Theorem pm2mpf1lem 22278

Description: Lemma for pm2mpf1 22283. (Contributed by AV, 14-Oct-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpf1lem.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpf1lem.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpf1lem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpf1lem.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
pm2mpf1lem.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpf1lem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
pm2mpf1lem.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpf1lem.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
pm2mpf1lem	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐾) = (𝑈 decompPMat 𝐾))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑄,𝑘   𝑅,𝑘   𝑈,𝑘   ∗ ,𝑘   ↑ ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑃(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem pm2mpf1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpf1lem.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
3		pm2mpf1lem.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
4		pm2mpf1lem.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
5		pm2mpf1lem.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6	5	matring 21927	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
7	6	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ Ring)
8		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
9		pm2mpf1lem.m	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
10		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
11		simpllr 775	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
12		simplrl 776	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑈 ∈ 𝐵)
13		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
14		pm2mpf1lem.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
15		pm2mpf1lem.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
16		pm2mpf1lem.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
17	14, 15, 16, 5, 8	decpmatcl 22251	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑈 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
18	11, 12, 13, 17	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑈 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
19	18	ralrimiva 3147	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑈 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
20	14, 15, 16, 5, 10	decpmatfsupp 22253	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑈 decompPMat 𝑘)) finSupp (0g‘𝐴))
21	20	ad2ant2lr 747	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑈 decompPMat 𝑘)) finSupp (0g‘𝐴))
22		simprr 772	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
23	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 19, 21, 22	gsummoncoe1 21810	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐾) = ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑈 decompPMat 𝑘))
24		csbov2g 7450	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑈 decompPMat 𝑘) = (𝑈 decompPMat ⦋𝐾 / 𝑘⦌𝑘))
25	24	ad2antll 728	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑈 decompPMat 𝑘) = (𝑈 decompPMat ⦋𝐾 / 𝑘⦌𝑘))
26		csbvarg 4430	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ⦋𝐾 / 𝑘⦌𝑘 = 𝐾)
27	26	ad2antll 728	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ⦋𝐾 / 𝑘⦌𝑘 = 𝐾)
28	27	oveq2d 7420	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑈 decompPMat ⦋𝐾 / 𝑘⦌𝑘) = (𝑈 decompPMat 𝐾))
29	23, 25, 28	3eqtrd 2777	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐾) = (𝑈 decompPMat 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ⦋csb 3892   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357  ℕ₀cn0 12468  Basecbs 17140   ·_𝑠 cvsca 17197  0_gc0g 17381   Σ_g cgsu 17382  ._gcmg 18944  mulGrpcmgp 19979  Ringcrg 20047  var₁cv1 21682  Poly₁cpl1 21683  coe₁cco1 21684   Mat cmat 21889   decompPMat cdecpmat 22246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-ofr 7666  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-subrg 20349  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-sra 20773  df-rgmod 20774  df-dsmm 21271  df-frlm 21286  df-psr 21444  df-mvr 21445  df-mpl 21446  df-opsr 21448  df-psr1 21686  df-vr1 21687  df-ply1 21688  df-coe1 21689  df-mamu 21868  df-mat 21890  df-decpmat 22247

This theorem is referenced by:  pm2mpf1  22283