Theorem xrncnvepresex 38030

Description: Sufficient condition for a range Cartesian product with restricted converse epsilon to be a set. (Contributed by Peter Mazsa, 16-Dec-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
xrncnvepresex	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)

Proof of Theorem xrncnvepresex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvepresex 37956	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
2	1	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
3		xrnresex 38028	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊 ∧ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V) → (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)
4	2, 3	mpd3an3 1458	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461   E cep 5581  ^◡ccnv 5677   ↾ cres 5680   ⋉ cxrn 37798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-eprel 5582  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-fo 6555  df-fv 6557  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-xrn 37993

This theorem is referenced by:  1cossxrncnvepresex  38044  pets  38474