Theorem eluni2 4913

Description: Membership in class union. Restricted quantifier version. (Contributed by NM, 31-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
eluni2	⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem eluni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exancom 1865	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥))
2		eluni 4912	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
3		df-rex 3072	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥))
4	1, 2, 3	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝑥)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071  ∪ cuni 4909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-tru 1545  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rex 3072  df-v 3477  df-uni 4910

This theorem is referenced by:  uni0b  4938  intssuni  4975  iuncom4  5006  inuni  5344  cnvuni  5887  chfnrn  7051  ssorduni  7766  unon  7819  limuni3  7841  frrlem9  8279  onfununi  8341  oarec  8562  uniinqs  8791  fissuni  9357  finsschain  9359  r1sdom  9769  rankuni2b  9848  cflm  10245  coflim  10256  axdc3lem2  10446  fpwwe2lem11  10636  uniwun  10735  tskr1om2  10763  tskuni  10778  axgroth3  10826  inaprc  10831  tskmval  10834  tskmcl  10836  suplem1pr  11047  lbsextlem2  20772  lbsextlem3  20773  isbasis3g  22452  eltg2b  22462  tgcl  22472  ppttop  22510  epttop  22512  neiptoptop  22635  tgcmp  22905  locfincmp  23030  dissnref  23032  comppfsc  23036  1stckgenlem  23057  txuni2  23069  txcmplem1  23145  tgqtop  23216  filuni  23389  alexsubALTlem4  23554  ptcmplem3  23558  ptcmplem4  23559  utoptop  23739  icccmplem1  24338  icccmplem3  24340  cnheibor  24471  bndth  24474  lebnumlem1  24477  bcthlem4  24844  ovolicc2lem5  25038  dyadmbllem  25116  itg2gt0  25278  rexunirn  31763  unipreima  31900  acunirnmpt2  31916  acunirnmpt2f  31917  elrspunidl  32577  ssmxidllem  32620  reff  32850  locfinreflem  32851  cmpcref  32861  ddemeas  33265  dya2iocuni  33313  bnj1379  33872  cvmsss2  34296  cvmseu  34298  untuni  34709  dfon2lem3  34788  dfon2lem7  34792  dfon2lem8  34793  brbigcup  34901  neibastop1  35292  neibastop2lem  35293  fvineqsneq  36341  heicant  36571  mblfinlem1  36573  cover2  36631  heiborlem9  36735  unichnidl  36947  erimeq2  37596  prtlem16  37787  prter2  37799  prter3  37800  ssunib  42017  onsupuni  42026  onsuplub  42045  restuni3  43855  disjinfi  43939  cncfuni  44650  intsaluni  45093  salgencntex  45107