MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  catrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem catrid 17635
Description: Right identity property of an identity arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
catidcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
catidcl.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
catidcl.i 1 = (Idโ€˜๐ถ)
catidcl.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
catidcl.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
catlid.o ยท = (compโ€˜๐ถ)
catlid.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
catlid.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
Assertion
Ref Expression
catrid (๐œ‘ โ†’ (๐น(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘Œ)( 1 โ€˜๐‘‹)) = ๐น)

Proof of Theorem catrid
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7411 . . 3 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘Œ)( 1 โ€˜๐‘‹)) = (๐น(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘Œ)( 1 โ€˜๐‘‹)))
2 id 22 . . 3 (๐‘“ = ๐น โ†’ ๐‘“ = ๐น)
31, 2eqeq12d 2742 . 2 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘Œ)( 1 โ€˜๐‘‹)) = ๐‘“ โ†” (๐น(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘Œ)( 1 โ€˜๐‘‹)) = ๐น))
4 oveq2 7412 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ) = (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
5 oveq2 7412 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ) = (โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘Œ))
65oveqd 7421 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)( 1 โ€˜๐‘‹)) = (๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘Œ)( 1 โ€˜๐‘‹)))
76eqeq1d 2728 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)( 1 โ€˜๐‘‹)) = ๐‘“ โ†” (๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘Œ)( 1 โ€˜๐‘‹)) = ๐‘“))
84, 7raleqbidv 3336 . . 3 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)( 1 โ€˜๐‘‹)) = ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘Œ)( 1 โ€˜๐‘‹)) = ๐‘“))
9 simpr 484 . . . . . . . 8 ((โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)
109ralimi 3077 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)
1110a1i 11 . . . . . 6 (๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))
1211ss2rabi 4069 . . . . 5 {๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹) โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)} โІ {๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹) โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“}
13 catidcl.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
14 catidcl.h . . . . . . 7 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
15 catlid.o . . . . . . 7 ยท = (compโ€˜๐ถ)
16 catidcl.c . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
17 catidcl.i . . . . . . 7 1 = (Idโ€˜๐ถ)
18 catidcl.x . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
1913, 14, 15, 16, 17, 18cidval 17628 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ( 1 โ€˜๐‘‹) = (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)))
2013, 14, 15, 16, 18catideu 17626 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ!๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“))
21 riotacl2 7377 . . . . . . 7 (โˆƒ!๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“) โ†’ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)) โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹) โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)})
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ„ฉ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)) โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹) โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)})
2319, 22eqeltrd 2827 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ( 1 โ€˜๐‘‹) โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹) โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘‹)(๐‘”(โŸจ๐‘ฆ, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ๐‘“ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“)})
2412, 23sselid 3975 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ( 1 โ€˜๐‘‹) โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹) โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“})
25 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (๐‘” = ( 1 โ€˜๐‘‹) โ†’ (๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = (๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)( 1 โ€˜๐‘‹)))
2625eqeq1d 2728 . . . . . . 7 (๐‘” = ( 1 โ€˜๐‘‹) โ†’ ((๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“ โ†” (๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)( 1 โ€˜๐‘‹)) = ๐‘“))
27262ralbidv 3212 . . . . . 6 (๐‘” = ( 1 โ€˜๐‘‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)( 1 โ€˜๐‘‹)) = ๐‘“))
2827elrab 3678 . . . . 5 (( 1 โ€˜๐‘‹) โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹) โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“} โ†” (( 1 โ€˜๐‘‹) โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)( 1 โ€˜๐‘‹)) = ๐‘“))
2928simprbi 496 . . . 4 (( 1 โ€˜๐‘‹) โˆˆ {๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘‹) โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)๐‘”) = ๐‘“} โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)( 1 โ€˜๐‘‹)) = ๐‘“)
3024, 29syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘ฆ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘ฆ)( 1 โ€˜๐‘‹)) = ๐‘“)
31 catlid.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
328, 30, 31rspcdva 3607 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)(๐‘“(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘Œ)( 1 โ€˜๐‘‹)) = ๐‘“)
33 catlid.f . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
343, 32, 33rspcdva 3607 1 (๐œ‘ โ†’ (๐น(โŸจ๐‘‹, ๐‘‹โŸฉ ยท ๐‘Œ)( 1 โ€˜๐‘‹)) = ๐น)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โˆƒ!wreu 3368  {crab 3426  โŸจcop 4629  โ€˜cfv 6536  โ„ฉcrio 7359  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  Hom chom 17215  compcco 17216  Catccat 17615  Idccid 17616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-cat 17619  df-cid 17620
This theorem is referenced by:  oppccatid  17672  sectcan  17709  monsect  17737  invisoinvl  17744  rcaninv  17748  subccatid  17803  fucidcl  17928  fucrid  17930  invfuc  17937  arwrid  18033  xpccatid  18150  curf2cl  18194  curfuncf  18201  uncfcurf  18202  hofcl  18222  yonedalem3b  18242  bj-endmnd  36706  endmndlem  47890  idepi  47892
  Copyright terms: Public domain W3C validator