Theorem efiasin 26856

Description: The exponential of the arcsine function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
efiasin	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))

Proof of Theorem efiasin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asinval 26850	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
2	1	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘𝐴)) = (i · (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
3		ax-icn 11087	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
5		negicn 11383	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
7		mulcl 11112	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
8	3, 7	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9		ax-1cn 11086	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		sqcl 14043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
11		subcl 11381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
12	9, 10, 11	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
13	12	sqrtcld 15365	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
14	8, 13	addcld 11153	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
15		asinlem 26836	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)
16	14, 15	logcld 26537	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ)
17	4, 6, 16	mulassd 11157	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -i) · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = (i · (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
18	3, 3	mulneg2i 11586	. . . . . . 7 ⊢ (i · -i) = -(i · i)
19		ixi 11768	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
20	19	negeqi 11375	. . . . . . 7 ⊢ -(i · i) = --1
21		negneg1e1 12136	. . . . . . 7 ⊢ --1 = 1
22	18, 20, 21	3eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ (i · -i) = 1
23	22	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ ((i · -i) · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = (1 · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
24	16	mullidd 11152	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
25	23, 24	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -i) · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
26	2, 17, 25	3eqtr2d 2777	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘𝐴)) = (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
27	26	fveq2d 6838	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
28		eflog 26543	. . 3 ⊢ ((((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0) → (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
29	14, 15, 28	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
30	27, 29	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029  ici 11030   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11366  -cneg 11367  2c2 12202  ↑cexp 13986  √csqrt 15158  expce 15986  logclog 26521  arcsincasin 26830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-fi 9316  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ioo 13267  df-ioc 13268  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-cnfld 21312  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22892  df-cld 22965  df-ntr 22966  df-cls 22967  df-nei 23044  df-lp 23082  df-perf 23083  df-cn 23173  df-cnp 23174  df-haus 23261  df-tx 23508  df-hmeo 23701  df-fil 23792  df-fm 23884  df-flim 23885  df-flf 23886  df-xms 24266  df-ms 24267  df-tms 24268  df-cncf 24829  df-limc 25825  df-dv 25826  df-log 26523  df-asin 26833

This theorem is referenced by:  sinasin  26857  cosasin  26872