MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efiasin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efiasin 26840
Description: The exponential of the arcsine function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
efiasin (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· (arcsinβ€˜π΄))) = ((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))

Proof of Theorem efiasin
StepHypRef Expression
1 asinval 26834 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (arcsinβ€˜π΄) = (-i Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))
21oveq2d 7442 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· (arcsinβ€˜π΄)) = (i Β· (-i Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))))))
3 ax-icn 11205 . . . . . 6 i ∈ β„‚
43a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ i ∈ β„‚)
5 negicn 11499 . . . . . 6 -i ∈ β„‚
65a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -i ∈ β„‚)
7 mulcl 11230 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
83, 7mpan 688 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
9 ax-1cn 11204 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„‚
10 sqcl 14122 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴↑2) ∈ β„‚)
11 subcl 11497 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ β„‚ ∧ (𝐴↑2) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (𝐴↑2)) ∈ β„‚)
129, 10, 11sylancr 585 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (1 βˆ’ (𝐴↑2)) ∈ β„‚)
1312sqrtcld 15424 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))) ∈ β„‚)
148, 13addcld 11271 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))) ∈ β„‚)
15 asinlem 26820 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))) β‰  0)
1614, 15logcld 26524 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))) ∈ β„‚)
174, 6, 16mulassd 11275 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((i Β· -i) Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) = (i Β· (-i Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))))))
183, 3mulneg2i 11699 . . . . . . 7 (i Β· -i) = -(i Β· i)
19 ixi 11881 . . . . . . . 8 (i Β· i) = -1
2019negeqi 11491 . . . . . . 7 -(i Β· i) = --1
21 negneg1e1 12368 . . . . . . 7 --1 = 1
2218, 20, 213eqtri 2760 . . . . . 6 (i Β· -i) = 1
2322oveq1i 7436 . . . . 5 ((i Β· -i) Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) = (1 Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))))
2416mullidd 11270 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (1 Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) = (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))))
2523, 24eqtrid 2780 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((i Β· -i) Β· (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) = (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))))
262, 17, 253eqtr2d 2774 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· (arcsinβ€˜π΄)) = (logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2))))))
2726fveq2d 6906 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· (arcsinβ€˜π΄))) = (expβ€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))))
28 eflog 26530 . . 3 ((((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))) ∈ β„‚ ∧ ((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))) β‰  0) β†’ (expβ€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) = ((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))
2914, 15, 28syl2anc 582 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(logβ€˜((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))) = ((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))
3027, 29eqtrd 2768 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· (arcsinβ€˜π΄))) = ((i Β· 𝐴) + (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (𝐴↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  0cc0 11146  1c1 11147  ici 11148   + caddc 11149   Β· cmul 11151   βˆ’ cmin 11482  -cneg 11483  2c2 12305  β†‘cexp 14066  βˆšcsqrt 15220  expce 16045  logclog 26508  arcsincasin 26814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-pi 16056  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-log 26510  df-asin 26817
This theorem is referenced by:  sinasin  26841  cosasin  26856
  Copyright terms: Public domain W3C validator