MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordelon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordelon 6335
Description: An element of an ordinal class is an ordinal number. Lemma 1.3 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
ordelon ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Proof of Theorem ordelon
StepHypRef Expression
1 ordelord 6333 . 2 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → Ord 𝐵)
2 elong 6319 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
32adantl 481 . 2 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
41, 3mpbird 257 1 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2113  Ord word 6310  Oncon0 6311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-tr 5201  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-ord 6314  df-on 6315
This theorem is referenced by:  onelon  6336  ordunidif  6361  ordpwsuc  7751  ordsucun  7761  ordunel  7763  ordunisuc2  7780  oesuclem  8446  odi  8500  oelim2  8516  oeoalem  8517  oeoelem  8519  limenpsi  9072  ordtypelem9  9419  oismo  9433  cantnflt  9569  cantnfp1lem3  9577  cantnflem1b  9583  cantnflem1  9586  rankr1bg  9703  rankr1clem  9720  rankr1c  9721  rankonidlem  9728  infxpenlem  9911  coflim  10159  fin23lem26  10223  fpwwe2lem7  10535  onsuct0  36506  ordnexbtwnsuc  43384  orddif0suc  43385  omord2lim  43417  nadd2rabtr  43501  nadd2rabex  43503  nadd1rabtr  43505  nadd1rabex  43507  iunord  49801
  Copyright terms: Public domain W3C validator