Theorem br1cnvxrn2 38360

Description: The converse of a binary relation over a range Cartesian product. (Contributed by Peter Mazsa, 11-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
br1cnvxrn2	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴◡(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐵 ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧

Proof of Theorem br1cnvxrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnrel 38337	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ⋉ 𝑆)
2	1	relbrcnv 6094	. 2 ⊢ (𝐴◡(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐵 ↔ 𝐵(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐴)
3		brxrn2 38339	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐴 ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))
4	2, 3	bitrid 283	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴◡(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐵 ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119  ^◡ccnv 5653   ⋉ cxrn 38144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-fo 6536  df-fv 6538  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-xrn 38335

This theorem is referenced by:  elec1cnvxrn2  38361