Theorem neicvgel1 44572

Description: A subset being an element of a neighborhood of a point is equivalent to the complement of that subset not being a element of the convergent of that point. (Contributed by RP, 12-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
neicvg.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
neicvg.p	⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛 ∖ 𝑜))))))
neicvg.d	⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
neicvg.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
neicvg.g	⊢ 𝐺 = (𝐵𝑂𝒫 𝐵)
neicvg.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ (𝐷 ∘ 𝐺))
neicvg.r	⊢ (𝜑 → 𝑁𝐻𝑀)
neicvgel.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
neicvgel.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
neicvgel1	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑁‘𝑋) ↔ ¬ (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ (𝑀‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝐵,𝑛,𝑜,𝑝   𝐷,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝐷,𝑛,𝑜,𝑝   𝑖,𝐹,𝑗,𝑘,𝑙   𝑛,𝐹,𝑜,𝑝   𝑖,𝐺,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝑛,𝐺,𝑜,𝑝   𝑖,𝑀,𝑗,𝑘,𝑙   𝑛,𝑀,𝑜,𝑝   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝑛,𝑁,𝑜,𝑝   𝑆,𝑚   𝑆,𝑜   𝑋,𝑙,𝑚   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙   𝜑,𝑛,𝑜,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝑃(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑘,𝑛,𝑝,𝑙)   𝐹(𝑚)   𝐻(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑀(𝑚)   𝑂(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑋(𝑖,𝑗,𝑘,𝑛,𝑜,𝑝)

Proof of Theorem neicvgel1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neicvg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
2		neicvg.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ (𝐷 ∘ 𝐺))
3		neicvg.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁𝐻𝑀)
4	1, 2, 3	neicvgbex 44565	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
5		neicvg.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
6		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
7	6	pwexd 5309	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
8		neicvg.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
9	5, 7, 6, 8	fsovf1od 44469	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐹:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵))
10		f1ofn 6769	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵) → 𝐹 Fn (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐹 Fn (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
12		neicvg.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛 ∖ 𝑜))))))
13	12, 1, 6	dssmapf1od 44474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐷:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
14		f1of 6768	. . . . 5 ⊢ (𝐷:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐷:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)⟶(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐷:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)⟶(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
16		neicvg.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝐵𝑂𝒫 𝐵)
17	5, 6, 7, 16	fsovfd 44465	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐺:(𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵)⟶(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
18	2	breqi 5079	. . . . . 6 ⊢ (𝑁𝐻𝑀 ↔ 𝑁(𝐹 ∘ (𝐷 ∘ 𝐺))𝑀)
19	3, 18	sylib 219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁(𝐹 ∘ (𝐷 ∘ 𝐺))𝑀)
20	19	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑁(𝐹 ∘ (𝐷 ∘ 𝐺))𝑀)
21	11, 15, 17, 20	brcofffn 44484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀))
22	4, 21	mpdan 693	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀))
23		simpr2 1202	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)))
24		neicvgel.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
25	24	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
26		neicvgel.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
27	26	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
28	12, 1, 23, 25, 27	ntrclselnel1 44510	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → (𝑋 ∈ ((𝐺‘𝑁)‘𝑆) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((𝐷‘(𝐺‘𝑁))‘(𝐵 ∖ 𝑆))))
29		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐵𝑂𝐵) = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
30		simpr1 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → 𝑁𝐺(𝐺‘𝑁))
31	16	breqi 5079	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ↔ 𝑁(𝐵𝑂𝒫 𝐵)(𝐺‘𝑁))
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ↔ 𝑁(𝐵𝑂𝒫 𝐵)(𝐺‘𝑁)))
33	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → 𝐵 ∈ V)
34		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ V)
35		pwexg 5308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ V)
36		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵𝑂𝒫 𝐵) = (𝐵𝑂𝒫 𝐵)
37	5, 34, 35, 36	fsovf1od 44469	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵𝑂𝒫 𝐵):(𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
38		f1orel 6771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵𝑂𝒫 𝐵):(𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → Rel (𝐵𝑂𝒫 𝐵))
39		relbrcnvg 6058	. . . . . . 7 ⊢ (Rel (𝐵𝑂𝒫 𝐵) → ((𝐺‘𝑁)◡(𝐵𝑂𝒫 𝐵)𝑁 ↔ 𝑁(𝐵𝑂𝒫 𝐵)(𝐺‘𝑁)))
40	33, 37, 38, 39	4syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → ((𝐺‘𝑁)◡(𝐵𝑂𝒫 𝐵)𝑁 ↔ 𝑁(𝐵𝑂𝒫 𝐵)(𝐺‘𝑁)))
41	5, 34, 35, 36, 29	fsovcnvd 44467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ V → ◡(𝐵𝑂𝒫 𝐵) = (𝒫 𝐵𝑂𝐵))
42	41	breqd 5084	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((𝐺‘𝑁)◡(𝐵𝑂𝒫 𝐵)𝑁 ↔ (𝐺‘𝑁)(𝒫 𝐵𝑂𝐵)𝑁))
43	33, 42	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → ((𝐺‘𝑁)◡(𝐵𝑂𝒫 𝐵)𝑁 ↔ (𝐺‘𝑁)(𝒫 𝐵𝑂𝐵)𝑁))
44	32, 40, 43	3bitr2d 308	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ↔ (𝐺‘𝑁)(𝒫 𝐵𝑂𝐵)𝑁))
45	30, 44	mpbid 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → (𝐺‘𝑁)(𝒫 𝐵𝑂𝐵)𝑁)
46	5, 29, 45, 25, 27	ntrneiel 44534	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → (𝑋 ∈ ((𝐺‘𝑁)‘𝑆) ↔ 𝑆 ∈ (𝑁‘𝑋)))
47		simpr3 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)
48		difssd 4068	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑆) ⊆ 𝐵)
49	4, 48	sselpwd 5257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ 𝒫 𝐵)
50	49	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ 𝒫 𝐵)
51	5, 8, 47, 25, 50	ntrneiel 44534	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → (𝑋 ∈ ((𝐷‘(𝐺‘𝑁))‘(𝐵 ∖ 𝑆)) ↔ (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ (𝑀‘𝑋)))
52	51	notbid 319	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → (¬ 𝑋 ∈ ((𝐷‘(𝐺‘𝑁))‘(𝐵 ∖ 𝑆)) ↔ ¬ (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ (𝑀‘𝑋)))
53	28, 46, 52	3bitr3d 310	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → (𝑆 ∈ (𝑁‘𝑋) ↔ ¬ (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ (𝑀‘𝑋)))
54	22, 53	mpdan 693	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑁‘𝑋) ↔ ¬ (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ (𝑀‘𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3391  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880  𝒫 cpw 4530   class class class wbr 5073   ↦ cmpt 5154  ^◡ccnv 5618   ∘ ccom 5623  Rel wrel 5624   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359   ↑_m cmap 8764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-map 8766

This theorem is referenced by:  neicvgel2  44573  neicvgfv  44574