Theorem clnbgr0vtx 48490

Description: In a null graph (with no vertices), all closed neighborhoods are empty. (Contributed by AV, 15-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
clnbgr0vtx	⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) = ∅)

Proof of Theorem clnbgr0vtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nel02 4300	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → ¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺))
2		df-nel 3071	. . 3 ⊢ (𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺) ↔ ¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺))
3	1, 2	sylibr 237	. 2 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → 𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺))
4		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5	4	clnbgrnvtx0 48481	. 2 ⊢ (𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) = ∅)
6	3, 5	syl 18	1 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∉ wnel 3070  ∅c0 4294  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Vtxcvtx 29287   ClNeighbVtx cclnbgr 48472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-clnbgr 48473

This theorem is referenced by: (None)