Theorem tg5segofs 34664

Description: Rephrase axtg5seg 28392 using the outer five segment predicate. Theorem 2.10 of [Schwabhauser] p. 28. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tg5segofs.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tg5segofs.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tg5segofs.s	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tg5segofs.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tg5segofs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tg5segofs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tg5segofs.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tg5segofs.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tg5segofs.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tg5segofs.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tg5segofs.o	⊢ 𝑂 = (AFS‘𝐺)
tg5segofs.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
tg5segofs.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑃)
tg5segofs.1	⊢ (𝜑 → ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩𝑂⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩)
tg5segofs.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tg5segofs	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = (𝐻 − 𝐼))

Proof of Theorem tg5segofs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tg5segofs.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tg5segofs.m	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tg5segofs.s	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tg5segofs.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tg5segofs.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		tg5segofs.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		tg5segofs.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		tg5segofs.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
9		tg5segofs.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
10		tg5segofs.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
11		tg5segofs.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
12		tg5segofs.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑃)
13		tg5segofs.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
14		tg5segofs.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩𝑂⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩)
15		tg5segofs.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (AFS‘𝐺)
16	1, 2, 3, 4, 15, 5, 6, 7, 11, 8, 9, 10, 12	brafs 34663	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩𝑂⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩ ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐻)) ∧ ((𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐼) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐼)))))
17	14, 16	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐻)) ∧ ((𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐼) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐼))))
18	17	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)))
19	18	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
20	18	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻))
21	17	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐻)))
22	21	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐹))
23	21	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐻))
24	17	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐼) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐼)))
25	24	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐼))
26	24	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐼))
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 19, 20, 22, 23, 25, 26	axtg5seg 28392	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = (𝐻 − 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ⟨cop 4595   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  distcds 17229  TarskiGcstrkg 28354  Itvcitv 28360  AFScafs 34660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-ov 7390  df-trkgcb 28377  df-trkg 28380  df-afs 34661

This theorem is referenced by: (None)