MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgidm 21518
Description: The topology generator function is idempotent. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgidm (𝐵𝑉 → (topGen‘(topGen‘𝐵)) = (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem tgidm
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6677 . . . . 5 (topGen‘𝐵) ∈ V
2 eltg3 21500 . . . . 5 ((topGen‘𝐵) ∈ V → (𝑥 ∈ (topGen‘(topGen‘𝐵)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑦)))
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (𝑥 ∈ (topGen‘(topGen‘𝐵)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑦))
4 uniiun 4974 . . . . . . . . . 10 𝑦 = 𝑧𝑦 𝑧
5 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵))
65sselda 3966 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 ∈ (topGen‘𝐵))
7 eltg4i 21498 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝑧 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
98iuneq2dv 4935 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑧𝑦 𝑧 = 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
104, 9syl5eq 2868 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑦 = 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
11 iuncom4 4920 . . . . . . . . 9 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) = 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧)
1210, 11syl6eq 2872 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑦 = 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧))
13 inss1 4204 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵
1413rgenw 3150 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵
15 iunss 4961 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵)
1614, 15mpbir 232 . . . . . . . . . 10 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) → 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵)
18 eltg3i 21499 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑉 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝐵) → 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ∈ (topGen‘𝐵))
1917, 18sylan2 592 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑧𝑦 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑧) ∈ (topGen‘𝐵))
2012, 19eqeltrd 2913 . . . . . . 7 ((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))
21 eleq1 2900 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)))
2220, 21syl5ibrcom 248 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (𝑥 = 𝑦𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
2322expimpd 454 . . . . 5 (𝐵𝑉 → ((𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
2423exlimdv 1925 . . . 4 (𝐵𝑉 → (∃𝑦(𝑦 ⊆ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
253, 24syl5bi 243 . . 3 (𝐵𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘(topGen‘𝐵)) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
2625ssrdv 3972 . 2 (𝐵𝑉 → (topGen‘(topGen‘𝐵)) ⊆ (topGen‘𝐵))
27 bastg 21504 . . 3 (𝐵𝑉𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
28 tgss 21506 . . 3 (((topGen‘𝐵) ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐵)))
291, 27, 28sylancr 587 . 2 (𝐵𝑉 → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘(topGen‘𝐵)))
3026, 29eqssd 3983 1 (𝐵𝑉 → (topGen‘(topGen‘𝐵)) = (topGen‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wral 3138  Vcvv 3495  cin 3934  wss 3935  𝒫 cpw 4537   cuni 4832   ciun 4912  cfv 6349  topGenctg 16701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fv 6357  df-topgen 16707
This theorem is referenced by:  tgss3  21524  txbasval  22144
  Copyright terms: Public domain W3C validator