MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coflim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coflim 10301
Description: A simpler expression for the cofinality predicate, at a limit ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
coflim ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → ( 𝐵 = 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem coflim
StepHypRef Expression
1 eleq2 2830 . . . . 5 ( 𝐵 = 𝐴 → (𝑥 𝐵𝑥𝐴))
21biimprd 248 . . . 4 ( 𝐵 = 𝐴 → (𝑥𝐴𝑥 𝐵))
3 eluni2 4911 . . . . 5 (𝑥 𝐵 ↔ ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)
4 limord 6444 . . . . . . . . 9 (Lim 𝐴 → Ord 𝐴)
5 ssel2 3978 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐴𝑦𝐵) → 𝑦𝐴)
6 ordelon 6408 . . . . . . . . 9 ((Ord 𝐴𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ On)
74, 5, 6syl2an 596 . . . . . . . 8 ((Lim 𝐴 ∧ (𝐵𝐴𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ On)
87expr 456 . . . . . . 7 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ On))
9 onelss 6426 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ On → (𝑥𝑦𝑥𝑦))
108, 9syl6 35 . . . . . 6 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → (𝑦𝐵 → (𝑥𝑦𝑥𝑦)))
1110reximdvai 3165 . . . . 5 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → (∃𝑦𝐵 𝑥𝑦 → ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦))
123, 11biimtrid 242 . . . 4 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → (𝑥 𝐵 → ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦))
132, 12syl9r 78 . . 3 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → ( 𝐵 = 𝐴 → (𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)))
1413ralrimdv 3152 . 2 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → ( 𝐵 = 𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦))
15 uniss 4915 . . . . . 6 (𝐵𝐴 𝐵 𝐴)
16153ad2ant2 1135 . . . . 5 ((Lim 𝐴𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → 𝐵 𝐴)
17 uniss2 4941 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦 𝐴 𝐵)
18173ad2ant3 1136 . . . . 5 ((Lim 𝐴𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → 𝐴 𝐵)
1916, 18eqssd 4001 . . . 4 ((Lim 𝐴𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → 𝐵 = 𝐴)
20 limuni 6445 . . . . 5 (Lim 𝐴𝐴 = 𝐴)
21203ad2ant1 1134 . . . 4 ((Lim 𝐴𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → 𝐴 = 𝐴)
2219, 21eqtr4d 2780 . . 3 ((Lim 𝐴𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦) → 𝐵 = 𝐴)
23223expia 1122 . 2 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦 𝐵 = 𝐴))
2414, 23impbid 212 1 ((Lim 𝐴𝐵𝐴) → ( 𝐵 = 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  wss 3951   cuni 4907  Ord word 6383  Oncon0 6384  Lim wlim 6385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389
This theorem is referenced by:  cflim3  10302  pwcfsdom  10623
  Copyright terms: Public domain W3C validator