Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brco2f1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brco2f1o 41319
Description: Conditions allowing the decomposition of a binary relation. (Contributed by RP, 8-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
brco2f1o.c (𝜑𝐶:𝑌1-1-onto𝑍)
brco2f1o.d (𝜑𝐷:𝑋1-1-onto𝑌)
brco2f1o.r (𝜑𝐴(𝐶𝐷)𝐵)
Assertion
Ref Expression
brco2f1o (𝜑 → ((𝐶𝐵)𝐶𝐵𝐴𝐷(𝐶𝐵)))

Proof of Theorem brco2f1o
StepHypRef Expression
1 brco2f1o.d . . . 4 (𝜑𝐷:𝑋1-1-onto𝑌)
2 f1ocnv 6673 . . . 4 (𝐷:𝑋1-1-onto𝑌𝐷:𝑌1-1-onto𝑋)
3 f1ofn 6662 . . . 4 (𝐷:𝑌1-1-onto𝑋𝐷 Fn 𝑌)
41, 2, 33syl 18 . . 3 (𝜑𝐷 Fn 𝑌)
5 brco2f1o.c . . . 4 (𝜑𝐶:𝑌1-1-onto𝑍)
6 f1ocnv 6673 . . . 4 (𝐶:𝑌1-1-onto𝑍𝐶:𝑍1-1-onto𝑌)
7 f1of 6661 . . . 4 (𝐶:𝑍1-1-onto𝑌𝐶:𝑍𝑌)
85, 6, 73syl 18 . . 3 (𝜑𝐶:𝑍𝑌)
9 brco2f1o.r . . . 4 (𝜑𝐴(𝐶𝐷)𝐵)
10 relco 6108 . . . . . 6 Rel (𝐶𝐷)
1110relbrcnv 5975 . . . . 5 (𝐵(𝐶𝐷)𝐴𝐴(𝐶𝐷)𝐵)
12 cnvco 5754 . . . . . 6 (𝐶𝐷) = (𝐷𝐶)
1312breqi 5059 . . . . 5 (𝐵(𝐶𝐷)𝐴𝐵(𝐷𝐶)𝐴)
1411, 13bitr3i 280 . . . 4 (𝐴(𝐶𝐷)𝐵𝐵(𝐷𝐶)𝐴)
159, 14sylib 221 . . 3 (𝜑𝐵(𝐷𝐶)𝐴)
164, 8, 15brcoffn 41317 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐶(𝐶𝐵) ∧ (𝐶𝐵)𝐷𝐴))
17 f1orel 6664 . . . 4 (𝐶:𝑌1-1-onto𝑍 → Rel 𝐶)
18 relbrcnvg 5973 . . . 4 (Rel 𝐶 → (𝐵𝐶(𝐶𝐵) ↔ (𝐶𝐵)𝐶𝐵))
195, 17, 183syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐶(𝐶𝐵) ↔ (𝐶𝐵)𝐶𝐵))
20 f1orel 6664 . . . 4 (𝐷:𝑋1-1-onto𝑌 → Rel 𝐷)
21 relbrcnvg 5973 . . . 4 (Rel 𝐷 → ((𝐶𝐵)𝐷𝐴𝐴𝐷(𝐶𝐵)))
221, 20, 213syl 18 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐵)𝐷𝐴𝐴𝐷(𝐶𝐵)))
2319, 22anbi12d 634 . 2 (𝜑 → ((𝐵𝐶(𝐶𝐵) ∧ (𝐶𝐵)𝐷𝐴) ↔ ((𝐶𝐵)𝐶𝐵𝐴𝐷(𝐶𝐵))))
2416, 23mpbid 235 1 (𝜑 → ((𝐶𝐵)𝐶𝐵𝐴𝐷(𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   class class class wbr 5053  ccnv 5550  ccom 5555  Rel wrel 5556   Fn wfn 6375  wf 6376  1-1-ontowf1o 6379  cfv 6380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator