MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  catlid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem catlid 17634
Description: Left identity property of an identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catidcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
catidcl.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
catidcl.i 1 = (Idโ€˜๐ถ)
catidcl.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
catidcl.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
catlid.o ยท = (compโ€˜๐ถ)
catlid.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
catlid.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
Assertion
Ref Expression
catlid (๐œ‘ โ†’ (( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐น) = ๐น)

Proof of Theorem catlid
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7412 . . 3 (๐‘“ = ๐น โ†’ (( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = (( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐น))
2 id 22 . . 3 (๐‘“ = ๐น โ†’ ๐‘“ = ๐น)
31, 2eqeq12d 2742 . 2 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โ†” (( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐น) = ๐น))
4 oveq1 7411 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ) = (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
5 opeq1 4868 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ)
65oveq1d 7419 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ) = (โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ))
76oveqd 7421 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = (( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“))
87eqeq1d 2728 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โ†” (( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“))
94, 8raleqbidv 3336 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)(( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“))
10 simpl 482 . . . . . . . 8 ((โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“)
1110ralimi 3077 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“)
1211a1i 11 . . . . . 6 (๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“))
1312ss2rabi 4069 . . . . 5 {๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“)} โІ {๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“}
14 catidcl.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
15 catidcl.h . . . . . . 7 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
16 catlid.o . . . . . . 7 ยท = (compโ€˜๐ถ)
17 catidcl.c . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
18 catidcl.i . . . . . . 7 1 = (Idโ€˜๐ถ)
19 catlid.y . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
2014, 15, 16, 17, 18, 19cidval 17628 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ( 1 โ€˜๐‘Œ) = (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ)โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“)))
2114, 15, 16, 17, 19catideu 17626 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ!๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ)โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“))
22 riotacl2 7377 . . . . . . 7 (โˆƒ!๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ)โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“) โ†’ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ)โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“)) โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“)})
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ)โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“)) โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“)})
2420, 23eqeltrd 2827 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ( 1 โ€˜๐‘Œ) โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“)})
2513, 24sselid 3975 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ( 1 โ€˜๐‘Œ) โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“})
26 oveq1 7411 . . . . . . . 8 (๐‘” = ( 1 โ€˜๐‘Œ) โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = (( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“))
2726eqeq1d 2728 . . . . . . 7 (๐‘” = ( 1 โ€˜๐‘Œ) โ†’ ((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โ†” (( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“))
28272ralbidv 3212 . . . . . 6 (๐‘” = ( 1 โ€˜๐‘Œ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“))
2928elrab 3678 . . . . 5 (( 1 โ€˜๐‘Œ) โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“} โ†” (( 1 โ€˜๐‘Œ) โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“))
3029simprbi 496 . . . 4 (( 1 โ€˜๐‘Œ) โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“} โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“)
3125, 30syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“)
32 catidcl.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
339, 31, 32rspcdva 3607 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)(( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“)
34 catlid.f . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
353, 33, 34rspcdva 3607 1 (๐œ‘ โ†’ (( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐น) = ๐น)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โˆƒ!wreu 3368  {crab 3426  โŸจcop 4629  โ€˜cfv 6536  โ„ฉcrio 7359  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  Hom chom 17215  compcco 17216  Catccat 17615  Idccid 17616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-cat 17619  df-cid 17620
This theorem is referenced by:  oppccatid  17672  sectcan  17709  sectco  17710  sectmon  17736  monsect  17737  sectid  17740  invisoinvl  17744  subccatid  17803  fucidcl  17928  fuclid  17929  invfuc  17937  arwlid  18032  xpccatid  18150  evlfcl  18185  curf1cl  18191  curf2cl  18194  curfcl  18195  curfuncf  18201  uncfcurf  18202  hofcl  18222  yon12  18228  yon2  18229  yonedalem3b  18242  yonedainv  18244  bj-endmnd  36706  endmndlem  47890  idmon  47891
  Copyright terms: Public domain W3C validator