Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  neicvgmex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neicvgmex 39973
Description: If the neighborhoods and convergents functions are related, the convergents function exists. (Contributed by RP, 27-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
neicvg.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗𝑚 𝑖) ↦ (𝑙𝑗 ↦ {𝑚𝑖𝑙 ∈ (𝑘𝑚)})))
neicvg.p 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛𝑚 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛𝑜))))))
neicvg.d 𝐷 = (𝑃𝐵)
neicvg.f 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
neicvg.g 𝐺 = (𝐵𝑂𝒫 𝐵)
neicvg.h 𝐻 = (𝐹 ∘ (𝐷𝐺))
neicvg.r (𝜑𝑁𝐻𝑀)
Assertion
Ref Expression
neicvgmex (𝜑𝑀 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵𝑚 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝐵,𝑛,𝑜,𝑝   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙   𝜑,𝑛,𝑜,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑃(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝐹(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝐻(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑀(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑁(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)   𝑂(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑜,𝑝,𝑙)

Proof of Theorem neicvgmex
StepHypRef Expression
1 neicvg.o . 2 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗𝑚 𝑖) ↦ (𝑙𝑗 ↦ {𝑚𝑖𝑙 ∈ (𝑘𝑚)})))
2 neicvg.f . 2 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
3 neicvg.d . . . . 5 𝐷 = (𝑃𝐵)
4 neicvg.h . . . . 5 𝐻 = (𝐹 ∘ (𝐷𝐺))
5 neicvg.r . . . . 5 (𝜑𝑁𝐻𝑀)
63, 4, 5neicvgbex 39968 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
7 pwexg 5177 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ V)
87adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ V) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
9 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
101, 8, 9, 2fsovf1od 39868 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ V) → 𝐹:(𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝒫 𝐵𝑚 𝐵))
11 f1ofn 6491 . . . . . 6 (𝐹:(𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝒫 𝐵𝑚 𝐵) → 𝐹 Fn (𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵))
1210, 11syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ V) → 𝐹 Fn (𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵))
13 neicvg.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛𝑚 𝒫 𝑛) ↦ (𝑜 ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 ∖ (𝑝‘(𝑛𝑜))))))
1413, 3, 9dssmapf1od 39873 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ V) → 𝐷:(𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵))
15 f1of 6490 . . . . . 6 (𝐷:(𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵) → 𝐷:(𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵)⟶(𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵))
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ V) → 𝐷:(𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵)⟶(𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵))
17 neicvg.g . . . . . 6 𝐺 = (𝐵𝑂𝒫 𝐵)
181, 9, 8, 17fsovfd 39864 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ V) → 𝐺:(𝒫 𝒫 𝐵𝑚 𝐵)⟶(𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵))
194breqi 4974 . . . . . . 7 (𝑁𝐻𝑀𝑁(𝐹 ∘ (𝐷𝐺))𝑀)
205, 19sylib 219 . . . . . 6 (𝜑𝑁(𝐹 ∘ (𝐷𝐺))𝑀)
2120adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ V) → 𝑁(𝐹 ∘ (𝐷𝐺))𝑀)
2212, 16, 18, 21brcofffn 39887 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ V) → (𝑁𝐺(𝐺𝑁) ∧ (𝐺𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺𝑁))𝐹𝑀))
236, 22mpdan 683 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝐺(𝐺𝑁) ∧ (𝐺𝑁)𝐷(𝐷‘(𝐺𝑁)) ∧ (𝐷‘(𝐺𝑁))𝐹𝑀))
2423simp3d 1137 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐺𝑁))𝐹𝑀)
251, 2, 24ntrneinex 39933 1 (𝜑𝑀 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵𝑚 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  {crab 3111  Vcvv 3440  cdif 3862  𝒫 cpw 4459   class class class wbr 4968  cmpt 5047  ccom 5454   Fn wfn 6227  wf 6228  1-1-ontowf1o 6231  cfv 6232  (class class class)co 7023  cmpo 7025  𝑚 cmap 8263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-map 8265
This theorem is referenced by:  neicvgnex  39974
  Copyright terms: Public domain W3C validator