Theorem tg5segofs 32553

Description: Rephrase axtg5seg 26730 using the outer five segment predicate. Theorem 2.10 of [Schwabhauser] p. 28. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tg5segofs.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tg5segofs.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tg5segofs.s	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tg5segofs.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tg5segofs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tg5segofs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tg5segofs.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tg5segofs.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tg5segofs.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tg5segofs.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tg5segofs.o	⊢ 𝑂 = (AFS‘𝐺)
tg5segofs.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
tg5segofs.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑃)
tg5segofs.1	⊢ (𝜑 → ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩𝑂⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩)
tg5segofs.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tg5segofs	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = (𝐻 − 𝐼))

Proof of Theorem tg5segofs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tg5segofs.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tg5segofs.m	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tg5segofs.s	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tg5segofs.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tg5segofs.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		tg5segofs.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		tg5segofs.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		tg5segofs.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
9		tg5segofs.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
10		tg5segofs.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
11		tg5segofs.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
12		tg5segofs.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑃)
13		tg5segofs.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
14		tg5segofs.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩𝑂⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩)
15		tg5segofs.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (AFS‘𝐺)
16	1, 2, 3, 4, 15, 5, 6, 7, 11, 8, 9, 10, 12	brafs 32552	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩𝑂⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩ ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐻)) ∧ ((𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐼) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐼)))))
17	14, 16	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐻)) ∧ ((𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐼) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐼))))
18	17	simp1d 1140	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)))
19	18	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
20	18	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻))
21	17	simp2d 1141	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐻)))
22	21	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐹))
23	21	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐻))
24	17	simp3d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐼) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐼)))
25	24	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐼))
26	24	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐼))
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 19, 20, 22, 23, 25, 26	axtg5seg 26730	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = (𝐻 − 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  distcds 16897  TarskiGcstrkg 26693  Itvcitv 26699  AFScafs 32549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-trkgcb 26715  df-trkg 26718  df-afs 32550

This theorem is referenced by: (None)