MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  catidd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem catidd 17624
Description: Deduce the identity arrow in a category. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catidd.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ))
catidd.h (๐œ‘ โ†’ ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ))
catidd.o (๐œ‘ โ†’ ยท = (compโ€˜๐ถ))
catidd.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
catidd.1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ))
catidd.2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ))) โ†’ ( 1 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“)
catidd.3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ) 1 ) = ๐‘“)
Assertion
Ref Expression
catidd (๐œ‘ โ†’ (Idโ€˜๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ 1 ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐‘“, 1   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘“,๐ถ,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘“,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฆ,๐‘“)   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘“)   1 (๐‘ฅ)   ๐ป(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘“)

Proof of Theorem catidd
Dummy variable ๐‘” is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 catidd.2 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ))) โ†’ ( 1 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“)
21ex 414 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)) โ†’ ( 1 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“))
3 catidd.b . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ))
43eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)))
53eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)))
6 catidd.h . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ))
76oveqd 7426 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ) = (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ))
87eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ) โ†” ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)))
94, 5, 83anbi123d 1437 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ))))
10 catidd.o . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ยท = (compโ€˜๐ถ))
1110oveqd 7426 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ))
1211oveqd 7426 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ( 1 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ( 1 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“))
1312eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (( 1 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โ†” ( 1 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“))
142, 9, 133imtr3d 293 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)) โ†’ ( 1 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“))
15143expd 1354 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โ†’ (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ) โ†’ ( 1 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“))))
1615imp41 427 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)) โ†’ ( 1 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“)
1716ralrimiva 3147 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)( 1 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“)
18 catidd.3 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ) 1 ) = ๐‘“)
1918ex 414 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ) 1 ) = ๐‘“))
206oveqd 7426 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ))
2120eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โ†” ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ)))
224, 5, 213anbi123d 1437 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ))))
2310oveqd 7426 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ) = (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ))
2423oveqd 7426 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ) 1 ) = (๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) 1 ))
2524eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ) 1 ) = ๐‘“ โ†” (๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) 1 ) = ๐‘“))
2619, 22, 253imtr3d 293 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) 1 ) = ๐‘“))
27263expd 1354 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โ†’ (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ) โ†’ (๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) 1 ) = ๐‘“))))
2827imp41 427 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) 1 ) = ๐‘“)
2928ralrimiva 3147 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) 1 ) = ๐‘“)
3017, 29jca 513 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)( 1 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) 1 ) = ๐‘“))
3130ralrimiva 3147 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)(โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)( 1 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) 1 ) = ๐‘“))
32 catidd.1 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ))
3332ex 414 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ 1 โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)))
346oveqd 7426 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ) = (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ))
3534eleq2d 2820 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ( 1 โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ) โ†” 1 โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)))
3633, 4, 353imtr3d 293 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โ†’ 1 โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)))
3736imp 408 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โ†’ 1 โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ))
38 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐ถ) = (Baseโ€˜๐ถ)
39 eqid 2733 . . . . . 6 (Hom โ€˜๐ถ) = (Hom โ€˜๐ถ)
40 eqid 2733 . . . . . 6 (compโ€˜๐ถ) = (compโ€˜๐ถ)
41 catidd.c . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
4241adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
43 simpr 486 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
4438, 39, 40, 42, 43catideu 17619 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โ†’ โˆƒ!๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)(โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))
45 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = 1 โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ( 1 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“))
4645eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (๐‘” = 1 โ†’ ((๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โ†” ( 1 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“))
4746ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (๐‘” = 1 โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)( 1 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“))
48 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = 1 โ†’ (๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘”) = (๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) 1 ))
4948eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (๐‘” = 1 โ†’ ((๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“ โ†” (๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) 1 ) = ๐‘“))
5049ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (๐‘” = 1 โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) 1 ) = ๐‘“))
5147, 50anbi12d 632 . . . . . . 7 (๐‘” = 1 โ†’ ((โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†” (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)( 1 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) 1 ) = ๐‘“)))
5251ralbidv 3178 . . . . . 6 (๐‘” = 1 โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)(โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)(โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)( 1 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) 1 ) = ๐‘“)))
5352riota2 7391 . . . . 5 (( 1 โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ) โˆง โˆƒ!๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)(โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)(โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)( 1 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) 1 ) = ๐‘“) โ†” (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)(โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)) = 1 ))
5437, 44, 53syl2anc 585 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)(โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)( 1 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) 1 ) = ๐‘“) โ†” (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)(โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)) = 1 ))
5531, 54mpbid 231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โ†’ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)(โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)) = 1 )
5655mpteq2dva 5249 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)(โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))) = (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โ†ฆ 1 ))
57 eqid 2733 . . 3 (Idโ€˜๐ถ) = (Idโ€˜๐ถ)
5838, 39, 40, 41, 57cidfval 17620 . 2 (๐œ‘ โ†’ (Idโ€˜๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)(โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(Hom โ€˜๐ถ)๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ(compโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))))
593mpteq1d 5244 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ 1 ) = (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โ†ฆ 1 ))
6056, 58, 593eqtr4d 2783 1 (๐œ‘ โ†’ (Idโ€˜๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โˆƒ!wreu 3375  โŸจcop 4635   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  โ„ฉcrio 7364  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  Hom chom 17208  compcco 17209  Catccat 17608  Idccid 17609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-cat 17612  df-cid 17613
This theorem is referenced by:  iscatd2  17625
  Copyright terms: Public domain W3C validator