Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tg5segofs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tg5segofs 33754
Description: Rephrase axtg5seg 27754 using the outer five segment predicate. Theorem 2.10 of [Schwabhauser] p. 28. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tg5segofs.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
tg5segofs.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
tg5segofs.s 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tg5segofs.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
tg5segofs.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
tg5segofs.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
tg5segofs.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
tg5segofs.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
tg5segofs.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
tg5segofs.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
tg5segofs.o 𝑂 = (AFSβ€˜πΊ)
tg5segofs.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝑃)
tg5segofs.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑃)
tg5segofs.1 (πœ‘ β†’ ⟨⟨𝐴, 𝐡⟩, ⟨𝐢, π·βŸ©βŸ©π‘‚βŸ¨βŸ¨πΈ, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩)
tg5segofs.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
Assertion
Ref Expression
tg5segofs (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐷) = (𝐻 βˆ’ 𝐼))

Proof of Theorem tg5segofs
StepHypRef Expression
1 tg5segofs.p . 2 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 tg5segofs.m . 2 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 tg5segofs.s . 2 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 tg5segofs.g . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
5 tg5segofs.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
6 tg5segofs.b . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
7 tg5segofs.c . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
8 tg5segofs.e . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
9 tg5segofs.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
10 tg5segofs.h . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝑃)
11 tg5segofs.d . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
12 tg5segofs.i . 2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑃)
13 tg5segofs.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
14 tg5segofs.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨⟨𝐴, 𝐡⟩, ⟨𝐢, π·βŸ©βŸ©π‘‚βŸ¨βŸ¨πΈ, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩)
15 tg5segofs.o . . . . . 6 𝑂 = (AFSβ€˜πΊ)
161, 2, 3, 4, 15, 5, 6, 7, 11, 8, 9, 10, 12brafs 33753 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (⟨⟨𝐴, 𝐡⟩, ⟨𝐢, π·βŸ©βŸ©π‘‚βŸ¨βŸ¨πΈ, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩ ↔ ((𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐸 βˆ’ 𝐹) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐹 βˆ’ 𝐻)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐷) = (𝐸 βˆ’ 𝐼) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐷) = (𝐹 βˆ’ 𝐼)))))
1714, 16mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐸 βˆ’ 𝐹) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐹 βˆ’ 𝐻)) ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐷) = (𝐸 βˆ’ 𝐼) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐷) = (𝐹 βˆ’ 𝐼))))
1817simp1d 1142 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)))
1918simpld 495 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
2018simprd 496 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻))
2117simp2d 1143 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐸 βˆ’ 𝐹) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐹 βˆ’ 𝐻)))
2221simpld 495 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
2321simprd 496 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐹 βˆ’ 𝐻))
2417simp3d 1144 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐷) = (𝐸 βˆ’ 𝐼) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐷) = (𝐹 βˆ’ 𝐼)))
2524simpld 495 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐷) = (𝐸 βˆ’ 𝐼))
2624simprd 496 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐷) = (𝐹 βˆ’ 𝐼))
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 19, 20, 22, 23, 25, 26axtg5seg 27754 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐷) = (𝐻 βˆ’ 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  distcds 17208  TarskiGcstrkg 27716  Itvcitv 27722  AFScafs 33750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7414  df-trkgcb 27739  df-trkg 27742  df-afs 33751
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator