Theorem elec1cnvxrn2 39353

Description: Elementhood in the converse range Cartesian product coset of 𝐴. (Contributed by Peter Mazsa, 11-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elec1cnvxrn2	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ [𝐴]◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧

Proof of Theorem elec1cnvxrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6099	. . 3 ⊢ Rel ◡(𝑅 ⋉ 𝑆)
2		relelec 8765	. . 3 ⊢ (Rel ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) → (𝐵 ∈ [𝐴]◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ 𝐴◡(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ [𝐴]◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ 𝐴◡(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐵)
4		br1cnvxrn2 39352	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴◡(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐵 ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))
5	3, 4	bitrid 286	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ [𝐴]◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5649  Rel wrel 5655  [cec 8715   ⋉ cxrn 39107

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fo 6544  df-fv 6546  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-ec 8719  df-xrn 39313

This theorem is used by:  rnxrn  39354