Theorem tgidm 23299

Description: The topology generator function is idempotent. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgidm	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (topGen‘(topGen‘𝐵)) = (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem tgidm

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ (topGen‘𝐵) ∈ V
2		eltg3 23281	. . . . 5 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ V → (𝑥 ∈ (topGen‘(topGen‘𝐵)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (topGen‘(topGen‘𝐵)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦))
4		uniiun 5016	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑦 = ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧
5		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵))
6	5	sselda 3908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ (topGen‘𝐵))
7		eltg4i 23279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝑧 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
9	8	iuneq2dv 4975	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 = ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
10	4, 9	eqtrid 2807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ∪ 𝑦 = ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
11		iuncom4 4959	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) = ∪ ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧)
12	10, 11	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ∪ 𝑦 = ∪ ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
13		inss1 4133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵
14	13	rgenw 3080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵
15		iunss 5002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵)
16	14, 15	mpbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵)
18		eltg3i 23280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵) → ∪ ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ∈ (topGen‘𝐵))
19	17, 18	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ∪ ∪ 𝑧 ∈ 𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ∈ (topGen‘𝐵))
20	12, 19	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ∪ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))
21		eleq1 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑦 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∪ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)))
22	20, 21	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (𝑥 = ∪ 𝑦 → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
23	22	expimpd 459	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
24	23	exlimdv 1965	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∃𝑦(𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
25	3, 24	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘(topGen‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
26	25	ssrdv 3914	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (topGen‘(topGen‘𝐵)) ⊆ (topGen‘𝐵))
27		bastg 23285	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
28		tgss 23287	. . 3 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐵)))
29	1, 27, 28	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐵)))
30	26, 29	eqssd 3925	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (topGen‘(topGen‘𝐵)) = (topGen‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866  ∪ ciun 4950  ‘cfv 6538  topGenctg 17609

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-topgen 17615

This theorem is used by:  tgss3  23305  txbasval  23926