Theorem tgidm 22867

Description: The topology generator function is idempotent. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgidm	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (topGen‘(topGen‘𝐵)) = (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem tgidm

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6871	. . . . 5 ⊢ (topGen‘𝐵) ∈ V
2		eltg3 22849	. . . . 5 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ V → (𝑥 ∈ (topGen‘(topGen‘𝐵)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (topGen‘(topGen‘𝐵)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦))
4		uniiun 5022	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑦 = ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧
5		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵))
6	5	sselda 3946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ (topGen‘𝐵))
7		eltg4i 22847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝑧 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
9	8	iuneq2dv 4980	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 = ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
10	4, 9	eqtrid 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ∪ 𝑦 = ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
11		iuncom4 4964	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) = ∪ ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧)
12	10, 11	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ∪ 𝑦 = ∪ ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
13		inss1 4200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵
14	13	rgenw 3048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵
15		iunss 5009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵)
16	14, 15	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵)
18		eltg3i 22848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵) → ∪ ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ∈ (topGen‘𝐵))
19	17, 18	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ∪ ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ∈ (topGen‘𝐵))
20	12, 19	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ∪ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))
21		eleq1 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∪ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)))
22	20, 21	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (𝑥 = ∪ 𝑦 → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
23	22	expimpd 453	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
24	23	exlimdv 1933	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∃𝑦(𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
25	3, 24	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘(topGen‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
26	25	ssrdv 3952	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (topGen‘(topGen‘𝐵)) ⊆ (topGen‘𝐵))
27		bastg 22853	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
28		tgss 22855	. . 3 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐵)))
29	1, 27, 28	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐵)))
30	26, 29	eqssd 3964	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (topGen‘(topGen‘𝐵)) = (topGen‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563  ∪ cuni 4871  ∪ ciun 4955  ‘cfv 6511  topGenctg 17400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-topgen 17406

This theorem is referenced by:  tgss3  22873  txbasval  23493