Theorem pm2mpf1lem 22710

Description: Lemma for pm2mpf1 22715. (Contributed by AV, 14-Oct-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpf1lem.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpf1lem.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpf1lem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpf1lem.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
pm2mpf1lem.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpf1lem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
pm2mpf1lem.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpf1lem.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
pm2mpf1lem	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐾) = (𝑈 decompPMat 𝐾))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑄,𝑘   𝑅,𝑘   𝑈,𝑘   ∗ ,𝑘   ↑ ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑃(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem pm2mpf1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpf1lem.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
3		pm2mpf1lem.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
4		pm2mpf1lem.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
5		pm2mpf1lem.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6	5	matring 22359	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ Ring)
8		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
9		pm2mpf1lem.m	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
10		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
11		simpllr 775	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
12		simplrl 776	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑈 ∈ 𝐵)
13		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
14		pm2mpf1lem.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
15		pm2mpf1lem.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
16		pm2mpf1lem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
17	14, 15, 16, 5, 8	decpmatcl 22683	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑈 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
18	11, 12, 13, 17	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑈 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
19	18	ralrimiva 3124	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑈 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
20	14, 15, 16, 5, 10	decpmatfsupp 22685	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑈 decompPMat 𝑘)) finSupp (0g‘𝐴))
21	20	ad2ant2lr 748	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑈 decompPMat 𝑘)) finSupp (0g‘𝐴))
22		simprr 772	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
23	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 19, 21, 22	gsummoncoe1 22224	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐾) = ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑈 decompPMat 𝑘))
24		csbov2g 7394	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑈 decompPMat 𝑘) = (𝑈 decompPMat ⦋𝐾 / 𝑘⦌𝑘))
25	24	ad2antll 729	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑈 decompPMat 𝑘) = (𝑈 decompPMat ⦋𝐾 / 𝑘⦌𝑘))
26		csbvarg 4384	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ⦋𝐾 / 𝑘⦌𝑘 = 𝐾)
27	26	ad2antll 729	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ⦋𝐾 / 𝑘⦌𝑘 = 𝐾)
28	27	oveq2d 7362	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑈 decompPMat ⦋𝐾 / 𝑘⦌𝑘) = (𝑈 decompPMat 𝐾))
29	23, 25, 28	3eqtrd 2770	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐾) = (𝑈 decompPMat 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⦋csb 3850   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869   finSupp cfsupp 9245  ℕ₀cn0 12381  Basecbs 17120   ·_𝑠 cvsca 17165  0_gc0g 17343   Σ_g cgsu 17344  ._gcmg 18980  mulGrpcmgp 20059  Ringcrg 20152  var₁cv1 22089  Poly₁cpl1 22090  coe₁cco1 22091   Mat cmat 22323   decompPMat cdecpmat 22678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19126  df-cntz 19230  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-ring 20154  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20796  df-lss 20866  df-sra 21108  df-rgmod 21109  df-dsmm 21670  df-frlm 21685  df-psr 21847  df-mvr 21848  df-mpl 21849  df-opsr 21851  df-psr1 22093  df-vr1 22094  df-ply1 22095  df-coe1 22096  df-mamu 22307  df-mat 22324  df-decpmat 22679

This theorem is referenced by:  pm2mpf1  22715