Theorem tg5segofs 34705

Description: Rephrase axtg5seg 28444 using the outer five segment predicate. Theorem 2.10 of [Schwabhauser] p. 28. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tg5segofs.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tg5segofs.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tg5segofs.s	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tg5segofs.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tg5segofs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tg5segofs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tg5segofs.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tg5segofs.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tg5segofs.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tg5segofs.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tg5segofs.o	⊢ 𝑂 = (AFS‘𝐺)
tg5segofs.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
tg5segofs.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑃)
tg5segofs.1	⊢ (𝜑 → ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩𝑂⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩)
tg5segofs.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tg5segofs	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = (𝐻 − 𝐼))

Proof of Theorem tg5segofs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tg5segofs.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tg5segofs.m	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tg5segofs.s	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tg5segofs.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tg5segofs.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		tg5segofs.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		tg5segofs.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		tg5segofs.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
9		tg5segofs.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
10		tg5segofs.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
11		tg5segofs.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
12		tg5segofs.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑃)
13		tg5segofs.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
14		tg5segofs.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩𝑂⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩)
15		tg5segofs.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (AFS‘𝐺)
16	1, 2, 3, 4, 15, 5, 6, 7, 11, 8, 9, 10, 12	brafs 34704	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩𝑂⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩ ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐻)) ∧ ((𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐼) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐼)))))
17	14, 16	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐻)) ∧ ((𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐼) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐼))))
18	17	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)))
19	18	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
20	18	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻))
21	17	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐻)))
22	21	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐹))
23	21	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐻))
24	17	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐼) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐼)))
25	24	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐼))
26	24	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐼))
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 19, 20, 22, 23, 25, 26	axtg5seg 28444	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = (𝐻 − 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  distcds 17280  TarskiGcstrkg 28406  Itvcitv 28412  AFScafs 34701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7408  df-trkgcb 28429  df-trkg 28432  df-afs 34702

This theorem is referenced by: (None)