MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coflim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coflim 9371
Description: A simpler expression for the cofinality predicate, at a limit ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
coflim ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → ( 𝐵 = 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem coflim
StepHypRef Expression
1 eleq2 2867 . . . . 5 ( 𝐵 = 𝐴 → (𝑥 𝐵𝑥𝐴))
21biimprd 240 . . . 4 ( 𝐵 = 𝐴 → (𝑥𝐴𝑥 𝐵))
3 eluni2 4632 . . . . 5 (𝑥 𝐵 ↔ ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)
4 limord 6000 . . . . . . . . 9 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
5 ssel2 3793 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐴𝑦𝐵) → 𝑦𝐴)
6 ordelon 5965 . . . . . . . . 9 ((Ord 𝐴𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ On)
74, 5, 6syl2an 590 . . . . . . . 8 ((Lim 𝐴 ∧ (𝐵𝐴𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ On)
87expr 449 . . . . . . 7 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ On))
9 onelss 5983 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ On → (𝑥𝑦𝑥𝑦))
108, 9syl6 35 . . . . . 6 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → (𝑦𝐵 → (𝑥𝑦𝑥𝑦)))
1110reximdvai 3195 . . . . 5 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → (∃𝑦𝐵 𝑥𝑦 → ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦))
123, 11syl5bi 234 . . . 4 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → (𝑥 𝐵 → ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦))
132, 12syl9r 78 . . 3 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → ( 𝐵 = 𝐴 → (𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)))
1413ralrimdv 3149 . 2 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → ( 𝐵 = 𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦))
15 uniss 4651 . . . . . 6 (𝐵𝐴 𝐵 𝐴)
16153ad2ant2 1165 . . . . 5 ((Lim 𝐴𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → 𝐵 𝐴)
17 uniss2 4662 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦 𝐴 𝐵)
18173ad2ant3 1166 . . . . 5 ((Lim 𝐴𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → 𝐴 𝐵)
1916, 18eqssd 3815 . . . 4 ((Lim 𝐴𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → 𝐵 = 𝐴)
20 limuni 6001 . . . . 5 (Lim 𝐴𝐴 = 𝐴)
21203ad2ant1 1164 . . . 4 ((Lim 𝐴𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → 𝐴 = 𝐴)
2219, 21eqtr4d 2836 . . 3 ((Lim 𝐴𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → 𝐵 = 𝐴)
23223expia 1151 . 2 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦 𝐵 = 𝐴))
2414, 23impbid 204 1 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → ( 𝐵 = 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  wrex 3090  wss 3769   cuni 4628  Ord word 5940  Oncon0 5941  Lim wlim 5942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pr 5097
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-tr 4946  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946
This theorem is referenced by:  cflim3  9372  pwcfsdom  9693
  Copyright terms: Public domain W3C validator