Theorem efiasin 26833

Description: The exponential of the arcsine function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
efiasin	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))

Proof of Theorem efiasin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asinval 26827	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
2	1	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘𝐴)) = (i · (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
3		ax-icn 11198	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
5		negicn 11492	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
7		mulcl 11223	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
8	3, 7	mpan 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9		ax-1cn 11197	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		sqcl 14115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
11		subcl 11490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
12	9, 10, 11	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
13	12	sqrtcld 15417	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
14	8, 13	addcld 11264	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
15		asinlem 26813	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)
16	14, 15	logcld 26517	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ)
17	4, 6, 16	mulassd 11268	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -i) · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = (i · (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
18	3, 3	mulneg2i 11692	. . . . . . 7 ⊢ (i · -i) = -(i · i)
19		ixi 11874	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
20	19	negeqi 11484	. . . . . . 7 ⊢ -(i · i) = --1
21		negneg1e1 12361	. . . . . . 7 ⊢ --1 = 1
22	18, 20, 21	3eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (i · -i) = 1
23	22	oveq1i 7430	. . . . 5 ⊢ ((i · -i) · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = (1 · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
24	16	mullidd 11263	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
25	23, 24	eqtrid 2780	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -i) · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
26	2, 17, 25	3eqtr2d 2774	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘𝐴)) = (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
27	26	fveq2d 6901	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
28		eflog 26523	. . 3 ⊢ ((((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0) → (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
29	14, 15, 28	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
30	27, 29	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℂcc 11137  0cc0 11139  1c1 11140  ici 11141   + caddc 11142   · cmul 11144   − cmin 11475  -cneg 11476  2c2 12298  ↑cexp 14059  √csqrt 15213  expce 16038  logclog 26501  arcsincasin 26807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-ef 16044  df-sin 16046  df-cos 16047  df-pi 16049  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-log 26503  df-asin 26810

This theorem is referenced by:  sinasin  26834  cosasin  26849