Theorem elec1cnvxrn2 37757

Description: Elementhood in the converse range Cartesian product coset of 𝐴. (Contributed by Peter Mazsa, 11-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elec1cnvxrn2	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ [𝐴]◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧

Proof of Theorem elec1cnvxrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6093	. . 3 ⊢ Rel ◡(𝑅 ⋉ 𝑆)
2		relelec 8744	. . 3 ⊢ (Rel ◡(𝑅 ⋉ 𝑆) → (𝐵 ∈ [𝐴]◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ 𝐴◡(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ [𝐴]◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ 𝐴◡(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐵)
4		br1cnvxrn2 37756	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴◡(𝑅 ⋉ 𝑆)𝐵 ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))
5	3, 4	bitrid 283	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ [𝐴]◡(𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝐴 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐵𝑅𝑦 ∧ 𝐵𝑆𝑧)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  ⟨cop 4626   class class class wbr 5138  ^◡ccnv 5665  Rel wrel 5671  [cec 8697   ⋉ cxrn 37532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fo 6539  df-fv 6541  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-ec 8701  df-xrn 37731

This theorem is referenced by:  rnxrn  37758