MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordelon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordelon 6209
Description: An element of an ordinal class is an ordinal number. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
ordelon ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Proof of Theorem ordelon
StepHypRef Expression
1 ordelord 6207 . 2 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → Ord 𝐵)
2 elong 6193 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
32adantl 482 . 2 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
41, 3mpbird 258 1 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2105  Ord word 6184  Oncon0 6185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-tr 5165  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-ord 6188  df-on 6189
This theorem is referenced by:  onelon  6210  ordunidif  6233  ordpwsuc  7518  ordsucun  7528  ordunel  7530  ordunisuc2  7547  oesuclem  8141  odi  8195  oelim2  8211  oeoalem  8212  oeoelem  8214  limenpsi  8681  ordtypelem9  8979  oismo  8993  cantnflt  9124  cantnfp1lem3  9132  cantnflem1b  9138  cantnflem1  9141  rankr1bg  9221  rankr1clem  9238  rankr1c  9239  rankonidlem  9246  infxpenlem  9428  coflim  9672  fin23lem26  9736  fpwwe2lem8  10048  onsuct0  33687  iunord  44677
  Copyright terms: Public domain W3C validator