Theorem clnbgr0vtx 49207

Description: In a null graph (with no vertices), all closed neighborhoods are empty. (Contributed by AV, 15-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
clnbgr0vtx	⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) = ∅)

Proof of Theorem clnbgr0vtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nel02 4288	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → ¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺))
2		df-nel 3066	. . 3 ⊢ (𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺) ↔ ¬ 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺))
3	1, 2	sylibr 237	. 2 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → 𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺))
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5	4	clnbgrnvtx0 49198	. 2 ⊢ (𝐾 ∉ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) = ∅)
6	3, 5	syl 18	1 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (𝐺 ClNeighbVtx 𝐾) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∉ wnel 3065  ∅c0 4281  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Vtxcvtx 29631   ClNeighbVtx cclnbgr 49189

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-clnbgr 49190

This theorem is used by: (None)