Theorem tg5segofs 35128

Description: Rephrase axtg5seg 28785 using the outer five segment predicate. Theorem 2.10 of [Schwabhauser] p. 28. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tg5segofs.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tg5segofs.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tg5segofs.s	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tg5segofs.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tg5segofs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tg5segofs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tg5segofs.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tg5segofs.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tg5segofs.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tg5segofs.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tg5segofs.o	⊢ 𝑂 = (AFS‘𝐺)
tg5segofs.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
tg5segofs.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑃)
tg5segofs.1	⊢ (𝜑 → ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩𝑂⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩)
tg5segofs.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tg5segofs	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = (𝐻 − 𝐼))

Proof of Theorem tg5segofs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tg5segofs.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tg5segofs.m	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tg5segofs.s	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tg5segofs.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tg5segofs.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		tg5segofs.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		tg5segofs.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		tg5segofs.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
9		tg5segofs.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
10		tg5segofs.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
11		tg5segofs.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
12		tg5segofs.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑃)
13		tg5segofs.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
14		tg5segofs.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩𝑂⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩)
15		tg5segofs.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (AFS‘𝐺)
16	1, 2, 3, 4, 15, 5, 6, 7, 11, 8, 9, 10, 12	brafs 35127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩𝑂⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩ ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐻)) ∧ ((𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐼) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐼)))))
17	14, 16	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)) ∧ ((𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐻)) ∧ ((𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐼) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐼))))
18	17	simp1d 1160	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)))
19	18	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
20	18	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻))
21	17	simp2d 1161	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐹) ∧ (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐻)))
22	21	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐸 − 𝐹))
23	21	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐹 − 𝐻))
24	17	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐼) ∧ (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐼)))
25	24	simpld 500	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) = (𝐸 − 𝐼))
26	24	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) = (𝐹 − 𝐼))
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 19, 20, 22, 23, 25, 26	axtg5seg 28785	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = (𝐻 − 𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17291  distcds 17341  TarskiGcstrkg 28747  Itvcitv 28753  AFScafs 35124

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7422  df-trkgcb 28770  df-trkg 28773  df-afs 35125

This theorem is used by: (None)