MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgidm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tgidm 22474
Description: The topology generator function is idempotent. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgidm (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) = (topGenβ€˜π΅))
Proof of Theorem tgidm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6901 . . . . 5 (topGenβ€˜π΅) ∈ V
2 eltg3 22456 . . . . 5 ((topGenβ€˜π΅) ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦)))
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦))
4 uniiun 5060 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑦 = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧
5 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅))
65sselda 3981 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ (topGenβ€˜π΅))
7 eltg4i 22454 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ 𝑧 = βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 = βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧))
98iuneq2dv 5020 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧))
104, 9eqtrid 2784 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧))
11 iuncom4 5004 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) = βˆͺ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧)
1210, 11eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧))
13 inss1 4227 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡
1413rgenw 3065 . . . . . . . . . . 11 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡
15 iunss 5047 . . . . . . . . . . 11 (βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡 ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡)
1614, 15mpbir 230 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡)
18 eltg3i 22455 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) βŠ† 𝐡) β†’ βˆͺ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) ∈ (topGenβ€˜π΅))
1917, 18sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ βˆͺ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐡 ∩ 𝒫 𝑧) ∈ (topGenβ€˜π΅))
2012, 19eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ (topGenβ€˜π΅))
21 eleq1 2821 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆͺ 𝑦 ∈ (topGenβ€˜π΅)))
2220, 21syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ (π‘₯ = βˆͺ 𝑦 β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅)))
2322expimpd 454 . . . . 5 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅)))
2423exlimdv 1936 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘¦(𝑦 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅)))
253, 24biimtrid 241 . . 3 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅)))
2625ssrdv 3987 . 2 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) βŠ† (topGenβ€˜π΅))
27 bastg 22460 . . 3 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜π΅))
28 tgss 22462 . . 3 (((topGenβ€˜π΅) ∈ V ∧ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ (topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)))
291, 27, 28sylancr 587 . 2 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)))
3026, 29eqssd 3998 1 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜(topGenβ€˜π΅)) = (topGenβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  βˆͺ ciun 4996  β€˜cfv 6540  topGenctg 17379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-topgen 17385
This theorem is referenced by:  tgss3  22480  txbasval  23101
  Copyright terms: Public domain W3C validator