Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tg5segofs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tg5segofs 33983
Description: Rephrase axtg5seg 27983 using the outer five segment predicate. Theorem 2.10 of [Schwabhauser] p. 28. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tg5segofs.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
tg5segofs.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
tg5segofs.s 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tg5segofs.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
tg5segofs.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
tg5segofs.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
tg5segofs.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
tg5segofs.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
tg5segofs.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
tg5segofs.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
tg5segofs.o 𝑂 = (AFSβ€˜πΊ)
tg5segofs.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝑃)
tg5segofs.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑃)
tg5segofs.1 (πœ‘ β†’ ⟨⟨𝐴, 𝐡⟩, ⟨𝐢, π·βŸ©βŸ©π‘‚βŸ¨βŸ¨πΈ, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩)
tg5segofs.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
Assertion
Ref Expression
tg5segofs (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐷) = (𝐻 βˆ’ 𝐼))

Proof of Theorem tg5segofs
StepHypRef Expression
1 tg5segofs.p . 2 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 tg5segofs.m . 2 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 tg5segofs.s . 2 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 tg5segofs.g . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
5 tg5segofs.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
6 tg5segofs.b . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
7 tg5segofs.c . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
8 tg5segofs.e . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
9 tg5segofs.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
10 tg5segofs.h . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝑃)
11 tg5segofs.d . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
12 tg5segofs.i . 2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑃)
13 tg5segofs.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
14 tg5segofs.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨⟨𝐴, 𝐡⟩, ⟨𝐢, π·βŸ©βŸ©π‘‚βŸ¨βŸ¨πΈ, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩)
15 tg5segofs.o . . . . . 6 𝑂 = (AFSβ€˜πΊ)
161, 2, 3, 4, 15, 5, 6, 7, 11, 8, 9, 10, 12brafs 33982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (⟨⟨𝐴, 𝐡⟩, ⟨𝐢, π·βŸ©βŸ©π‘‚βŸ¨βŸ¨πΈ, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩ ↔ ((𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐸 βˆ’ 𝐹) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐹 βˆ’ 𝐻)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐷) = (𝐸 βˆ’ 𝐼) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐷) = (𝐹 βˆ’ 𝐼)))))
1714, 16mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐸 βˆ’ 𝐹) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐹 βˆ’ 𝐻)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐷) = (𝐸 βˆ’ 𝐼) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐷) = (𝐹 βˆ’ 𝐼))))
1817simp1d 1140 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)))
1918simpld 493 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
2018simprd 494 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻))
2117simp2d 1141 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐸 βˆ’ 𝐹) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐹 βˆ’ 𝐻)))
2221simpld 493 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
2321simprd 494 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐹 βˆ’ 𝐻))
2417simp3d 1142 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐷) = (𝐸 βˆ’ 𝐼) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐷) = (𝐹 βˆ’ 𝐼)))
2524simpld 493 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐷) = (𝐸 βˆ’ 𝐼))
2624simprd 494 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐷) = (𝐹 βˆ’ 𝐼))
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 19, 20, 22, 23, 25, 26axtg5seg 27983 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐷) = (𝐻 βˆ’ 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  distcds 17210  TarskiGcstrkg 27945  Itvcitv 27951  AFScafs 33979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7414  df-trkgcb 27968  df-trkg 27971  df-afs 33980
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator