Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tg5segofs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tg5segofs 34688
Description: Rephrase axtg5seg 28473 using the outer five segment predicate. Theorem 2.10 of [Schwabhauser] p. 28. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tg5segofs.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tg5segofs.m = (dist‘𝐺)
tg5segofs.s 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tg5segofs.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tg5segofs.a (𝜑𝐴𝑃)
tg5segofs.b (𝜑𝐵𝑃)
tg5segofs.c (𝜑𝐶𝑃)
tg5segofs.d (𝜑𝐷𝑃)
tg5segofs.e (𝜑𝐸𝑃)
tg5segofs.f (𝜑𝐹𝑃)
tg5segofs.o 𝑂 = (AFS‘𝐺)
tg5segofs.h (𝜑𝐻𝑃)
tg5segofs.i (𝜑𝐼𝑃)
tg5segofs.1 (𝜑 → ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩𝑂⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩)
tg5segofs.2 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
tg5segofs (𝜑 → (𝐶 𝐷) = (𝐻 𝐼))

Proof of Theorem tg5segofs
StepHypRef Expression
1 tg5segofs.p . 2 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tg5segofs.m . 2 = (dist‘𝐺)
3 tg5segofs.s . 2 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tg5segofs.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 tg5segofs.a . 2 (𝜑𝐴𝑃)
6 tg5segofs.b . 2 (𝜑𝐵𝑃)
7 tg5segofs.c . 2 (𝜑𝐶𝑃)
8 tg5segofs.e . 2 (𝜑𝐸𝑃)
9 tg5segofs.f . 2 (𝜑𝐹𝑃)
10 tg5segofs.h . 2 (𝜑𝐻𝑃)
11 tg5segofs.d . 2 (𝜑𝐷𝑃)
12 tg5segofs.i . 2 (𝜑𝐼𝑃)
13 tg5segofs.2 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
14 tg5segofs.1 . . . . 5 (𝜑 → ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩𝑂⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩)
15 tg5segofs.o . . . . . 6 𝑂 = (AFS‘𝐺)
161, 2, 3, 4, 15, 5, 6, 7, 11, 8, 9, 10, 12brafs 34687 . . . . 5 (𝜑 → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩𝑂⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩ ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)) ∧ ((𝐴 𝐵) = (𝐸 𝐹) ∧ (𝐵 𝐶) = (𝐹 𝐻)) ∧ ((𝐴 𝐷) = (𝐸 𝐼) ∧ (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐼)))))
1714, 16mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)) ∧ ((𝐴 𝐵) = (𝐸 𝐹) ∧ (𝐵 𝐶) = (𝐹 𝐻)) ∧ ((𝐴 𝐷) = (𝐸 𝐼) ∧ (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐼))))
1817simp1d 1143 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)))
1918simpld 494 . 2 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
2018simprd 495 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻))
2117simp2d 1144 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) = (𝐸 𝐹) ∧ (𝐵 𝐶) = (𝐹 𝐻)))
2221simpld 494 . 2 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝐹))
2321simprd 495 . 2 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐹 𝐻))
2417simp3d 1145 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐷) = (𝐸 𝐼) ∧ (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐼)))
2524simpld 494 . 2 (𝜑 → (𝐴 𝐷) = (𝐸 𝐼))
2624simprd 495 . 2 (𝜑 → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐼))
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 19, 20, 22, 23, 25, 26axtg5seg 28473 1 (𝜑 → (𝐶 𝐷) = (𝐻 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cop 4632   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28435  Itvcitv 28441  AFScafs 34684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-trkgcb 28458  df-trkg 28461  df-afs 34685
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator