Theorem elec1cnvxrn2 38763

Description: Elementhood in the converse range Cartesian product coset of 𝐴. (Contributed by Peter Mazsa, 11-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elec1cnvxrn2	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ [𝐴]◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧

Proof of Theorem elec1cnvxrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6067	. . 3 ⊢ Rel ◡(𝑅 ⋉ 𝑆)
2		relelec 8688	. . 3 ⊢ (Rel ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) → (𝐵 ∈ [𝐴]◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ 𝐴◡(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ [𝐴]◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ 𝐴◡(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐵)
4		br1cnvxrn2 38762	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴◡(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐵 ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))
5	3, 4	bitrid 283	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ [𝐴]◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  ^◡ccnv 5627  Rel wrel 5633  [cec 8638   ⋉ cxrn 38517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5374  ax-un 7686

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5523  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-fo 6502  df-fv 6504  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-ec 8642  df-xrn 38723

This theorem is referenced by:  rnxrn  38764