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Theorem prmgaplem7 16986

Description: Lemma for prmgap 16988. (Contributed by AV, 12-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
prmgaplem7.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
prmgaplem7.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℕ ↑_m ℕ))
prmgaplem7.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖))

**Assertion**
Ref	Expression
prmgaplem7	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))

Distinct variable groups: 𝐹,𝑝,𝑞,𝑧 𝑖,𝐹 𝑁,𝑝,𝑞,𝑧 𝑖,𝑁 𝜑,𝑝,𝑞,𝑧 Allowed substitution hint: 𝜑(𝑖)

Proof of Theorem prmgaplem7 Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmgaplem7.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℕ ↑_m ℕ))
2		elmapi 8839	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (ℕ ↑_m ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
4		prmgaplem7.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	3, 4	ffvelcdmd 7084	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)
6		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)
7		elnnuz 12862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ ↔ (𝐹‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘1))
8	6, 7	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘1))
9		2z 12590	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
10	9	eluzaddi 12849	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘1) → ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ (ℤ_≥‘(1 + 2)))
11	8, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ (ℤ_≥‘(1 + 2)))
12		1p2e3 12351	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
13	12	eqcomi 2741	. . . . . 6 ⊢ 3 = (1 + 2)
14	13	fveq2i 6891	. . . . 5 ⊢ (ℤ_≥‘3) = (ℤ_≥‘(1 + 2))
15	11, 14	eleqtrrdi 2844	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ (ℤ_≥‘3))
16		prmgaplem5 16984	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ (ℤ_≥‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ))
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ))
18	4	anim1ci 616	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
19		nnaddcl 12231	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℕ)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℕ)
21		prmgaplem6 16985	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℕ → ∃𝑞 ∈ ℙ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ∃𝑞 ∈ ℙ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))
23		reeanv 3226	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) ↔ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)))
24		simprll 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))) → 𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2))
25		simprrl 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))) → ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞)
26		nnz 12575	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ)
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ)
28	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
29	27, 28	zaddcld 12666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℤ)
30	29	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℤ)
31	30	anim1ci 616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℤ))
32		fzospliti 13660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) ∨ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞)))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) ∨ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞)))
34	33	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) ∨ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞))))
35		neleq1 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑟 ∉ ℙ ↔ 𝑧 ∉ ℙ))
36	35	rspcv 3608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) → (∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ → 𝑧 ∉ ℙ))
37	36	adantld 491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) → ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) → 𝑧 ∉ ℙ))
38	37	adantrd 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ))
39	38	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) → ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
40	20	nnzd 12581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ)
41	40	peano2zd 12665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
42	41	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
43	42	anim1ci 616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞)) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ))
44		fzospliti 13660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ∨ 𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞)) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ∨ 𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)))
46	45	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ∨ 𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞))))
47		prmgaplem7.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖))
48	4	nnzd 12581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
49		fzshftral 13585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ) → (∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ ∀𝑗 ∈ ((2 + (𝐹‘𝑁))...(𝑁 + (𝐹‘𝑁)))[(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖)))
50	9, 48, 26, 49	mp3an3an 1467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ ∀𝑗 ∈ ((2 + (𝐹‘𝑁))...(𝑁 + (𝐹‘𝑁)))[(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖)))
51		2cnd 12286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
52		nncn 12216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
53		addcom 11396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ) → (2 + (𝐹‘𝑁)) = ((𝐹‘𝑁) + 2))
54	51, 52, 53	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (2 + (𝐹‘𝑁)) = ((𝐹‘𝑁) + 2))
55	4	nncnd 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
56		addcom 11396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ) → (𝑁 + (𝐹‘𝑁)) = ((𝐹‘𝑁) + 𝑁))
57	55, 52, 56	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 + (𝐹‘𝑁)) = ((𝐹‘𝑁) + 𝑁))
58	54, 57	oveq12d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((2 + (𝐹‘𝑁))...(𝑁 + (𝐹‘𝑁))) = (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁)))
59		ovex 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑗 − (𝐹‘𝑁)) ∈ V
60		sbcbr2g 5205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑗 − (𝐹‘𝑁)) ∈ V → ([(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ 1 < ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌(((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖)))
61	59, 60	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ([(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ 1 < ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌(((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖)))
62		csbov12g 7449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑗 − (𝐹‘𝑁)) ∈ V → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌(((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) = (⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖))
63	59, 62	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌(((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) = (⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖))
64		csbov2g 7451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑗 − (𝐹‘𝑁)) ∈ V → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌((𝐹‘𝑁) + 𝑖) = ((𝐹‘𝑁) + ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖))
65	59, 64	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌((𝐹‘𝑁) + 𝑖) = ((𝐹‘𝑁) + ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖))
66		csbvarg 4430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑗 − (𝐹‘𝑁)) ∈ V → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖 = (𝑗 − (𝐹‘𝑁)))
67	66	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑗 − (𝐹‘𝑁)) ∈ V → ((𝐹‘𝑁) + ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖) = ((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))))
68	59, 67	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖) = ((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))))
69	65, 68	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌((𝐹‘𝑁) + 𝑖) = ((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))))
70	59, 66	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖 = (𝑗 − (𝐹‘𝑁)))
71	69, 70	oveq12d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖) = (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))))
72	63, 71	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌(((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) = (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))))
73	72	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (1 < ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌(((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁)))))
74	61, 73	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ([(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁)))))
75	58, 74	raleqbidv 3342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ ((2 + (𝐹‘𝑁))...(𝑁 + (𝐹‘𝑁)))[(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ ∀𝑗 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁)))))
76		fzval3 13697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ → (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁)) = (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)))
77	76	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ → (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) = (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁)))
78	40, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) = (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁)))
79	78	eleq2d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ↔ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁))))
80	79	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁)))
81		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (𝑗 − (𝐹‘𝑁)) = (𝑧 − (𝐹‘𝑁)))
82	81	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) = ((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))))
83	82, 81	oveq12d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) = (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁))))
84	83	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) ↔ 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁)))))
85	84	rspcv 3608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁)) → (∀𝑗 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) → 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁)))))
86	80, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (∀𝑗 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) → 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁)))))
87	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
88		elfzoelz 13628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∈ ℤ)
89	88	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∈ ℂ)
90		pncan3 11464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) = 𝑧)
91	87, 89, 90	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → ((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) = 𝑧)
92	91	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) = (𝑧 gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁))))
93	88	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → 𝑧 ∈ ℤ)
94		zsubcl 12600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ) → (𝑧 − (𝐹‘𝑁)) ∈ ℤ)
95	88, 27, 94	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (𝑧 − (𝐹‘𝑁)) ∈ ℤ)
96	93, 95	gcdcomd 16451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (𝑧 gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) = ((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) gcd 𝑧))
97	92, 96	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) = ((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) gcd 𝑧))
98	97	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) ↔ 1 < ((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) gcd 𝑧)))
99		elfzo2 13631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ_≥‘((𝐹‘𝑁) + 2)) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)))
100		eluz2 12824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ_≥‘((𝐹‘𝑁) + 2)) ↔ (((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧))
101		nnre 12215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
102	101	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
103		2rp 12975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → 2 ∈ ℝ⁺)
105	102, 104	ltaddrpd 13045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑁) < ((𝐹‘𝑁) + 2))
106		2re 12282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ 2 ∈ ℝ
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
108	101, 107	readdcld 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℝ)
109	108	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℝ)
110		zre 12558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
112		ltletr 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑁) < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
113	102, 109, 111, 112	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → (((𝐹‘𝑁) < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
114	105, 113	mpand 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → (((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
115	114	impancom 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
116	115	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
117	100, 116	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ_≥‘((𝐹‘𝑁) + 2)) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
118	117	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ_≥‘((𝐹‘𝑁) + 2)) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
119	99, 118	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
120	119	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧)
121	101	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
122	88	zred 12662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∈ ℝ)
123		posdif 11703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑁) < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧 − (𝐹‘𝑁))))
124	121, 122, 123	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → ((𝐹‘𝑁) < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧 − (𝐹‘𝑁))))
125	120, 124	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → 0 < (𝑧 − (𝐹‘𝑁)))
126		elnnz 12564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) ∈ ℕ ↔ ((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑧 − (𝐹‘𝑁))))
127	95, 125, 126	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (𝑧 − (𝐹‘𝑁)) ∈ ℕ)
128	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → 2 ∈ ℝ)
129		nngt0 12239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → 0 < (𝐹‘𝑁))
130	129	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → 0 < (𝐹‘𝑁))
131		2pos 12311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ 0 < 2
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → 0 < 2)
133	102, 128, 130, 132	addgt0d 11785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → 0 < ((𝐹‘𝑁) + 2))
134		0red 11213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → 0 ∈ ℝ)
135		ltletr 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((0 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → 0 < 𝑧))
136	134, 109, 111, 135	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → ((0 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → 0 < 𝑧))
137	133, 136	mpand 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → (((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧 → 0 < 𝑧))
138	137	impancom 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → 0 < 𝑧))
139	138	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → 0 < 𝑧))
140	100, 139	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ_≥‘((𝐹‘𝑁) + 2)) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → 0 < 𝑧))
141	140	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ_≥‘((𝐹‘𝑁) + 2)) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → 0 < 𝑧))
142	99, 141	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → 0 < 𝑧))
143	142	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → 0 < 𝑧)
144		elnnz 12564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑧))
145	93, 143, 144	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → 𝑧 ∈ ℕ)
146	129	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → 0 < (𝐹‘𝑁))
147	146	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → 0 < (𝐹‘𝑁))
148		ltsubpos 11702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (0 < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝑧 − (𝐹‘𝑁)) < 𝑧))
149	121, 122, 148	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (0 < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝑧 − (𝐹‘𝑁)) < 𝑧))
150	147, 149	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (𝑧 − (𝐹‘𝑁)) < 𝑧)
151		ncoprmlnprm 16660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 − (𝐹‘𝑁)) < 𝑧) → (1 < ((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) gcd 𝑧) → 𝑧 ∉ ℙ))
152	127, 145, 150, 151	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (1 < ((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) gcd 𝑧) → 𝑧 ∉ ℙ))
153	98, 152	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) → 𝑧 ∉ ℙ))
154	86, 153	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (∀𝑗 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) → 𝑧 ∉ ℙ))
155	154	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → (∀𝑗 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) → 𝑧 ∉ ℙ)))
156	155	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
157	75, 156	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ ((2 + (𝐹‘𝑁))...(𝑁 + (𝐹‘𝑁)))[(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
158	50, 157	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
159	158	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ))))
160	47, 159	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
161	160	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ))
162	161	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ))
163	162	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ∧ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)
164	163	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ∧ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ))
165	164	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
166		neleq1 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝑠 ∉ ℙ ↔ 𝑧 ∉ ℙ))
167	166	rspcv 3608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞) → (∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ → 𝑧 ∉ ℙ))
168	167	adantld 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞) → ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ) → 𝑧 ∉ ℙ))
169	168	adantld 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ))
170	169	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞) → ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
171	165, 170	jaoi 855	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ∨ 𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)) → ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
172	171	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ∨ 𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
173	46, 172	syldc 48	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞) → ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
174	39, 173	jaoi 855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) ∨ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞)) → ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
175	174	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) ∨ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞)) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
176	34, 175	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
177	176	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞) → 𝑧 ∉ ℙ)))
178	177	imp31 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)) → 𝑧 ∉ ℙ)
179	178	ralrimiva 3146	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))) → ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)
180	24, 25, 179	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))) → (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
181	180	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)))
182	181	reximdva 3168	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)))
183	182	reximdva 3168	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)))
184	23, 183	biimtrrid 242	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)))
185	17, 22, 184	mp2and 697	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
186	5, 185	mpdan 685	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∨ wo 845 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ∉ wnel 3046 ∀wral 3061 ∃wrex 3070 Vcvv 3474 [wsbc 3776 ⦋csb 3892 class class class wbr 5147 ⟶wf 6536 ‘cfv 6540 (class class class)co 7405 ↑_m cmap 8816 ℂcc 11104 ℝcr 11105 0cc0 11106 1c1 11107 + caddc 11109 < clt 11244 ≤ cle 11245 − cmin 11440 ℕcn 12208 2c2 12263 3c3 12264 ℤcz 12554 ℤ_≥cuz 12818 ℝ⁺crp 12970 ...cfz 13480 ..^cfzo 13623 gcd cgcd 16431 ℙcprime 16604

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-2o 8463 df-er 8699 df-map 8818 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-sup 9433 df-inf 9434 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11868 df-nn 12209 df-2 12271 df-3 12272 df-n0 12469 df-z 12555 df-uz 12819 df-rp 12971 df-fz 13481 df-fzo 13624 df-seq 13963 df-exp 14024 df-fac 14230 df-cj 15042 df-re 15043 df-im 15044 df-sqrt 15178 df-abs 15179 df-dvds 16194 df-gcd 16432 df-prm 16605

This theorem is referenced by: prmgaplem8 16987

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