Theorem efiasin 27228

Description: The exponential of the arcsine function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
efiasin	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))

Proof of Theorem efiasin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asinval 27222	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) = ( -i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
2	1	oveq2d 7443	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘𝐴)) = (i · ( -i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
3		ax-icn 11269	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
5		negicn 11568	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
7		mulcl 11294	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
8	3, 7	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9		ax-1cn 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		sqcl 14271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
11		subcl 11566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
12	9, 10, 11	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
13	12	sqrtcld 15619	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
14	8, 13	addcld 11338	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
15		asinlem 27208	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)
16	14, 15	logcld 26910	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) ∈ ℂ)
17	4, 6, 16	mulassd 11342	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -i) · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = (i · ( -i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))))
18	3, 3	mulneg2i 11773	. . . . . . 7 ⊢ (i · -i) = -(i · i)
19		ixi 11955	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
20	19	negeqi 11560	. . . . . . 7 ⊢ -(i · i) = - -1
21		negneg1e1 12319	. . . . . . 7 ⊢ - -1 = 1
22	18, 20, 21	3eqtri 2790	. . . . . 6 ⊢ (i · -i) = 1
23	22	oveq1i 7437	. . . . 5 ⊢ ((i · -i) · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = (1 · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
24	16	mullidd 11337	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
25	23, 24	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -i) · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
26	2, 17, 25	3eqtr2d 2804	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘𝐴)) = (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
27	26	fveq2d 6897	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
28		eflog 26916	. . 3 ⊢ ((((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0) → (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
29	14, 15, 28	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
30	27, 29	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ℂcc 11208  0cc0 11210  1c1 11211  ici 11212   + caddc 11213   · cmul 11215   − cmin 11551   -cneg 11552  2c2 12407  ↑cexp 14214  √csqrt 15412  expce 16239  logclog 26894  arcsincasin 27202

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-inf2 9652  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288  ax-addf 11289

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8728  df-map 8860  df-pm 8861  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-fi 9413  df-sup 9444  df-inf 9445  df-oi 9514  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-q 13086  df-rp 13131  df-xneg 13251  df-xadd 13252  df-xmul 13253  df-ioo 13490  df-ioc 13491  df-ico 13492  df-icc 13493  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-fl 13942  df-mod 14020  df-seq 14155  df-exp 14215  df-fac 14428  df-bc 14457  df-hash 14485  df-shft 15232  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-limsup 15650  df-clim 15667  df-rlim 15668  df-sum 15866  df-ef 16245  df-sin 16247  df-cos 16248  df-pi 16250  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-starv 17455  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-unif 17463  df-hom 17464  df-cco 17465  df-rest 17605  df-topn 17606  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-topgen 17626  df-pt 17627  df-prds 17630  df-xrs 17686  df-qtop 17691  df-imas 17692  df-xps 17694  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-submnd 18991  df-mulg 19290  df-cntz 19543  df-cmn 20008  df-psmet 21682  df-xmet 21683  df-met 21684  df-bl 21685  df-mopn 21686  df-fbas 21687  df-fg 21688  df-cnfld 21691  df-top 23224  df-topon 23241  df-topsp 23263  df-bases 23276  df-cld 23349  df-ntr 23350  df-cls 23351  df-nei 23428  df-lp 23466  df-perf 23467  df-cn 23557  df-cnp 23558  df-haus 23645  df-tx 23893  df-hmeo 24086  df-fil 24177  df-fm 24269  df-flim 24270  df-flf 24271  df-xms 24651  df-ms 24652  df-tms 24653  df-cncf 25211  df-limc 26198  df-dv 26199  df-log 26896  df-asin 27205

This theorem is used by:  sinasin  27229  cosasin  27244