afsval - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem afsval 35286

Description: Value of the AFS relation for a given geometry structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Mar-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
brafs.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
brafs.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
brafs.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
brafs.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)

**Assertion**
Ref	Expression
afsval	⊢ (𝜑 → (AFS‘𝐺) = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤))))})

Distinct variable groups: 𝑒,𝑓,𝐺 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼 𝑒,𝑎,𝑓,𝑃,𝑏,𝑐,𝑑,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧 − ,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧 𝜑,𝑒,𝑓 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) 𝐼(𝑒, 𝑓) − (𝑒, 𝑓)

Proof of Theorem afsval Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑖 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-afs 35285	. . 3 ⊢ AFS = (𝑔 ∈ TarskiG ↦ {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(dist‘𝑔) / ℎ][(Itv‘𝑔) / 𝑖]∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 ∃𝑐 ∈ 𝑝 ∃𝑑 ∈ 𝑝 ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 ∃𝑧 ∈ 𝑝 ∃𝑤 ∈ 𝑝 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑏) = (𝑥ℎ𝑦) ∧ (𝑏ℎ𝑐) = (𝑦ℎ𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑑) = (𝑥ℎ𝑤) ∧ (𝑏ℎ𝑑) = (𝑦ℎ𝑤))))})
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → AFS = (𝑔 ∈ TarskiG ↦ {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(dist‘𝑔) / ℎ][(Itv‘𝑔) / 𝑖]∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 ∃𝑐 ∈ 𝑝 ∃𝑑 ∈ 𝑝 ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 ∃𝑧 ∈ 𝑝 ∃𝑤 ∈ 𝑝 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑏) = (𝑥ℎ𝑦) ∧ (𝑏ℎ𝑐) = (𝑦ℎ𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑑) = (𝑥ℎ𝑤) ∧ (𝑏ℎ𝑑) = (𝑦ℎ𝑤))))}))
3		brafs.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		brafs.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		brafs.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑝 = 𝑃)
7	6	eqcomd 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑃 = 𝑝)
8	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) → 𝑃 = 𝑝)
9	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑃 = 𝑝)
10	9	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → 𝑃 = 𝑝)
11	10	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) → 𝑃 = 𝑝)
12	11	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑃 = 𝑝)
13	12	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → 𝑃 = 𝑝)
14	7	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → 𝑃 = 𝑝)
15		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑖 = 𝐼)
16	15	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝑖 = 𝐼)
17	16	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐼 = 𝑖)
18	17	oveqd 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → (𝑎𝐼𝑐) = (𝑎𝑖𝑐))
19	18	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → (𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ↔ 𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐)))
20	17	oveqd 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → (𝑥𝐼𝑧) = (𝑥𝑖𝑧))
21	20	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ↔ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧)))
22	19, 21	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ↔ (𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧))))
23		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) → ℎ = − )
24	23	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) → − = ℎ)
25	24	ad8antr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → − = ℎ)
26	25	oveqd 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → (𝑎 − 𝑏) = (𝑎ℎ𝑏))
27	25	oveqd 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥ℎ𝑦))
28	26, 27	eqeq12d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑎ℎ𝑏) = (𝑥ℎ𝑦)))
29	25	oveqd 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → (𝑏 − 𝑐) = (𝑏ℎ𝑐))
30	25	oveqd 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦ℎ𝑧))
31	29, 30	eqeq12d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → ((𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑏ℎ𝑐) = (𝑦ℎ𝑧)))
32	28, 31	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → (((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ↔ ((𝑎ℎ𝑏) = (𝑥ℎ𝑦) ∧ (𝑏ℎ𝑐) = (𝑦ℎ𝑧))))
33	25	oveqd 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → (𝑎 − 𝑑) = (𝑎ℎ𝑑))
34	25	oveqd 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → (𝑥 − 𝑤) = (𝑥ℎ𝑤))
35	33, 34	eqeq12d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ↔ (𝑎ℎ𝑑) = (𝑥ℎ𝑤)))
36	25	oveqd 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → (𝑏 − 𝑑) = (𝑏ℎ𝑑))
37	25	oveqd 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → (𝑦 − 𝑤) = (𝑦ℎ𝑤))
38	36, 37	eqeq12d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → ((𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤) ↔ (𝑏ℎ𝑑) = (𝑦ℎ𝑤)))
39	35, 38	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → (((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)) ↔ ((𝑎ℎ𝑑) = (𝑥ℎ𝑤) ∧ (𝑏ℎ𝑑) = (𝑦ℎ𝑤))))
40	22, 32, 39	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → (((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤))) ↔ ((𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑏) = (𝑥ℎ𝑦) ∧ (𝑏ℎ𝑐) = (𝑦ℎ𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑑) = (𝑥ℎ𝑤) ∧ (𝑏ℎ𝑑) = (𝑦ℎ𝑤)))))
41	40	3anbi3d 1470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → ((𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)))) ↔ (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑏) = (𝑥ℎ𝑦) ∧ (𝑏ℎ𝑐) = (𝑦ℎ𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑑) = (𝑥ℎ𝑤) ∧ (𝑏ℎ𝑑) = (𝑦ℎ𝑤))))))
42	14, 41	rexeqbidva 3327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → (∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)))) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑝 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑏) = (𝑥ℎ𝑦) ∧ (𝑏ℎ𝑐) = (𝑦ℎ𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑑) = (𝑥ℎ𝑤) ∧ (𝑏ℎ𝑑) = (𝑦ℎ𝑤))))))
43	13, 42	rexeqbidva 3327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑝 ∃𝑤 ∈ 𝑝 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑏) = (𝑥ℎ𝑦) ∧ (𝑏ℎ𝑐) = (𝑦ℎ𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑑) = (𝑥ℎ𝑤) ∧ (𝑏ℎ𝑑) = (𝑦ℎ𝑤))))))
44	12, 43	rexeqbidva 3327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑝 ∃𝑧 ∈ 𝑝 ∃𝑤 ∈ 𝑝 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑏) = (𝑥ℎ𝑦) ∧ (𝑏ℎ𝑐) = (𝑦ℎ𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑑) = (𝑥ℎ𝑤) ∧ (𝑏ℎ𝑑) = (𝑦ℎ𝑤))))))
45	11, 44	rexeqbidva 3327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 ∃𝑧 ∈ 𝑝 ∃𝑤 ∈ 𝑝 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑏) = (𝑥ℎ𝑦) ∧ (𝑏ℎ𝑐) = (𝑦ℎ𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑑) = (𝑥ℎ𝑤) ∧ (𝑏ℎ𝑑) = (𝑦ℎ𝑤))))))
46	10, 45	rexeqbidva 3327	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)))) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑝 ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 ∃𝑧 ∈ 𝑝 ∃𝑤 ∈ 𝑝 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑏) = (𝑥ℎ𝑦) ∧ (𝑏ℎ𝑐) = (𝑦ℎ𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑑) = (𝑥ℎ𝑤) ∧ (𝑏ℎ𝑑) = (𝑦ℎ𝑤))))))
47	9, 46	rexeqbidva 3327	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → (∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)))) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑝 ∃𝑑 ∈ 𝑝 ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 ∃𝑧 ∈ 𝑝 ∃𝑤 ∈ 𝑝 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑏) = (𝑥ℎ𝑦) ∧ (𝑏ℎ𝑐) = (𝑦ℎ𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑑) = (𝑥ℎ𝑤) ∧ (𝑏ℎ𝑑) = (𝑦ℎ𝑤))))))
48	8, 47	rexeqbidva 3327	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) → (∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)))) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑝 ∃𝑐 ∈ 𝑝 ∃𝑑 ∈ 𝑝 ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 ∃𝑧 ∈ 𝑝 ∃𝑤 ∈ 𝑝 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑏) = (𝑥ℎ𝑦) ∧ (𝑏ℎ𝑐) = (𝑦ℎ𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑑) = (𝑥ℎ𝑤) ∧ (𝑏ℎ𝑑) = (𝑦ℎ𝑤))))))
49	7, 48	rexeqbidva 3327	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ ℎ = − ∧ 𝑖 = 𝐼) → (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 ∃𝑐 ∈ 𝑝 ∃𝑑 ∈ 𝑝 ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 ∃𝑧 ∈ 𝑝 ∃𝑤 ∈ 𝑝 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑏) = (𝑥ℎ𝑦) ∧ (𝑏ℎ𝑐) = (𝑦ℎ𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑑) = (𝑥ℎ𝑤) ∧ (𝑏ℎ𝑑) = (𝑦ℎ𝑤))))))
50	3, 4, 5, 49	sbcie3s 17320	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ([(Base‘𝑔) / 𝑝][(dist‘𝑔) / ℎ][(Itv‘𝑔) / 𝑖]∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 ∃𝑐 ∈ 𝑝 ∃𝑑 ∈ 𝑝 ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 ∃𝑧 ∈ 𝑝 ∃𝑤 ∈ 𝑝 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑏) = (𝑥ℎ𝑦) ∧ (𝑏ℎ𝑐) = (𝑦ℎ𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑑) = (𝑥ℎ𝑤) ∧ (𝑏ℎ𝑑) = (𝑦ℎ𝑤)))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤))))))
51	50	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ([(Base‘𝑔) / 𝑝][(dist‘𝑔) / ℎ][(Itv‘𝑔) / 𝑖]∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 ∃𝑐 ∈ 𝑝 ∃𝑑 ∈ 𝑝 ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 ∃𝑧 ∈ 𝑝 ∃𝑤 ∈ 𝑝 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑏) = (𝑥ℎ𝑦) ∧ (𝑏ℎ𝑐) = (𝑦ℎ𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑑) = (𝑥ℎ𝑤) ∧ (𝑏ℎ𝑑) = (𝑦ℎ𝑤)))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤))))))
52	51	opabbidv 5171	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝐺) → {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(dist‘𝑔) / ℎ][(Itv‘𝑔) / 𝑖]∃𝑎 ∈ 𝑝 ∃𝑏 ∈ 𝑝 ∃𝑐 ∈ 𝑝 ∃𝑑 ∈ 𝑝 ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 ∃𝑧 ∈ 𝑝 ∃𝑤 ∈ 𝑝 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝑖𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝑖𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑏) = (𝑥ℎ𝑦) ∧ (𝑏ℎ𝑐) = (𝑦ℎ𝑧)) ∧ ((𝑎ℎ𝑑) = (𝑥ℎ𝑤) ∧ (𝑏ℎ𝑑) = (𝑦ℎ𝑤))))} = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤))))})
53		brafs.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
54		df-xp 5657	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)) × ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃))) = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)))}
55	3	fvexi 6891	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 ∈ V
56	55, 55	xpex 7756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 × 𝑃) ∈ V
57	56, 56	xpex 7756	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)) ∈ V
58	57, 57	xpex 7756	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)) × ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃))) ∈ V
59	54, 58	eqeltrri 2858	. . . 4 ⊢ {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)))} ∈ V
60		3simpa 1166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)))) → (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩))
61	60	reximi 3101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)))) → ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩))
62	61	reximi 3101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)))) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩))
63	62	reximi 3101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩))
64	63	reximi 3101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩))
65	64	reximi 3101	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)))) → ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩))
66	65	reximi 3101	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)))) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩))
67	66	reximi 3101	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)))) → ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩))
68	67	reximi 3101	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)))) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩))
69		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩) → 𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩)
70		opelxpi 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑃 × 𝑃))
71	70	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑃 × 𝑃))
72		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩) → 𝑐 ∈ 𝑃)
73		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩) → 𝑑 ∈ 𝑃)
74		opelxpi 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) → ⟨𝑐, 𝑑⟩ ∈ (𝑃 × 𝑃))
75	72, 73, 74	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩) → ⟨𝑐, 𝑑⟩ ∈ (𝑃 × 𝑃))
76		opelxpi 5688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑃 × 𝑃) ∧ ⟨𝑐, 𝑑⟩ ∈ (𝑃 × 𝑃)) → ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)))
77	71, 75, 76	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩) → ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)))
78	69, 77	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩) → 𝑒 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)))
79		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩) → 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩)
80		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩) → 𝑥 ∈ 𝑃)
81		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩) → 𝑦 ∈ 𝑃)
82		opelxpi 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑃 × 𝑃))
83	80, 81, 82	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑃 × 𝑃))
84		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩) → 𝑧 ∈ 𝑃)
85		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩) → 𝑤 ∈ 𝑃)
86		opelxpi 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑃 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ (𝑃 × 𝑃))
87	84, 85, 86	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ (𝑃 × 𝑃))
88		opelxpi 5688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑃 × 𝑃) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∈ (𝑃 × 𝑃)) → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)))
89	83, 87, 88	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩) → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)))
90	79, 89	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩) → 𝑓 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)))
91	78, 90	anim12dan 631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩)) → (𝑒 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃))))
92	91	rexlimdva2 3166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → (∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩) → (𝑒 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)))))
93	92	rexlimdva 3164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩) → (𝑒 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)))))
94	93	rexlimdva 3164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → (∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩) → (𝑒 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)))))
95	94	rexlimdva 3164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩) → (𝑒 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)))))
96	95	rexlimdva 3164	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩) → (𝑒 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)))))
97	96	rexlimdva 3164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → (∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩) → (𝑒 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)))))
98	97	rexlimivv 3205	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩) → (𝑒 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃))))
99	68, 98	syl 18	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤)))) → (𝑒 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃))))
100	99	ssopab2i 5525	. . . 4 ⊢ {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤))))} ⊆ {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)) ∧ 𝑓 ∈ ((𝑃 × 𝑃) × (𝑃 × 𝑃)))}
101	59, 100	ssexi 5284	. . 3 ⊢ {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤))))} ∈ V
102	101	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤))))} ∈ V)
103	2, 52, 53, 102	fvmptd 6993	1 ⊢ (𝜑 → (AFS‘𝐺) = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑒 = ⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, ⟨𝑐, 𝑑⟩⟩ ∧ 𝑓 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑧, 𝑤⟩⟩ ∧ ((𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑏) = (𝑥 − 𝑦) ∧ (𝑏 − 𝑐) = (𝑦 − 𝑧)) ∧ ((𝑎 − 𝑑) = (𝑥 − 𝑤) ∧ (𝑏 − 𝑑) = (𝑦 − 𝑤))))})

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ∃wrex 3087 Vcvv 3451 [wsbc 3739 ⟨cop 4590 {copab 5167 ↦ cmpt 5186 × cxp 5649 ‘cfv 6531 (class class class)co 7412 Basecbs 17367 distcds 17417 TarskiGcstrkg 28871 Itvcitv 28877 AFScafs 35284

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7740

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-id 5546 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-iota 6487 df-fun 6533 df-fv 6539 df-ov 7415 df-afs 35285

This theorem is used by: brafs 35287

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