Theorem ordelon 6412

Description: An element of an ordinal class is an ordinal number. Lemma 1.3 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordelon	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Proof of Theorem ordelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelord 6410	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)
2		elong 6396	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
3	2	adantl 487	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
4	1, 3	mpbird 260	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  Ord word 6387  Oncon0 6388

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-ord 6391  df-on 6392

This theorem is used by:  onelon  6413  ordunidif  6439  ordpwsuc  7860  ordsucun  7870  ordunel  7872  ordunisuc2  7889  oesuclem  8571  odi  8625  oelim2  8642  oeoalem  8643  oeoelem  8645  limenpsi  9209  ordtypelem9  9557  oismo  9571  cantnflt  9710  cantnfp1lem3  9718  cantnflem1b  9724  cantnflem1  9727  rankr1bg  9848  rankr1clem  9866  rankr1c  9867  rankonidlem  9875  infxpenlem  10131  coflim  10378  fin23lem26  10442  fpwwe2lem7  10761  onsuct0  37444  ordnexbtwnsuc  44530  orddif0suc  44531  omord2lim  44563  nadd2rabtr  44647  nadd2rabex  44649  nadd1rabtr  44651  nadd1rabex  44653  iunord  51190