Theorem br1cnvxrn2 38740

Description: The converse of a binary relation over a range Cartesian product. (Contributed by Peter Mazsa, 11-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
br1cnvxrn2	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴◡(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐵 ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧

Proof of Theorem br1cnvxrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnrel 38703	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ⋉ 𝑆)
2	1	relbrcnv 6073	. 2 ⊢ (𝐴◡(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐵 ↔ 𝐵(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐴)
3		brxrn2 38705	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐴 ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))
4	2, 3	bitrid 283	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴◡(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐵 ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  ^◡ccnv 5630   ⋉ cxrn 38495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fo 6505  df-fv 6507  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-xrn 38701

This theorem is referenced by:  elec1cnvxrn2  38741