Theorem brafs 33684

Description: Binary relation form of the outer five segment predicate. (Contributed by Scott Fenton, 21-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
brafs.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
brafs.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
brafs.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
brafs.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
brafs.o	⊢ 𝑂 = (AFS‘𝐺)
brafs.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
brafs.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
brafs.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
brafs.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
brafs.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
brafs.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
brafs.7	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
brafs.8	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
brafs	⊢ (𝜑 → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩𝑂⟨⟨𝑋, 𝑌⟩, ⟨𝑍, 𝑊⟩⟩ ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝑋 − 𝑌) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝑌 − 𝑍)) ∧ ((𝐴 − 𝐷) = (𝑋 − 𝑊) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝑌 − 𝑊)))))

Proof of Theorem brafs

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝐼𝑐) = (𝐴𝐼𝑐))
2	1	eleq2d 2820	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ↔ 𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
3	2	anbi1d 631	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ↔ (𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
4		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 − 𝑏) = (𝐴 − 𝑏))
5	4	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝐴 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦)))
6	5	anbi1d 631	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ↔ ((𝐴 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧))))
7		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 − 𝑑) = (𝐴 − 𝑑))
8	7	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ↔ (𝐴 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤)))
9	8	anbi1d 631	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)) ↔ ((𝐴 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤))))
10	3, 6, 9	3anbi123d 1437	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤))) ↔ ((𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)))))
11		eleq1 2822	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐)))
12	11	anbi1d 631	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
13		oveq2 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 − 𝑏) = (𝐴 − 𝐵))
14	13	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑦)))
15		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 − 𝑐) = (𝐵 − 𝑐))
16	15	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝐵 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)))
17	14, 16	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ↔ ((𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧))))
18		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 − 𝑑) = (𝐵 − 𝑑))
19	18	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤) ↔ (𝐵 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)))
20	19	anbi2d 630	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)) ↔ ((𝐴 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝐵 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤))))
21	12, 17, 20	3anbi123d 1437	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝑏 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤))) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝐵 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)))))
22		oveq2 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝐴𝐼𝑐) = (𝐴𝐼𝐶))
23	22	eleq2d 2820	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
24	23	anbi1d 631	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
25		oveq2 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝐵 − 𝑐) = (𝐵 − 𝐶))
26	25	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝐵 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝐵 − 𝐶) = (𝑦 − 𝑧)))
27	26	anbi2d 630	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ↔ ((𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝑦 − 𝑧))))
28	24, 27	3anbi12d 1438	. 2 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝐵 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤))) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝐵 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)))))
29		oveq2 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝐴 − 𝑑) = (𝐴 − 𝐷))
30	29	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((𝐴 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ↔ (𝐴 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑤)))
31		oveq2 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝐵 − 𝑑) = (𝐵 − 𝐷))
32	31	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((𝐵 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤) ↔ (𝐵 − 𝐷) = (𝑦 − 𝑤)))
33	30, 32	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (((𝐴 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝐵 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)) ↔ ((𝐴 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝑦 − 𝑤))))
34	33	3anbi3d 1443	. 2 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝐵 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤))) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝑦 − 𝑤)))))
35		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑧))
36	35	eleq2d 2820	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ↔ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
37	36	anbi2d 630	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
38		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 𝑦) = (𝑋 − 𝑦))
39	38	eqeq2d 2744	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑋 − 𝑦)))
40	39	anbi1d 631	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝑦 − 𝑧)) ↔ ((𝐴 − 𝐵) = (𝑋 − 𝑦) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝑦 − 𝑧))))
41		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 𝑤) = (𝑋 − 𝑤))
42	41	eqeq2d 2744	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑤) ↔ (𝐴 − 𝐷) = (𝑋 − 𝑤)))
43	42	anbi1d 631	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐴 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝑦 − 𝑤)) ↔ ((𝐴 − 𝐷) = (𝑋 − 𝑤) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝑦 − 𝑤))))
44	37, 40, 43	3anbi123d 1437	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝐷) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝑦 − 𝑤))) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝑋 − 𝑦) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝐷) = (𝑋 − 𝑤) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝑦 − 𝑤)))))
45		eleq1 2822	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
46	45	anbi2d 630	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
47		oveq2 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 − 𝑦) = (𝑋 − 𝑌))
48	47	eqeq2d 2744	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝑋 − 𝑦) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑋 − 𝑌)))
49		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 − 𝑧) = (𝑌 − 𝑧))
50	49	eqeq2d 2744	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝐵 − 𝐶) = (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝐵 − 𝐶) = (𝑌 − 𝑧)))
51	48, 50	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝐴 − 𝐵) = (𝑋 − 𝑦) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝑦 − 𝑧)) ↔ ((𝐴 − 𝐵) = (𝑋 − 𝑌) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝑌 − 𝑧))))
52		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 − 𝑤) = (𝑌 − 𝑤))
53	52	eqeq2d 2744	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝐵 − 𝐷) = (𝑦 − 𝑤) ↔ (𝐵 − 𝐷) = (𝑌 − 𝑤)))
54	53	anbi2d 630	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝐴 − 𝐷) = (𝑋 − 𝑤) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝑦 − 𝑤)) ↔ ((𝐴 − 𝐷) = (𝑋 − 𝑤) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝑌 − 𝑤))))
55	46, 51, 54	3anbi123d 1437	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝑋 − 𝑦) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝐷) = (𝑋 − 𝑤) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝑦 − 𝑤))) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝑋 − 𝑌) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝑌 − 𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝐷) = (𝑋 − 𝑤) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝑌 − 𝑤)))))
56		oveq2 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑋𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑍))
57	56	eleq2d 2820	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
58	57	anbi2d 630	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
59		oveq2 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑌 − 𝑧) = (𝑌 − 𝑍))
60	59	eqeq2d 2744	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝐵 − 𝐶) = (𝑌 − 𝑧) ↔ (𝐵 − 𝐶) = (𝑌 − 𝑍)))
61	60	anbi2d 630	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (((𝐴 − 𝐵) = (𝑋 − 𝑌) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝑌 − 𝑧)) ↔ ((𝐴 − 𝐵) = (𝑋 − 𝑌) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝑌 − 𝑍))))
62	58, 61	3anbi12d 1438	. 2 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝑋 − 𝑌) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝑌 − 𝑧)) ∧ ((𝐴 − 𝐷) = (𝑋 − 𝑤) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝑌 − 𝑤))) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝑋 − 𝑌) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝑌 − 𝑍)) ∧ ((𝐴 − 𝐷) = (𝑋 − 𝑤) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝑌 − 𝑤)))))
63		oveq2 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑋 − 𝑤) = (𝑋 − 𝑊))
64	63	eqeq2d 2744	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝐴 − 𝐷) = (𝑋 − 𝑤) ↔ (𝐴 − 𝐷) = (𝑋 − 𝑊)))
65		oveq2 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑌 − 𝑤) = (𝑌 − 𝑊))
66	65	eqeq2d 2744	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝐵 − 𝐷) = (𝑌 − 𝑤) ↔ (𝐵 − 𝐷) = (𝑌 − 𝑊)))
67	64, 66	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝐴 − 𝐷) = (𝑋 − 𝑤) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝑌 − 𝑤)) ↔ ((𝐴 − 𝐷) = (𝑋 − 𝑊) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝑌 − 𝑊))))
68	67	3anbi3d 1443	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝑋 − 𝑌) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝑌 − 𝑍)) ∧ ((𝐴 − 𝐷) = (𝑋 − 𝑤) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝑌 − 𝑤))) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝑋 − 𝑌) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝑌 − 𝑍)) ∧ ((𝐴 − 𝐷) = (𝑋 − 𝑊) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝑌 − 𝑊)))))
69		brafs.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (AFS‘𝐺)
70		brafs.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
71		brafs.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
72		brafs.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
73		brafs.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
74	70, 71, 72, 73	afsval 33683	. . 3 ⊢ (𝜑 → (AFS‘𝐺) = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤))))})
75	69, 74	eqtrid 2785	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤))))})
76		brafs.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
77		brafs.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
78		brafs.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
79		brafs.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
80		brafs.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
81		brafs.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
82		brafs.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
83		brafs.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
84	10, 21, 28, 34, 44, 55, 62, 68, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83	br8d 31839	1 ⊢ (𝜑 → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩𝑂⟨⟨𝑋, 𝑌⟩, ⟨𝑍, 𝑊⟩⟩ ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝑋 − 𝑌) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝑌 − 𝑍)) ∧ ((𝐴 − 𝐷) = (𝑋 − 𝑊) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝑌 − 𝑊)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149  {copab 5211  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  distcds 17206  TarskiGcstrkg 27678  Itvcitv 27684  AFScafs 33681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-afs 33682

This theorem is referenced by:  tg5segofs  33685