MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cidfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cidfval 17663
Description: Each object in a category has an associated identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cidfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
cidfval.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
cidfval.o ยท = (compโ€˜๐ถ)
cidfval.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
cidfval.i 1 = (Idโ€˜๐ถ)
Assertion
Ref Expression
cidfval (๐œ‘ โ†’ 1 = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))))
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ต   ๐ถ,๐‘“,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ยท ,๐‘“,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘“,๐ป,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘“,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   1 (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘“,๐‘”)

Proof of Theorem cidfval
Dummy variables ๐‘ ๐‘ โ„Ž ๐‘œ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cidfval.i . 2 1 = (Idโ€˜๐ถ)
2 cidfval.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
3 fvexd 6917 . . . . 5 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (Baseโ€˜๐‘) โˆˆ V)
4 fveq2 6902 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (Baseโ€˜๐‘) = (Baseโ€˜๐ถ))
5 cidfval.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
64, 5eqtr4di 2786 . . . . 5 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (Baseโ€˜๐‘) = ๐ต)
7 fvexd 6917 . . . . . 6 ((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (Hom โ€˜๐‘) โˆˆ V)
8 simpl 481 . . . . . . . 8 ((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ ๐‘ = ๐ถ)
98fveq2d 6906 . . . . . . 7 ((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (Hom โ€˜๐‘) = (Hom โ€˜๐ถ))
10 cidfval.h . . . . . . 7 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
119, 10eqtr4di 2786 . . . . . 6 ((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ (Hom โ€˜๐‘) = ๐ป)
12 fvexd 6917 . . . . . . 7 (((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ (compโ€˜๐‘) โˆˆ V)
13 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ ๐‘ = ๐ถ)
1413fveq2d 6906 . . . . . . . 8 (((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ (compโ€˜๐‘) = (compโ€˜๐ถ))
15 cidfval.o . . . . . . . 8 ยท = (compโ€˜๐ถ)
1614, 15eqtr4di 2786 . . . . . . 7 (((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ (compโ€˜๐‘) = ยท )
17 simpllr 774 . . . . . . . 8 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ ๐‘ = ๐ต)
18 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ โ„Ž = ๐ป)
1918oveqd 7443 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฅ) = (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ))
2018oveqd 7443 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ) = (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ))
21 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ ๐‘œ = ยท )
2221oveqd 7443 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ) = (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ))
2322oveqd 7443 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“))
2423eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ ((๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โ†” (๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“))
2520, 24raleqbidv 3340 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“))
2618oveqd 7443 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ) = (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ))
2721oveqd 7443 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ) = (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ))
2827oveqd 7443 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ)๐‘”) = (๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”))
2928eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ ((๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“ โ†” (๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))
3026, 29raleqbidv 3340 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))
3125, 30anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ ((โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†” (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)))
3217, 31raleqbidv 3340 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)))
3319, 32riotaeqbidv 7385 . . . . . . . 8 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)) = (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)))
3417, 33mpteq12dv 5243 . . . . . . 7 ((((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โˆง ๐‘œ = ยท ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))))
3512, 16, 34csbied2 3934 . . . . . 6 (((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โˆง โ„Ž = ๐ป) โ†’ โฆ‹(compโ€˜๐‘) / ๐‘œโฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))))
367, 11, 35csbied2 3934 . . . . 5 ((๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘ = ๐ต) โ†’ โฆ‹(Hom โ€˜๐‘) / โ„ŽโฆŒโฆ‹(compโ€˜๐‘) / ๐‘œโฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))))
373, 6, 36csbied2 3934 . . . 4 (๐‘ = ๐ถ โ†’ โฆ‹(Baseโ€˜๐‘) / ๐‘โฆŒโฆ‹(Hom โ€˜๐‘) / โ„ŽโฆŒโฆ‹(compโ€˜๐‘) / ๐‘œโฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))))
38 df-cid 17656 . . . 4 Id = (๐‘ โˆˆ Cat โ†ฆ โฆ‹(Baseโ€˜๐‘) / ๐‘โฆŒโฆ‹(Hom โ€˜๐‘) / โ„ŽโฆŒโฆ‹(compโ€˜๐‘) / ๐‘œโฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆโ„Ž๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅโ„Ž๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ๐‘œ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))))
3937, 38, 5mptfvmpt 7246 . . 3 (๐ถ โˆˆ Cat โ†’ (Idโ€˜๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))))
402, 39syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (Idโ€˜๐ถ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))))
411, 40eqtrid 2780 1 (๐œ‘ โ†’ 1 = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฅ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฅโŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  Vcvv 3473  โฆ‹csb 3894  โŸจcop 4638   โ†ฆ cmpt 5235  โ€˜cfv 6553  โ„ฉcrio 7381  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  Hom chom 17251  compcco 17252  Catccat 17651  Idccid 17652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-cid 17656
This theorem is referenced by:  cidval  17664  cidfn  17666  catidd  17667  cidpropd  17697
  Copyright terms: Public domain W3C validator