MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordelon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordelon 6212
Description: An element of an ordinal class is an ordinal number. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
ordelon ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Proof of Theorem ordelon
StepHypRef Expression
1 ordelord 6210 . 2 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → Ord 𝐵)
2 elong 6196 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
32adantl 482 . 2 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
41, 3mpbird 258 1 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2107  Ord word 6187  Oncon0 6188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pr 5325
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-tr 5169  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-ord 6191  df-on 6192
This theorem is referenced by:  onelon  6213  ordunidif  6236  ordpwsuc  7521  ordsucun  7531  ordunel  7533  ordunisuc2  7550  oesuclem  8144  odi  8198  oelim2  8214  oeoalem  8215  oeoelem  8217  limenpsi  8684  ordtypelem9  8982  oismo  8996  cantnflt  9127  cantnfp1lem3  9135  cantnflem1b  9141  cantnflem1  9144  rankr1bg  9224  rankr1clem  9241  rankr1c  9242  rankonidlem  9249  infxpenlem  9431  coflim  9675  fin23lem26  9739  fpwwe2lem8  10051  onsuct0  33675  iunord  44613
  Copyright terms: Public domain W3C validator