Theorem br1cnvxrn2 36145

Description: The converse of a binary relation over a range Cartesian product. (Contributed by Peter Mazsa, 11-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
br1cnvxrn2	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴◡(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐵 ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧

Proof of Theorem br1cnvxrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnrel 36126	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ⋉ 𝑆)
2	1	relbrcnv 5944	. 2 ⊢ (𝐴◡(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐵 ↔ 𝐵(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐴)
3		brxrn2 36128	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐴 ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))
4	2, 3	syl5bb 286	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴◡(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐵 ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  ∃wex 1786   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4522   class class class wbr 5030  ^◡ccnv 5524   ⋉ cxrn 35955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5296  ax-un 7479

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-fo 6345  df-fv 6347  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-xrn 36124

This theorem is referenced by:  elec1cnvxrn2  36146