Theorem ordelon 6325

Description: An element of an ordinal class is an ordinal number. Lemma 1.3 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordelon	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Proof of Theorem ordelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelord 6323	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)
2		elong 6309	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
4	1, 3	mpbird 257	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  Ord word 6300  Oncon0 6301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-ord 6304  df-on 6305

This theorem is referenced by:  onelon  6326  ordunidif  6351  ordpwsuc  7740  ordsucun  7750  ordunel  7752  ordunisuc2  7769  oesuclem  8435  odi  8489  oelim2  8505  oeoalem  8506  oeoelem  8508  limenpsi  9060  ordtypelem9  9407  oismo  9421  cantnflt  9557  cantnfp1lem3  9565  cantnflem1b  9571  cantnflem1  9574  rankr1bg  9691  rankr1clem  9708  rankr1c  9709  rankonidlem  9716  infxpenlem  9899  coflim  10147  fin23lem26  10211  fpwwe2lem7  10523  onsuct0  36475  ordnexbtwnsuc  43300  orddif0suc  43301  omord2lim  43333  nadd2rabtr  43417  nadd2rabex  43419  nadd1rabtr  43421  nadd1rabex  43423  iunord  49708