MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  catlid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem catlid 17668
Description: Left identity property of an identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catidcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
catidcl.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
catidcl.i 1 = (Idโ€˜๐ถ)
catidcl.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
catidcl.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
catlid.o ยท = (compโ€˜๐ถ)
catlid.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
catlid.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
Assertion
Ref Expression
catlid (๐œ‘ โ†’ (( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐น) = ๐น)

Proof of Theorem catlid
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7432 . . 3 (๐‘“ = ๐น โ†’ (( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = (( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐น))
2 id 22 . . 3 (๐‘“ = ๐น โ†’ ๐‘“ = ๐น)
31, 2eqeq12d 2743 . 2 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โ†” (( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐น) = ๐น))
4 oveq1 7431 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ) = (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
5 opeq1 4876 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ)
65oveq1d 7439 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ) = (โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ))
76oveqd 7441 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = (( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“))
87eqeq1d 2729 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โ†” (( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“))
94, 8raleqbidv 3338 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)(( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“))
10 simpl 481 . . . . . . . 8 ((โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“)
1110ralimi 3079 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“)
1211a1i 11 . . . . . 6 (๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“))
1312ss2rabi 4072 . . . . 5 {๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“)} โІ {๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“}
14 catidcl.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
15 catidcl.h . . . . . . 7 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
16 catlid.o . . . . . . 7 ยท = (compโ€˜๐ถ)
17 catidcl.c . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
18 catidcl.i . . . . . . 7 1 = (Idโ€˜๐ถ)
19 catlid.y . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
2014, 15, 16, 17, 18, 19cidval 17662 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ( 1 โ€˜๐‘Œ) = (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ)โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“)))
2114, 15, 16, 17, 19catideu 17660 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ!๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ)โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“))
22 riotacl2 7397 . . . . . . 7 (โˆƒ!๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ)โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“) โ†’ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ)โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“)) โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“)})
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ)โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“)) โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“)})
2420, 23eqeltrd 2828 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ( 1 โ€˜๐‘Œ) โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘ฅ)(๐‘“(โŸจ๐‘Œ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘”) = ๐‘“)})
2513, 24sselid 3978 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ( 1 โ€˜๐‘Œ) โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“})
26 oveq1 7431 . . . . . . . 8 (๐‘” = ( 1 โ€˜๐‘Œ) โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = (( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“))
2726eqeq1d 2729 . . . . . . 7 (๐‘” = ( 1 โ€˜๐‘Œ) โ†’ ((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โ†” (( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“))
28272ralbidv 3214 . . . . . 6 (๐‘” = ( 1 โ€˜๐‘Œ) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“))
2928elrab 3682 . . . . 5 (( 1 โ€˜๐‘Œ) โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“} โ†” (( 1 โ€˜๐‘Œ) โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“))
3029simprbi 495 . . . 4 (( 1 โ€˜๐‘Œ) โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘Œ) โˆฃ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“} โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“)
3125, 30syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘Œ)(( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“)
32 catidcl.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
339, 31, 32rspcdva 3610 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)(( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐‘“) = ๐‘“)
34 catlid.f . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
353, 33, 34rspcdva 3610 1 (๐œ‘ โ†’ (( 1 โ€˜๐‘Œ)(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘Œ)๐น) = ๐น)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3057  โˆƒ!wreu 3370  {crab 3428  โŸจcop 4636  โ€˜cfv 6551  โ„ฉcrio 7379  (class class class)co 7424  Basecbs 17185  Hom chom 17249  compcco 17250  Catccat 17649  Idccid 17650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-cat 17653  df-cid 17654
This theorem is referenced by:  oppccatid  17706  sectcan  17743  sectco  17744  sectmon  17770  monsect  17771  sectid  17774  invisoinvl  17778  subccatid  17837  fucidcl  17962  fuclid  17963  invfuc  17971  arwlid  18066  xpccatid  18184  evlfcl  18219  curf1cl  18225  curf2cl  18228  curfcl  18229  curfuncf  18235  uncfcurf  18236  hofcl  18256  yon12  18262  yon2  18263  yonedalem3b  18276  yonedainv  18278  bj-endmnd  36802  endmndlem  48072  idmon  48073
  Copyright terms: Public domain W3C validator