MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgidm 21113
Description: The topology generator function is idempotent. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgidm (𝐵𝑉 → (topGen‘(topGen‘𝐵)) = (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem tgidm
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6424 . . . . 5 (topGen‘𝐵) ∈ V
2 eltg3 21095 . . . . 5 ((topGen‘𝐵) ∈ V → (𝑥 ∈ (topGen‘(topGen‘𝐵)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑦)))
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (𝑥 ∈ (topGen‘(topGen‘𝐵)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑦))
4 uniiun 4763 . . . . . . . . . 10 𝑦 = 𝑧𝑦 𝑧
5 simpr 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵))
65sselda 3798 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 ∈ (topGen‘𝐵))
7 eltg4i 21093 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝑧 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
98iuneq2dv 4732 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑧𝑦 𝑧 = 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
104, 9syl5eq 2845 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑦 = 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
11 iuncom4 4718 . . . . . . . . 9 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) = 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧)
1210, 11syl6eq 2849 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑦 = 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
13 inss1 4028 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵
1413rgenw 3105 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵
15 iunss 4751 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵)
1614, 15mpbir 223 . . . . . . . . . 10 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) → 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵)
18 eltg3i 21094 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑉 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵) → 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ∈ (topGen‘𝐵))
1917, 18sylan2 587 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ∈ (topGen‘𝐵))
2012, 19eqeltrd 2878 . . . . . . 7 ((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))
21 eleq1 2866 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)))
2220, 21syl5ibrcom 239 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (𝑥 = 𝑦𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
2322expimpd 446 . . . . 5 (𝐵𝑉 → ((𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
2423exlimdv 2029 . . . 4 (𝐵𝑉 → (∃𝑦(𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
253, 24syl5bi 234 . . 3 (𝐵𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘(topGen‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
2625ssrdv 3804 . 2 (𝐵𝑉 → (topGen‘(topGen‘𝐵)) ⊆ (topGen‘𝐵))
27 bastg 21099 . . 3 (𝐵𝑉𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
28 tgss 21101 . . 3 (((topGen‘𝐵) ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐵)))
291, 27, 28sylancr 582 . 2 (𝐵𝑉 → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐵)))
3026, 29eqssd 3815 1 (𝐵𝑉 → (topGen‘(topGen‘𝐵)) = (topGen‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wex 1875  wcel 2157  wral 3089  Vcvv 3385  cin 3768  wss 3769  𝒫 cpw 4349   cuni 4628   ciun 4710  cfv 6101  topGenctg 16413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fv 6109  df-topgen 16419
This theorem is referenced by:  tgss3  21119  txbasval  21738
  Copyright terms: Public domain W3C validator