Theorem asinsin 26858

Description: The arcsine function composed with sin is equal to the identity. This plus sinasin 26855 allow to view sin and arcsin as inverse operations to each other. For ease of use, we have not defined precisely the correct domain of correctness of this identity; in addition to the main region described here it is also true for some points on the branch cuts, namely when 𝐴 = (π / 2) − i𝑦 for nonnegative real 𝑦 and also symmetrically at 𝐴 = i𝑦 − (π / 2). In particular, when restricted to reals this identity extends to the closed interval [-(π / 2), (π / 2)], not just the open interval (see reasinsin 26862). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinsin	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem asinsin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincl 16051	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
3		asinval 26848	. . 3 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = (-i · (log‘((i · (sin‘𝐴)) + (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2)))))))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = (-i · (log‘((i · (sin‘𝐴)) + (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2)))))))
5		ax-icn 11085	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
6		mulcl 11110	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
7	5, 2, 6	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
8		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		mulcl 11110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10	5, 8, 9	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11		efcl 16005	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	7, 12	pncan3d 11495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · (sin‘𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴)))) = (exp‘(i · 𝐴)))
14	12, 7	subcld 11492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
15		ax-1cn 11084	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
16	2	sqcld 14067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
17		subcl 11379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (1 − ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
18	15, 16, 17	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 − ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
19		binom2sub 14143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴)))↑2) = ((((exp‘(i · 𝐴))↑2) − (2 · ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))))) + ((i · (sin‘𝐴))↑2)))
20	12, 7, 19	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴)))↑2) = ((((exp‘(i · 𝐴))↑2) − (2 · ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))))) + ((i · (sin‘𝐴))↑2)))
21	12	sqvald 14066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴))↑2) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))))
22		2cn 12220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 2 ∈ ℂ)
24	23, 12, 7	mul12d 11342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴)))) = ((exp‘(i · 𝐴)) · (2 · (i · (sin‘𝐴)))))
25	21, 24	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴))↑2) − (2 · ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (2 · (i · (sin‘𝐴))))))
26		coscl 16052	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
28		subsq 14133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ) → (((cos‘𝐴)↑2) − ((i · (sin‘𝐴))↑2)) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴)))))
29	27, 7, 28	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴)↑2) − ((i · (sin‘𝐴))↑2)) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴)))))
30		sqmul 14042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · (sin‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((sin‘𝐴)↑2)))
31	5, 2, 30	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · (sin‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((sin‘𝐴)↑2)))
32		i2 14125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i↑2) = -1
33	32	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i↑2) · ((sin‘𝐴)↑2)) = (-1 · ((sin‘𝐴)↑2))
34	16	mulm1d 11589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-1 · ((sin‘𝐴)↑2)) = -((sin‘𝐴)↑2))
35	33, 34	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i↑2) · ((sin‘𝐴)↑2)) = -((sin‘𝐴)↑2))
36	31, 35	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · (sin‘𝐴))↑2) = -((sin‘𝐴)↑2))
37	36	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴)↑2) − ((i · (sin‘𝐴))↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) − -((sin‘𝐴)↑2)))
38	27	sqcld 14067	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
39	38, 16	subnegd 11499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴)↑2) − -((sin‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)))
40	38, 16	addcomd 11335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
41	37, 39, 40	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴)↑2) − ((i · (sin‘𝐴))↑2)) = (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
42		efival 16077	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
44	7	2timesd 12384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (i · (sin‘𝐴))) = ((i · (sin‘𝐴)) + (i · (sin‘𝐴))))
45	43, 44	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (2 · (i · (sin‘𝐴)))) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) − ((i · (sin‘𝐴)) + (i · (sin‘𝐴)))))
46	27, 7, 7	pnpcan2d 11530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) − ((i · (sin‘𝐴)) + (i · (sin‘𝐴)))) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
47	45, 46	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (2 · (i · (sin‘𝐴)))) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
48	43, 47	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (2 · (i · (sin‘𝐴))))) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴)))))
49		mulcl 11110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ) → (2 · (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
50	22, 7, 49	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (i · (sin‘𝐴))) ∈ ℂ)
51	12, 12, 50	subdid 11593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) · ((exp‘(i · 𝐴)) − (2 · (i · (sin‘𝐴))))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (2 · (i · (sin‘𝐴))))))
52	48, 51	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) · ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴)))) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (2 · (i · (sin‘𝐴))))))
53	29, 41, 52	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (((exp‘(i · 𝐴)) · (exp‘(i · 𝐴))) − ((exp‘(i · 𝐴)) · (2 · (i · (sin‘𝐴))))))
54		sincossq 16101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
56	25, 53, 55	3eqtr2d 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴))↑2) − (2 · ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))))) = 1)
57	56, 36	oveq12d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((((exp‘(i · 𝐴))↑2) − (2 · ((exp‘(i · 𝐴)) · (i · (sin‘𝐴))))) + ((i · (sin‘𝐴))↑2)) = (1 + -((sin‘𝐴)↑2)))
58		negsub 11429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (1 + -((sin‘𝐴)↑2)) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))
59	15, 16, 58	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 + -((sin‘𝐴)↑2)) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))
60	20, 57, 59	3eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴)))↑2) = (1 − ((sin‘𝐴)↑2)))
61		halfre 12354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 / 2) ∈ ℝ)
63		negicn 11381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -i ∈ ℂ
64		mulcl 11110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
65	63, 8, 64	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
66		efcl 16005	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
68	12, 67	addcld 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
69	68	recld 15117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) ∈ ℝ)
70		halfgt0 12356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (1 / 2)
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (1 / 2))
72	12	recld 15117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) ∈ ℝ)
73	67	recld 15117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℝ)
74		asinsinlem 26857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))))
75		negcl 11380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -𝐴 ∈ ℂ)
77		reneg 15048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
78	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
79		halfpire 26429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
80	79	renegcli 11442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
81		recl 15033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
82		iooneg 13387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ -(ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)--(π / 2))))
83	80, 79, 81, 82	mp3an12i 1467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ -(ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)--(π / 2))))
84	83	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -(ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)--(π / 2)))
85	79	recni 11146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
86	85	negnegi 11451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ --(π / 2) = (π / 2)
87	86	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-(π / 2)(,)--(π / 2)) = (-(π / 2)(,)(π / 2))
88	84, 87	eleqtrdi 2846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -(ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
89	78, 88	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘-𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
90		asinsinlem 26857	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘-𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(exp‘(i · -𝐴))))
91	76, 89, 90	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(exp‘(i · -𝐴))))
92		mulneg12 11575	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
93	5, 8, 92	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
94	93	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(-i · 𝐴)) = (exp‘(i · -𝐴)))
95	94	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(exp‘(-i · 𝐴))) = (ℜ‘(exp‘(i · -𝐴))))
96	91, 95	breqtrrd 5126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(exp‘(-i · 𝐴))))
97	72, 73, 74, 96	addgt0d 11712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < ((ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) + (ℜ‘(exp‘(-i · 𝐴)))))
98	12, 67	readdd 15137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))) = ((ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) + (ℜ‘(exp‘(-i · 𝐴)))))
99	97, 98	breqtrrd 5126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))
100	62, 69, 71, 99	mulgt0d 11288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < ((1 / 2) · (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
101		cosval 16048	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
102	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
103		2ne0 12249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≠ 0
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 2 ≠ 0)
105	68, 23, 104	divrec2d 11921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = ((1 / 2) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))
106	102, 105	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) = ((1 / 2) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴)))))
107	106	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(cos‘𝐴)) = (ℜ‘((1 / 2) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
108		remul2 15053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (ℜ‘((1 / 2) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))) = ((1 / 2) · (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
109	61, 68, 108	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((1 / 2) · ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))) = ((1 / 2) · (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
110	107, 109	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(cos‘𝐴)) = ((1 / 2) · (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))))
111	100, 110	breqtrrd 5126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(cos‘𝐴)))
112	27, 7, 43	mvrraddd 11549	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴))) = (cos‘𝐴))
113	112	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴)))) = (ℜ‘(cos‘𝐴)))
114	111, 113	breqtrrd 5126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴)))))
115	14, 18, 60, 114	eqsqrt2d 15292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴))) = (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2))))
116	115	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · (sin‘𝐴)) + ((exp‘(i · 𝐴)) − (i · (sin‘𝐴)))) = ((i · (sin‘𝐴)) + (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2)))))
117	13, 116	eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · 𝐴)) = ((i · (sin‘𝐴)) + (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2)))))
118	117	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘(exp‘(i · 𝐴))) = (log‘((i · (sin‘𝐴)) + (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2))))))
119		pire 26422	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
120	119	renegcli 11442	. . . . . . . . 9 ⊢ -π ∈ ℝ
121	120	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -π ∈ ℝ)
122	80	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -(π / 2) ∈ ℝ)
123		elioore 13291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
124	123	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
125		pirp 26426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ+
126		rphalflt 12936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
127	125, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) < π
128	79, 119	ltnegi 11681	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 2) < π ↔ -π < -(π / 2))
129	127, 128	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ -π < -(π / 2)
130	129	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -π < -(π / 2))
131		eliooord 13321	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (-(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
132	131	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
133	132	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -(π / 2) < (ℜ‘𝐴))
134	121, 122, 124, 130, 133	lttrd 11294	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -π < (ℜ‘𝐴))
135		imre 15031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))))
136	10, 135	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))))
137	5, 5	mulneg1i 11583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-i · i) = -(i · i)
138		ixi 11766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · i) = -1
139	138	negeqi 11373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(i · i) = --1
140	15	negnegi 11451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ --1 = 1
141	137, 139, 140	3eqtri 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-i · i) = 1
142	141	oveq1i 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
143	63	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -i ∈ ℂ)
144	5	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → i ∈ ℂ)
145	143, 144, 8	mulassd 11155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
146		mullid 11131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
147	146	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
148	142, 145, 147	3eqtr3a 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
149	148	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
150	136, 149	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
151	134, 150	breqtrrd 5126	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -π < (ℑ‘(i · 𝐴)))
152	119	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → π ∈ ℝ)
153	79	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (π / 2) ∈ ℝ)
154	132	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) < (π / 2))
155	127	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (π / 2) < π)
156	124, 153, 152, 154, 155	lttrd 11294	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) < π)
157	124, 152, 156	ltled 11281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ≤ π)
158	150, 157	eqbrtrd 5120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(i · 𝐴)) ≤ π)
159		ellogrn 26524	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ran log ↔ ((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(i · 𝐴)) ∧ (ℑ‘(i · 𝐴)) ≤ π))
160	10, 151, 158, 159	syl3anbrc 1344	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · 𝐴) ∈ ran log)
161		logef 26546	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ran log → (log‘(exp‘(i · 𝐴))) = (i · 𝐴))
162	160, 161	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘(exp‘(i · 𝐴))) = (i · 𝐴))
163	118, 162	eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘((i · (sin‘𝐴)) + (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2))))) = (i · 𝐴))
164	163	oveq2d 7374	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-i · (log‘((i · (sin‘𝐴)) + (√‘(1 − ((sin‘𝐴)↑2)))))) = (-i · (i · 𝐴)))
165	4, 164, 148	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arcsin‘(sin‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  ran crn 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027  ici 11028   + caddc 11029   · cmul 11031   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  -cneg 11365   / cdiv 11794  2c2 12200  ℝ⁺crp 12905  (,)cioo 13261  ↑cexp 13984  ℜcre 15020  ℑcim 15021  √csqrt 15156  expce 15984  sincsin 15986  cosccos 15987  πcpi 15989  logclog 26519  arcsincasin 26828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-ef 15990  df-sin 15992  df-cos 15993  df-pi 15995  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-lp 23080  df-perf 23081  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-haus 23259  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25823  df-dv 25824  df-log 26521  df-asin 26831

This theorem is referenced by:  acoscos  26859  reasinsin  26862  asinsinb  26863