![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > pm2mpf1lem | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for pm2mpf1 22164. (Contributed by AV, 14-Oct-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
pm2mpf1lem.p | โข ๐ = (Poly1โ๐ ) |
pm2mpf1lem.c | โข ๐ถ = (๐ Mat ๐) |
pm2mpf1lem.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ถ) |
pm2mpf1lem.m | โข โ = ( ยท๐ โ๐) |
pm2mpf1lem.e | โข โ = (.gโ(mulGrpโ๐)) |
pm2mpf1lem.x | โข ๐ = (var1โ๐ด) |
pm2mpf1lem.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
pm2mpf1lem.q | โข ๐ = (Poly1โ๐ด) |
Ref | Expression |
---|---|
pm2mpf1lem | โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ ๐ต โง ๐พ โ โ0)) โ ((coe1โ(๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐)))))โ๐พ) = (๐ decompPMat ๐พ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | pm2mpf1lem.q | . . 3 โข ๐ = (Poly1โ๐ด) | |
2 | eqid 2737 | . . 3 โข (Baseโ๐) = (Baseโ๐) | |
3 | pm2mpf1lem.x | . . 3 โข ๐ = (var1โ๐ด) | |
4 | pm2mpf1lem.e | . . 3 โข โ = (.gโ(mulGrpโ๐)) | |
5 | pm2mpf1lem.a | . . . . 5 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
6 | 5 | matring 21808 | . . . 4 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โ ๐ด โ Ring) |
7 | 6 | adantr 482 | . . 3 โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ ๐ต โง ๐พ โ โ0)) โ ๐ด โ Ring) |
8 | eqid 2737 | . . 3 โข (Baseโ๐ด) = (Baseโ๐ด) | |
9 | pm2mpf1lem.m | . . 3 โข โ = ( ยท๐ โ๐) | |
10 | eqid 2737 | . . 3 โข (0gโ๐ด) = (0gโ๐ด) | |
11 | simpllr 775 | . . . . 5 โข ((((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ ๐ต โง ๐พ โ โ0)) โง ๐ โ โ0) โ ๐ โ Ring) | |
12 | simplrl 776 | . . . . 5 โข ((((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ ๐ต โง ๐พ โ โ0)) โง ๐ โ โ0) โ ๐ โ ๐ต) | |
13 | simpr 486 | . . . . 5 โข ((((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ ๐ต โง ๐พ โ โ0)) โง ๐ โ โ0) โ ๐ โ โ0) | |
14 | pm2mpf1lem.p | . . . . . 6 โข ๐ = (Poly1โ๐ ) | |
15 | pm2mpf1lem.c | . . . . . 6 โข ๐ถ = (๐ Mat ๐) | |
16 | pm2mpf1lem.b | . . . . . 6 โข ๐ต = (Baseโ๐ถ) | |
17 | 14, 15, 16, 5, 8 | decpmatcl 22132 | . . . . 5 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ โ0) โ (๐ decompPMat ๐) โ (Baseโ๐ด)) |
18 | 11, 12, 13, 17 | syl3anc 1372 | . . . 4 โข ((((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ ๐ต โง ๐พ โ โ0)) โง ๐ โ โ0) โ (๐ decompPMat ๐) โ (Baseโ๐ด)) |
19 | 18 | ralrimiva 3144 | . . 3 โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ ๐ต โง ๐พ โ โ0)) โ โ๐ โ โ0 (๐ decompPMat ๐) โ (Baseโ๐ด)) |
20 | 14, 15, 16, 5, 10 | decpmatfsupp 22134 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ โ0 โฆ (๐ decompPMat ๐)) finSupp (0gโ๐ด)) |
21 | 20 | ad2ant2lr 747 | . . 3 โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ ๐ต โง ๐พ โ โ0)) โ (๐ โ โ0 โฆ (๐ decompPMat ๐)) finSupp (0gโ๐ด)) |
22 | simprr 772 | . . 3 โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ ๐ต โง ๐พ โ โ0)) โ ๐พ โ โ0) | |
23 | 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 19, 21, 22 | gsummoncoe1 21691 | . 2 โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ ๐ต โง ๐พ โ โ0)) โ ((coe1โ(๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐)))))โ๐พ) = โฆ๐พ / ๐โฆ(๐ decompPMat ๐)) |
24 | csbov2g 7408 | . . 3 โข (๐พ โ โ0 โ โฆ๐พ / ๐โฆ(๐ decompPMat ๐) = (๐ decompPMat โฆ๐พ / ๐โฆ๐)) | |
25 | 24 | ad2antll 728 | . 2 โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ ๐ต โง ๐พ โ โ0)) โ โฆ๐พ / ๐โฆ(๐ decompPMat ๐) = (๐ decompPMat โฆ๐พ / ๐โฆ๐)) |
26 | csbvarg 4396 | . . . 4 โข (๐พ โ โ0 โ โฆ๐พ / ๐โฆ๐ = ๐พ) | |
27 | 26 | ad2antll 728 | . . 3 โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ ๐ต โง ๐พ โ โ0)) โ โฆ๐พ / ๐โฆ๐ = ๐พ) |
28 | 27 | oveq2d 7378 | . 2 โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ ๐ต โง ๐พ โ โ0)) โ (๐ decompPMat โฆ๐พ / ๐โฆ๐) = (๐ decompPMat ๐พ)) |
29 | 23, 25, 28 | 3eqtrd 2781 | 1 โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ ๐ต โง ๐พ โ โ0)) โ ((coe1โ(๐ ฮฃg (๐ โ โ0 โฆ ((๐ decompPMat ๐) โ (๐ โ ๐)))))โ๐พ) = (๐ decompPMat ๐พ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โฆcsb 3860 class class class wbr 5110 โฆ cmpt 5193 โcfv 6501 (class class class)co 7362 Fincfn 8890 finSupp cfsupp 9312 โ0cn0 12420 Basecbs 17090 ยท๐ cvsca 17144 0gc0g 17328 ฮฃg cgsu 17329 .gcmg 18879 mulGrpcmgp 19903 Ringcrg 19971 var1cv1 21563 Poly1cpl1 21564 coe1cco1 21565 Mat cmat 21770 decompPMat cdecpmat 22127 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-rep 5247 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-cnex 11114 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-icn 11117 ax-addcl 11118 ax-addrcl 11119 ax-mulcl 11120 ax-mulrcl 11121 ax-mulcom 11122 ax-addass 11123 ax-mulass 11124 ax-distr 11125 ax-i2m1 11126 ax-1ne0 11127 ax-1rid 11128 ax-rnegex 11129 ax-rrecex 11130 ax-cnre 11131 ax-pre-lttri 11132 ax-pre-lttrn 11133 ax-pre-ltadd 11134 ax-pre-mulgt0 11135 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-pss 3934 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-tp 4596 df-op 4598 df-ot 4600 df-uni 4871 df-int 4913 df-iun 4961 df-iin 4962 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-tr 5228 df-id 5536 df-eprel 5542 df-po 5550 df-so 5551 df-fr 5593 df-se 5594 df-we 5595 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6258 df-ord 6325 df-on 6326 df-lim 6327 df-suc 6328 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-isom 6510 df-riota 7318 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-of 7622 df-ofr 7623 df-om 7808 df-1st 7926 df-2nd 7927 df-supp 8098 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8322 df-rdg 8361 df-1o 8417 df-er 8655 df-map 8774 df-pm 8775 df-ixp 8843 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-fin 8894 df-fsupp 9313 df-sup 9385 df-oi 9453 df-card 9882 df-pnf 11198 df-mnf 11199 df-xr 11200 df-ltxr 11201 df-le 11202 df-sub 11394 df-neg 11395 df-nn 12161 df-2 12223 df-3 12224 df-4 12225 df-5 12226 df-6 12227 df-7 12228 df-8 12229 df-9 12230 df-n0 12421 df-z 12507 df-dec 12626 df-uz 12771 df-fz 13432 df-fzo 13575 df-seq 13914 df-hash 14238 df-struct 17026 df-sets 17043 df-slot 17061 df-ndx 17073 df-base 17091 df-ress 17120 df-plusg 17153 df-mulr 17154 df-sca 17156 df-vsca 17157 df-ip 17158 df-tset 17159 df-ple 17160 df-ds 17162 df-hom 17164 df-cco 17165 df-0g 17330 df-gsum 17331 df-prds 17336 df-pws 17338 df-mre 17473 df-mrc 17474 df-acs 17476 df-mgm 18504 df-sgrp 18553 df-mnd 18564 df-mhm 18608 df-submnd 18609 df-grp 18758 df-minusg 18759 df-sbg 18760 df-mulg 18880 df-subg 18932 df-ghm 19013 df-cntz 19104 df-cmn 19571 df-abl 19572 df-mgp 19904 df-ur 19921 df-ring 19973 df-subrg 20236 df-lmod 20340 df-lss 20409 df-sra 20649 df-rgmod 20650 df-dsmm 21154 df-frlm 21169 df-psr 21327 df-mvr 21328 df-mpl 21329 df-opsr 21331 df-psr1 21567 df-vr1 21568 df-ply1 21569 df-coe1 21570 df-mamu 21749 df-mat 21771 df-decpmat 22128 |
This theorem is referenced by: pm2mpf1 22164 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |