MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgidm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tgidm 22483
Description: The topology generator function is idempotent. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgidm (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) = (topGenβ€˜π΅))
Proof of Theorem tgidm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6905 . . . . 5 (topGenβ€˜π΅) ∈ V
2 eltg3 22465 . . . . 5 ((topGenβ€˜π΅) ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦)))
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦))
4 uniiun 5062 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑦 = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧
5 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅))
65sselda 3983 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ (topGenβ€˜π΅))
7 eltg4i 22463 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ 𝑧 = βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 = βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧))
98iuneq2dv 5022 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧))
104, 9eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧))
11 iuncom4 5006 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) = βˆͺ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧)
1210, 11eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧))
13 inss1 4229 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡
1413rgenw 3066 . . . . . . . . . . 11 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡
15 iunss 5049 . . . . . . . . . . 11 (βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡 ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡)
1614, 15mpbir 230 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡)
18 eltg3i 22464 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡) β†’ βˆͺ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) ∈ (topGenβ€˜π΅))
1917, 18sylan2 594 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) ∈ (topGenβ€˜π΅))
2012, 19eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ (topGenβ€˜π΅))
21 eleq1 2822 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆͺ 𝑦 ∈ (topGenβ€˜π΅)))
2220, 21syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅)))
2322expimpd 455 . . . . 5 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅)))
2423exlimdv 1937 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘¦(𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅)))
253, 24biimtrid 241 . . 3 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅)))
2625ssrdv 3989 . 2 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) βŠ† (topGenβ€˜π΅))
27 bastg 22469 . . 3 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜π΅))
28 tgss 22471 . . 3 (((topGenβ€˜π΅) ∈ V ∧ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ (topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)))
291, 27, 28sylancr 588 . 2 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)))
3026, 29eqssd 4000 1 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) = (topGenβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998  β€˜cfv 6544  topGenctg 17383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-topgen 17389
This theorem is referenced by:  tgss3  22489  txbasval  23110
  Copyright terms: Public domain W3C validator