Theorem elec1cnvxrn2 39543

Description: Elementhood in the converse range Cartesian product coset of 𝐴. (Contributed by Peter Mazsa, 11-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elec1cnvxrn2	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ [𝐴]◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧

Proof of Theorem elec1cnvxrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6111	. . 3 ⊢ Rel ◡(𝑅 ⋉ 𝑆)
2		relelec 8790	. . 3 ⊢ (Rel ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) → (𝐵 ∈ [𝐴]◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ 𝐴◡(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ [𝐴]◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ 𝐴◡(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐵)
4		br1cnvxrn2 39542	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴◡(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐵 ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))
5	3, 4	bitrid 286	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ [𝐴]◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  ^◡ccnv 5654  Rel wrel 5660  [cec 8740   ⋉ cxrn 39297

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-fo 6561  df-fv 6563  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-ec 8744  df-xrn 39503

This theorem is used by:  rnxrn  39544