Theorem neicvgmex 44107

Description: If the neighborhoods and convergents functions are related, the convergents function exists. (Contributed by RP, 27-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
neicvg.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
neicvg.p	⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛 ∖ 𝑜))))))
neicvg.d	⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
neicvg.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
neicvg.g	⊢ 𝐺 = (𝐵𝑂𝒫 𝐵)
neicvg.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ (𝐷 ∘ 𝐺))
neicvg.r	⊢ (𝜑 → 𝑁𝐻𝑀)

Assertion

Ref	Expression
neicvgmex	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝐵,𝑛,𝑜,𝑝   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙   𝜑,𝑛,𝑜,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑃(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝐹(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝐻(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑀(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑁(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑂(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)

Proof of Theorem neicvgmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neicvg.o	. 2 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
2		neicvg.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
3		neicvg.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
4		neicvg.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ (𝐷 ∘ 𝐺))
5		neicvg.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁𝐻𝑀)
6	3, 4, 5	neicvgbex 44102	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
7		pwexg 5384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ V)
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
9		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
10	1, 8, 9, 2	fsovf1od 44006	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐹:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵))
11		f1ofn 6850	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵) → 𝐹 Fn (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐹 Fn (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
13		neicvg.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛 ∖ 𝑜))))))
14	13, 3, 9	dssmapf1od 44011	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐷:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
15		f1of 6849	. . . . . 6 ⊢ (𝐷:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐷:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)⟶(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐷:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)⟶(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
17		neicvg.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝐵𝑂𝒫 𝐵)
18	1, 9, 8, 17	fsovfd 44002	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐺:(𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵)⟶(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
19	4	breqi 5154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁𝐻𝑀 ↔ 𝑁(𝐹 ∘ (𝐷 ∘ 𝐺))𝑀)
20	5, 19	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁(𝐹 ∘ (𝐷 ∘ 𝐺))𝑀)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑁(𝐹 ∘ (𝐷 ∘ 𝐺))𝑀)
22	12, 16, 18, 21	brcofffn 44021	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀))
23	6, 22	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁𝐺(𝐺‘𝑁) ∧ (𝐺‘𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺‘𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀))
24	23	simp3d 1143	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐺‘𝑁))𝐹𝑀)
25	1, 2, 24	ntrneinex 44067	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5693   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  –1-1-onto→wf1o 6562  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433   ↑_m cmap 8865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867

This theorem is referenced by:  neicvgnex  44108