Theorem ordelon 6347

Description: An element of an ordinal class is an ordinal number. Lemma 1.3 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordelon	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Proof of Theorem ordelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelord 6345	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)
2		elong 6331	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
4	1, 3	mpbird 257	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Ord word 6322  Oncon0 6323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-tr 5193  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6326  df-on 6327

This theorem is referenced by:  onelon  6348  ordunidif  6373  ordpwsuc  7766  ordsucun  7776  ordunel  7778  ordunisuc2  7795  oesuclem  8460  odi  8514  oelim2  8531  oeoalem  8532  oeoelem  8534  limenpsi  9090  ordtypelem9  9441  oismo  9455  cantnflt  9593  cantnfp1lem3  9601  cantnflem1b  9607  cantnflem1  9610  rankr1bg  9727  rankr1clem  9744  rankr1c  9745  rankonidlem  9752  infxpenlem  9935  coflim  10183  fin23lem26  10247  fpwwe2lem7  10560  onsuct0  36623  ordnexbtwnsuc  43695  orddif0suc  43696  omord2lim  43728  nadd2rabtr  43812  nadd2rabex  43814  nadd1rabtr  43816  nadd1rabex  43818  iunord  50151