Theorem brcofffn 45168

Description: Conditions allowing the decomposition of a binary relation. (Contributed by RP, 8-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
brcofffn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 Fn 𝑍)
brcofffn.d	⊢ (𝜑 → 𝐷:𝑌⟶𝑍)
brcofffn.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑋⟶𝑌)
brcofffn.r	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐶 ∘ (𝐷 ∘ 𝐸))𝐵)

Assertion

Ref	Expression
brcofffn	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸(𝐸‘𝐴) ∧ (𝐸‘𝐴)𝐷(𝐷‘(𝐸‘𝐴)) ∧ (𝐷‘(𝐸‘𝐴))𝐶𝐵))

Proof of Theorem brcofffn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brcofffn.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 Fn 𝑍)
2		brcofffn.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝑌⟶𝑍)
3		fnfco 6752	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 Fn 𝑍 ∧ 𝐷:𝑌⟶𝑍) → (𝐶 ∘ 𝐷) Fn 𝑌)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ 𝐷) Fn 𝑌)
5		brcofffn.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑋⟶𝑌)
6		brcofffn.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐶 ∘ (𝐷 ∘ 𝐸))𝐵)
7		coass 6270	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∘ 𝐷) ∘ 𝐸) = (𝐶 ∘ (𝐷 ∘ 𝐸))
8	7	breqi 5108	. . . . 5 ⊢ (𝐴((𝐶 ∘ 𝐷) ∘ 𝐸)𝐵 ↔ 𝐴(𝐶 ∘ (𝐷 ∘ 𝐸))𝐵)
9	6, 8	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴((𝐶 ∘ 𝐷) ∘ 𝐸)𝐵)
10	4, 5, 9	brcoffn 45167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸(𝐸‘𝐴) ∧ (𝐸‘𝐴)(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵))
11	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴𝐸(𝐸‘𝐴) ∧ (𝐸‘𝐴)(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵)) → 𝐶 Fn 𝑍)
12	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴𝐸(𝐸‘𝐴) ∧ (𝐸‘𝐴)(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵)) → 𝐷:𝑌⟶𝑍)
13		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴𝐸(𝐸‘𝐴) ∧ (𝐸‘𝐴)(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵)) → (𝐸‘𝐴)(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵)
14	11, 12, 13	brcoffn 45167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴𝐸(𝐸‘𝐴) ∧ (𝐸‘𝐴)(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵)) → ((𝐸‘𝐴)𝐷(𝐷‘(𝐸‘𝐴)) ∧ (𝐷‘(𝐸‘𝐴))𝐶𝐵))
15	14	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸(𝐸‘𝐴) ∧ (𝐸‘𝐴)(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵) → ((𝐸‘𝐴)𝐷(𝐷‘(𝐸‘𝐴)) ∧ (𝐷‘(𝐸‘𝐴))𝐶𝐵)))
16	10, 15	jcai 526	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸(𝐸‘𝐴) ∧ (𝐸‘𝐴)(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵) ∧ ((𝐸‘𝐴)𝐷(𝐷‘(𝐸‘𝐴)) ∧ (𝐷‘(𝐸‘𝐴))𝐶𝐵)))
17		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝐴𝐸(𝐸‘𝐴) ∧ (𝐸‘𝐴)(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵) ∧ ((𝐸‘𝐴)𝐷(𝐷‘(𝐸‘𝐴)) ∧ (𝐷‘(𝐸‘𝐴))𝐶𝐵)) → 𝐴𝐸(𝐸‘𝐴))
18		simprl 783	. . 3 ⊢ (((𝐴𝐸(𝐸‘𝐴) ∧ (𝐸‘𝐴)(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵) ∧ ((𝐸‘𝐴)𝐷(𝐷‘(𝐸‘𝐴)) ∧ (𝐷‘(𝐸‘𝐴))𝐶𝐵)) → (𝐸‘𝐴)𝐷(𝐷‘(𝐸‘𝐴)))
19		simprr 785	. . 3 ⊢ (((𝐴𝐸(𝐸‘𝐴) ∧ (𝐸‘𝐴)(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵) ∧ ((𝐸‘𝐴)𝐷(𝐷‘(𝐸‘𝐴)) ∧ (𝐷‘(𝐸‘𝐴))𝐶𝐵)) → (𝐷‘(𝐸‘𝐴))𝐶𝐵)
20	17, 18, 19	3jca 1146	. 2 ⊢ (((𝐴𝐸(𝐸‘𝐴) ∧ (𝐸‘𝐴)(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵) ∧ ((𝐸‘𝐴)𝐷(𝐷‘(𝐸‘𝐴)) ∧ (𝐷‘(𝐸‘𝐴))𝐶𝐵)) → (𝐴𝐸(𝐸‘𝐴) ∧ (𝐸‘𝐴)𝐷(𝐷‘(𝐸‘𝐴)) ∧ (𝐷‘(𝐸‘𝐴))𝐶𝐵))
21	16, 20	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸(𝐸‘𝐴) ∧ (𝐸‘𝐴)𝐷(𝐷‘(𝐸‘𝐴)) ∧ (𝐷‘(𝐸‘𝐴))𝐶𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   class class class wbr 5102   ∘ ccom 5655   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551

This theorem is used by:  brco3f1o  45170  neicvgmex  45254  neicvgel1  45256