Theorem neicvgel1 45118

Description: A subset being an element of a neighborhood of a point is equivalent to the complement of that subset not being a element of the convergent of that point. (Contributed by RP, 12-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
neicvg.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
neicvg.p	⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛 ∖ 𝑜))))))
neicvg.d	⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
neicvg.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
neicvg.g	⊢ 𝐺 = (𝐵𝑂𝒫 𝐵)
neicvg.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ (𝐷 ∘ 𝐺))
neicvg.r	⊢ (𝜑 → 𝑁𝐻𝑀)
neicvgel.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
neicvgel.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
neicvgel1	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑁‘𝑋) ↔ ¬ (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ (𝑀‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝐵,𝑛,𝑜,𝑝   𝐷,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝐷,𝑛,𝑜,𝑝   𝑖,𝐹,𝑗,𝑘,𝑙   𝑛,𝐹,𝑜,𝑝   𝑖,𝐺,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝑛,𝐺,𝑜,𝑝   𝑖,𝑀,𝑗,𝑘,𝑙   𝑛,𝑀,𝑜,𝑝   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝑛,𝑁,𝑜,𝑝   𝑆,𝑚   𝑆,𝑜   𝑋,𝑙,𝑚   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙   𝜑,𝑛,𝑜,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝑃(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑜, 𝑝, 𝑙)   𝑆(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑛, 𝑝, 𝑙)   𝐹(𝑚)   𝐻(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑜, 𝑝, 𝑙)   𝑀(𝑚)   𝑂(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑜, 𝑝, 𝑙)   𝑋(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑛, 𝑜, 𝑝)

Proof of Theorem neicvgel1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neicvg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
2		neicvg.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ (𝐷 ∘ 𝐺))
3		neicvg.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁𝐻𝑀)
4	1, 2, 3	neicvgbex 45111	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
5		neicvg.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
6		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
7	6	pwexd 5341	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
8		neicvg.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
9	5, 7, 6, 8	fsovf1od 45015	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐹:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵))
10		f1ofn 6825	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵) → 𝐹 Fn (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐹 Fn (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
12		neicvg.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛 ∖ 𝑜))))))
13	12, 1, 6	dssmapf1od 45020	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐷:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
14		f1of 6824	. . . . 5 ⊢ (𝐷:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐷:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)⟶(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
15	13, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐷:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)⟶(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
16		neicvg.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝐵𝑂𝒫 𝐵)
17	5, 6, 7, 16	fsovfd 45011	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐺:(𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵)⟶(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
18	2	breqi 5109	. . . . . 6 ⊢ (𝑁𝐻𝑀 ↔ 𝑁(𝐹 ∘ (𝐷 ∘ 𝐺))𝑀)
19	3, 18	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁(𝐹 ∘ (𝐷 ∘ 𝐺))𝑀)
20	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑁(𝐹 ∘ (𝐷 ∘ 𝐺))𝑀)
21	11, 15, 17, 20	brcofffn 45030	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀))
22	4, 21	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀))
23		simpr2 1214	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)))
24		neicvgel.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
25	24	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
26		neicvgel.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
27	26	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
28	12, 1, 23, 25, 27	ntrclselnel1 45056	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → (𝑋 ∈ ((𝐺‘𝑁)‘𝑆) ↔ ¬ 𝑋 ∈ ((𝐷‘(𝐺‘𝑁))‘(𝐵 ∖ 𝑆))))
29		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐵𝑂𝐵) = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
30		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → 𝑁𝐺(𝐺‘𝑁))
31	16	breqi 5109	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ↔ 𝑁(𝐵𝑂𝒫 𝐵)(𝐺‘𝑁))
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ↔ 𝑁(𝐵𝑂𝒫 𝐵)(𝐺‘𝑁)))
33	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → 𝐵 ∈ V)
34		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ V)
35		pwexg 5340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ V)
36		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵𝑂𝒫 𝐵) = (𝐵𝑂𝒫 𝐵)
37	5, 34, 35, 36	fsovf1od 45015	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵𝑂𝒫 𝐵):(𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
38		f1orel 6827	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵𝑂𝒫 𝐵):(𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → Rel (𝐵𝑂𝒫 𝐵))
39		relbrcnvg 6101	. . . . . . 7 ⊢ (Rel (𝐵𝑂𝒫 𝐵) → ((𝐺‘𝑁)◡(𝐵𝑂𝒫 𝐵)𝑁 ↔ 𝑁(𝐵𝑂𝒫 𝐵)(𝐺‘𝑁)))
40	33, 37, 38, 39	4syl 20	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → ((𝐺‘𝑁)◡(𝐵𝑂𝒫 𝐵)𝑁 ↔ 𝑁(𝐵𝑂𝒫 𝐵)(𝐺‘𝑁)))
41	5, 34, 35, 36, 29	fsovcnvd 45013	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ V → ◡(𝐵𝑂𝒫 𝐵) = (𝒫 𝐵𝑂𝐵))
42	41	breqd 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((𝐺‘𝑁)◡(𝐵𝑂𝒫 𝐵)𝑁 ↔ (𝐺‘𝑁)(𝒫 𝐵𝑂𝐵)𝑁))
43	33, 42	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → ((𝐺‘𝑁)◡(𝐵𝑂𝒫 𝐵)𝑁 ↔ (𝐺‘𝑁)(𝒫 𝐵𝑂𝐵)𝑁))
44	32, 40, 43	3bitr2d 310	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ↔ (𝐺‘𝑁)(𝒫 𝐵𝑂𝐵)𝑁))
45	30, 44	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → (𝐺‘𝑁)(𝒫 𝐵𝑂𝐵)𝑁)
46	5, 29, 45, 25, 27	ntrneiel 45080	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → (𝑋 ∈ ((𝐺‘𝑁)‘𝑆) ↔ 𝑆 ∈ (𝑁‘𝑋)))
47		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)
48		difssd 4084	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑆) ⊆ 𝐵)
49	4, 48	sselpwd 5290	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ 𝒫 𝐵)
50	49	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ 𝒫 𝐵)
51	5, 8, 47, 25, 50	ntrneiel 45080	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → (𝑋 ∈ ((𝐷‘(𝐺‘𝑁))‘(𝐵 ∖ 𝑆)) ↔ (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ (𝑀‘𝑋)))
52	51	notbid 321	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → (¬ 𝑋 ∈ ((𝐷‘(𝐺‘𝑁))‘(𝐵 ∖ 𝑆)) ↔ ¬ (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ (𝑀‘𝑋)))
53	28, 46, 52	3bitr3d 312	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)) → (𝑆 ∈ (𝑁‘𝑋) ↔ ¬ (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ (𝑀‘𝑋)))
54	22, 53	mpdan 700	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑁‘𝑋) ↔ ¬ (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ (𝑀‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650   ∘ ccom 5655  Rel wrel 5656   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422   ↑_m cmap 8847

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-map 8849

This theorem is used by:  neicvgel2  45119  neicvgfv  45120