Theorem ordelon 6381

Description: An element of an ordinal class is an ordinal number. Lemma 1.3 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordelon	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Proof of Theorem ordelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelord 6379	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)
2		elong 6365	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
3	2	adantl 487	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
4	1, 3	mpbird 260	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  Ord word 6356  Oncon0 6357

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-ord 6360  df-on 6361

This theorem is used by:  onelon  6382  ordunidif  6408  ordpwsuc  7811  ordsucun  7821  ordunel  7823  ordunisuc2  7840  oesuclem  8512  odi  8566  oelim2  8583  oeoalem  8584  oeoelem  8586  limenpsi  9150  ordtypelem9  9498  oismo  9512  cantnflt  9651  cantnfp1lem3  9659  cantnflem1b  9665  cantnflem1  9668  rankr1bg  9785  rankr1clem  9802  rankr1c  9803  rankonidlem  9810  infxpenlem  10016  coflim  10263  fin23lem26  10327  fpwwe2lem7  10646  onsuct0  37060  ordnexbtwnsuc  44108  orddif0suc  44109  omord2lim  44141  nadd2rabtr  44225  nadd2rabex  44227  nadd1rabtr  44229  nadd1rabex  44231  iunord  50602