Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brco2f1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brco2f1o 44022
Description: Conditions allowing the decomposition of a binary relation. (Contributed by RP, 8-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
brco2f1o.c (𝜑𝐶:𝑌1-1-onto𝑍)
brco2f1o.d (𝜑𝐷:𝑋1-1-onto𝑌)
brco2f1o.r (𝜑𝐴(𝐶𝐷)𝐵)
Assertion
Ref Expression
brco2f1o (𝜑 → ((𝐶𝐵)𝐶𝐵𝐴𝐷(𝐶𝐵)))

Proof of Theorem brco2f1o
StepHypRef Expression
1 brco2f1o.d . . . 4 (𝜑𝐷:𝑋1-1-onto𝑌)
2 f1ocnv 6861 . . . 4 (𝐷:𝑋1-1-onto𝑌𝐷:𝑌1-1-onto𝑋)
3 f1ofn 6850 . . . 4 (𝐷:𝑌1-1-onto𝑋𝐷 Fn 𝑌)
41, 2, 33syl 18 . . 3 (𝜑𝐷 Fn 𝑌)
5 brco2f1o.c . . . 4 (𝜑𝐶:𝑌1-1-onto𝑍)
6 f1ocnv 6861 . . . 4 (𝐶:𝑌1-1-onto𝑍𝐶:𝑍1-1-onto𝑌)
7 f1of 6849 . . . 4 (𝐶:𝑍1-1-onto𝑌𝐶:𝑍𝑌)
85, 6, 73syl 18 . . 3 (𝜑𝐶:𝑍𝑌)
9 brco2f1o.r . . . 4 (𝜑𝐴(𝐶𝐷)𝐵)
10 relco 6129 . . . . . 6 Rel (𝐶𝐷)
1110relbrcnv 6128 . . . . 5 (𝐵(𝐶𝐷)𝐴𝐴(𝐶𝐷)𝐵)
12 cnvco 5899 . . . . . 6 (𝐶𝐷) = (𝐷𝐶)
1312breqi 5154 . . . . 5 (𝐵(𝐶𝐷)𝐴𝐵(𝐷𝐶)𝐴)
1411, 13bitr3i 277 . . . 4 (𝐴(𝐶𝐷)𝐵𝐵(𝐷𝐶)𝐴)
159, 14sylib 218 . . 3 (𝜑𝐵(𝐷𝐶)𝐴)
164, 8, 15brcoffn 44020 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐶(𝐶𝐵) ∧ (𝐶𝐵)𝐷𝐴))
17 f1orel 6852 . . . 4 (𝐶:𝑌1-1-onto𝑍 → Rel 𝐶)
18 relbrcnvg 6126 . . . 4 (Rel 𝐶 → (𝐵𝐶(𝐶𝐵) ↔ (𝐶𝐵)𝐶𝐵))
195, 17, 183syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐶(𝐶𝐵) ↔ (𝐶𝐵)𝐶𝐵))
20 f1orel 6852 . . . 4 (𝐷:𝑋1-1-onto𝑌 → Rel 𝐷)
21 relbrcnvg 6126 . . . 4 (Rel 𝐷 → ((𝐶𝐵)𝐷𝐴𝐴𝐷(𝐶𝐵)))
221, 20, 213syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐵)𝐷𝐴𝐴𝐷(𝐶𝐵)))
2319, 22anbi12d 632 . 2 (𝜑 → ((𝐵𝐶(𝐶𝐵) ∧ (𝐶𝐵)𝐷𝐴) ↔ ((𝐶𝐵)𝐶𝐵𝐴𝐷(𝐶𝐵))))
2416, 23mpbid 232 1 (𝜑 → ((𝐶𝐵)𝐶𝐵𝐴𝐷(𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   class class class wbr 5148  ccnv 5688  ccom 5693  Rel wrel 5694   Fn wfn 6558  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator