Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  br1cnvxrn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem br1cnvxrn2 38377
Description: The converse of a binary relation over a range Cartesian product. (Contributed by Peter Mazsa, 11-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
br1cnvxrn2 (𝐵𝑉 → (𝐴(𝑅𝑆)𝐵 ↔ ∃𝑦𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦𝐵𝑆𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧

Proof of Theorem br1cnvxrn2
StepHypRef Expression
1 xrnrel 38354 . . 3 Rel (𝑅𝑆)
21relbrcnv 6127 . 2 (𝐴(𝑅𝑆)𝐵𝐵(𝑅𝑆)𝐴)
3 brxrn2 38356 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐵(𝑅𝑆)𝐴 ↔ ∃𝑦𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦𝐵𝑆𝑧)))
42, 3bitrid 283 1 (𝐵𝑉 → (𝐴(𝑅𝑆)𝐵 ↔ ∃𝑦𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦𝐵𝑆𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1086   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  cop 4636   class class class wbr 5147  ccnv 5687  cxrn 38160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-fo 6568  df-fv 6570  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-xrn 38352
This theorem is referenced by:  elec1cnvxrn2  38378
  Copyright terms: Public domain W3C validator