MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordelon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordelon 6339
Description: An element of an ordinal class is an ordinal number. Lemma 1.3 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
ordelon ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Proof of Theorem ordelon
StepHypRef Expression
1 ordelord 6337 . 2 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → Ord 𝐵)
2 elong 6323 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
32adantl 482 . 2 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
41, 3mpbird 256 1 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  Ord word 6314  Oncon0 6315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-tr 5221  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-ord 6318  df-on 6319
This theorem is referenced by:  onelon  6340  ordunidif  6364  ordpwsuc  7746  ordsucun  7756  ordunel  7758  ordunisuc2  7776  oesuclem  8467  odi  8522  oelim2  8538  oeoalem  8539  oeoelem  8541  limenpsi  9092  ordtypelem9  9458  oismo  9472  cantnflt  9604  cantnfp1lem3  9612  cantnflem1b  9618  cantnflem1  9621  rankr1bg  9735  rankr1clem  9752  rankr1c  9753  rankonidlem  9760  infxpenlem  9945  coflim  10193  fin23lem26  10257  fpwwe2lem7  10569  onsuct0  34880  ordnexbtwnsuc  41540  orddif0suc  41541  omord2lim  41572  iunord  47053
  Copyright terms: Public domain W3C validator