Theorem ordelon 6376

Description: An element of an ordinal class is an ordinal number. Lemma 1.3 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordelon	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Proof of Theorem ordelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelord 6374	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)
2		elong 6360	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ On ↔ Ord 𝐵))
4	1, 3	mpbird 257	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Ord word 6351  Oncon0 6352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-tr 5230  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-ord 6355  df-on 6356

This theorem is referenced by:  onelon  6377  ordunidif  6402  ordpwsuc  7809  ordsucun  7819  ordunel  7821  ordunisuc2  7839  oesuclem  8537  odi  8591  oelim2  8607  oeoalem  8608  oeoelem  8610  limenpsi  9166  ordtypelem9  9540  oismo  9554  cantnflt  9686  cantnfp1lem3  9694  cantnflem1b  9700  cantnflem1  9703  rankr1bg  9817  rankr1clem  9834  rankr1c  9835  rankonidlem  9842  infxpenlem  10027  coflim  10275  fin23lem26  10339  fpwwe2lem7  10651  onsuct0  36459  ordnexbtwnsuc  43291  orddif0suc  43292  omord2lim  43324  nadd2rabtr  43408  nadd2rabex  43410  nadd1rabtr  43412  nadd1rabex  43414  iunord  49540