0)
105	68, 23, 104	divrec2d 11935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = ((1 / 2) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))
106	102, 105	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) = ((1 / 2) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))
107	106	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(cos‘𝐴)) = (ℜ‘((1 / 2) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
108		remul2 15092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (ℜ‘((1 / 2) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))) = ((1 / 2) · (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
109	61, 68, 108	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((1 / 2) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))) = ((1 / 2) · (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
110	107, 109	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(cos‘𝐴)) = ((1 / 2) · (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
111	100, 110	breqtrrd 5113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(cos‘𝐴)))
112	27, 7, 43	mvrraddd 11562	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴))) = (cos‘𝐴))
113	112	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴)))) = (ℜ‘(cos‘𝐴)))
114	111, 113	breqtrrd 5113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴)))))
115	14, 18, 60, 114	eqsqrt2d 15331	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴))) = (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2))))
116	115	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · (sin‘𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴)))) = ((i · (sin‘𝐴)) + (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2)))))
117	13, 116	eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · 𝐴)) = ((i · (sin‘𝐴)) + (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2)))))
118	117	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘(exp‘(i · 𝐴))) = (log‘((i · (sin‘𝐴)) + (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2))))))
119		pire 26421	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
120	119	renegcli 11455	. . . . . . . . 9 ⊢ -π ∈ ℝ
121	120	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -π ∈ ℝ)
122	80	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -(π / 2) ∈ ℝ)
123		elioore 13328	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
124	123	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
125		pirp 26425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ+
126		rphalflt 12973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
127	125, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) < π
128	79, 119	ltnegi 11694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 2) < π ↔ -π < -(π / 2))
129	127, 128	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ -π < -(π / 2)
130	129	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -π < -(π / 2))
131		eliooord 13358	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (-(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
132	131	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
133	132	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -(π / 2) < (ℜ‘𝐴))
134	121, 122, 124, 130, 133	lttrd 11307	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -π < (ℜ‘𝐴))
135		imre 15070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))))
136	10, 135	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))))
137	5, 5	mulneg1i 11596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-i · i) = -(i · i)
138		ixi 11779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · i) = -1
139	138	negeqi 11386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(i · i) = --1
140	15	negnegi 11464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ --1 = 1
141	137, 139, 140	3eqtri 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-i · i) = 1
142	141	oveq1i 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
143	63	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -i ∈ ℂ)
144	5	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → i ∈ ℂ)
145	143, 144, 8	mulassd 11168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
146		mullid 11143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
147	146	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
148	142, 145, 147	3eqtr3a 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
149	148	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
150	136, 149	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
151	134, 150	breqtrrd 5113	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -π < (ℑ‘(i · 𝐴)))
152	119	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → π ∈ ℝ)
153	79	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (π / 2) ∈ ℝ)
154	132	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) < (π / 2))
155	127	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (π / 2) < π)
156	124, 153, 152, 154, 155	lttrd 11307	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) < π)
157	124, 152, 156	ltled 11294	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ≤ π)
158	150, 157	eqbrtrd 5107	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(i · 𝐴)) ≤ π)
159		ellogrn 26523	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ran log ↔ ((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(i · 𝐴)) ∧ (ℑ‘(i · 𝐴)) ≤ π))
160	10, 151, 158, 159	syl3anbrc 1345	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · 𝐴) ∈ ran log)
161		logef 26545	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ran log → (log‘(exp‘(i · 𝐴))) = (i · 𝐴))
162	160, 161	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘(exp‘(i · 𝐴))) = (i · 𝐴))
163	118, 162	eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘((i · (sin‘𝐴)) + (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2))))) = (i · 𝐴))
164	163	oveq2d 7383	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-i · (log‘((i · (sin‘𝐴)) + (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2)))))) = (-i · (i · 𝐴)))
165	4, 164, 148	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ran crn 5632  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  -cneg 11378   / cdiv 11807  2c2 12236  ℝ⁺crp 12942  (,)cioo 13298  ↑cexp 14023  ℜcre 15059  ℑcim 15060  √csqrt 15195  expce 16026  sincsin 16028  cosccos 16029  πcpi 16031  logclog 26518  arcsincasin 26826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834  df-log 26520  df-asin 26829

This theorem is referenced by:  acoscos  26857  reasinsin  26860  asinsinb  26861