Theorem xrncnvepresex 37932

Description: Sufficient condition for a range Cartesian product with restricted converse epsilon to be a set. (Contributed by Peter Mazsa, 16-Dec-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 23-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
xrncnvepresex	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)

Proof of Theorem xrncnvepresex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvepresex 37858	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
2	1	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V)
3		xrnresex 37930	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊 ∧ (◡ E ↾ 𝐴) ∈ V) → (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)
4	2, 3	mpd3an3 1458	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   E cep 5576  ^◡ccnv 5672   ↾ cres 5675   ⋉ cxrn 37700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-eprel 5577  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fo 6549  df-fv 6551  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-xrn 37895

This theorem is referenced by:  1cossxrncnvepresex  37946  pets  38376