MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplem7 16386
Description: Lemma for prmgap 16388. (Contributed by AV, 12-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
prmgaplem7.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
prmgaplem7.f (𝜑𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ))
prmgaplem7.i (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖))
Assertion
Ref Expression
prmgaplem7 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝,𝑞,𝑧   𝑖,𝐹   𝑁,𝑝,𝑞,𝑧   𝑖,𝑁   𝜑,𝑝,𝑞,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑖)

Proof of Theorem prmgaplem7
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmgaplem7.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ))
2 elmapi 8421 . . . 4 (𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℕ)
4 prmgaplem7.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
53, 4ffvelrnd 6847 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℕ)
6 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℕ)
7 elnnuz 12274 . . . . . . 7 ((𝐹𝑁) ∈ ℕ ↔ (𝐹𝑁) ∈ (ℤ‘1))
86, 7sylib 219 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ (ℤ‘1))
9 1z 12004 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
10 2z 12006 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
119, 10eluzaddi 12263 . . . . . 6 ((𝐹𝑁) ∈ (ℤ‘1) → ((𝐹𝑁) + 2) ∈ (ℤ‘(1 + 2)))
128, 11syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + 2) ∈ (ℤ‘(1 + 2)))
13 1p2e3 11772 . . . . . . 7 (1 + 2) = 3
1413eqcomi 2834 . . . . . 6 3 = (1 + 2)
1514fveq2i 6669 . . . . 5 (ℤ‘3) = (ℤ‘(1 + 2))
1612, 15syl6eleqr 2928 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + 2) ∈ (ℤ‘3))
17 prmgaplem5 16384 . . . 4 (((𝐹𝑁) + 2) ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ))
1816, 17syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ))
194anim1ci 615 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
20 nnaddcl 11652 . . . . 5 (((𝐹𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + 𝑁) ∈ ℕ)
2119, 20syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + 𝑁) ∈ ℕ)
22 prmgaplem6 16385 . . . 4 (((𝐹𝑁) + 𝑁) ∈ ℕ → ∃𝑞 ∈ ℙ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))
2321, 22syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → ∃𝑞 ∈ ℙ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))
24 reeanv 3372 . . . 4 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) ↔ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)))
25 simprll 775 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))) → 𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2))
26 simprrl 777 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))) → ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞)
27 nnz 11996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑁) ∈ ℕ → (𝐹𝑁) ∈ ℤ)
2827adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℤ)
2910a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
3028, 29zaddcld 12083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + 2) ∈ ℤ)
3130ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝐹𝑁) + 2) ∈ ℤ)
3231anim1ci 615 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞) ∧ ((𝐹𝑁) + 2) ∈ ℤ))
33 fzospliti 13062 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞) ∧ ((𝐹𝑁) + 2) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2)) ∨ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^𝑞)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2)) ∨ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^𝑞)))
3534ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2)) ∨ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^𝑞))))
36 neleq1 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = 𝑧 → (𝑟 ∉ ℙ ↔ 𝑧 ∉ ℙ))
3736rspcv 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2)) → (∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ → 𝑧 ∉ ℙ))
3837adantld 491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2)) → ((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) → 𝑧 ∉ ℙ))
3938adantrd 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2)) → (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ))
4039a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2)) → ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
4121nnzd 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ)
4241peano2zd 12082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
4342ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
4443anim1ci 615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^𝑞)) → (𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^𝑞) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ))
45 fzospliti 13062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^𝑞) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) ∨ 𝑧 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^𝑞)) → (𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) ∨ 𝑧 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)))
4746ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^𝑞) → (𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) ∨ 𝑧 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞))))
48 prmgaplem7.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖))
494nnzd 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
50 fzshftral 12988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℤ) → (∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ ∀𝑗 ∈ ((2 + (𝐹𝑁))...(𝑁 + (𝐹𝑁)))[(𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖)))
5110, 49, 27, 50mp3an3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ ∀𝑗 ∈ ((2 + (𝐹𝑁))...(𝑁 + (𝐹𝑁)))[(𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖)))
52 2cnd 11707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53 nncn 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝑁) ∈ ℕ → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
54 addcom 10818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℂ) → (2 + (𝐹𝑁)) = ((𝐹𝑁) + 2))
5552, 53, 54syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (2 + (𝐹𝑁)) = ((𝐹𝑁) + 2))
564nncnd 11646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
57 addcom 10818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℂ) → (𝑁 + (𝐹𝑁)) = ((𝐹𝑁) + 𝑁))
5856, 53, 57syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 + (𝐹𝑁)) = ((𝐹𝑁) + 𝑁))
5955, 58oveq12d 7169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → ((2 + (𝐹𝑁))...(𝑁 + (𝐹𝑁))) = (((𝐹𝑁) + 2)...((𝐹𝑁) + 𝑁)))
60 ovex 7184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗 − (𝐹𝑁)) ∈ V
61 sbcbr2g 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑗 − (𝐹𝑁)) ∈ V → ([(𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ 1 < (𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖(((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖)))
6260, 61mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → ([(𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ 1 < (𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖(((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖)))
63 csbov12g 7195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑗 − (𝐹𝑁)) ∈ V → (𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖(((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) = ((𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd (𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖𝑖))
6460, 63mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖(((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) = ((𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd (𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖𝑖))
65 csbov2g 7197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑗 − (𝐹𝑁)) ∈ V → (𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖((𝐹𝑁) + 𝑖) = ((𝐹𝑁) + (𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖𝑖))
6660, 65mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖((𝐹𝑁) + 𝑖) = ((𝐹𝑁) + (𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖𝑖))
67 csbvarg 4386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 − (𝐹𝑁)) ∈ V → (𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖𝑖 = (𝑗 − (𝐹𝑁)))
6867oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑗 − (𝐹𝑁)) ∈ V → ((𝐹𝑁) + (𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖𝑖) = ((𝐹𝑁) + (𝑗 − (𝐹𝑁))))
6960, 68mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + (𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖𝑖) = ((𝐹𝑁) + (𝑗 − (𝐹𝑁))))
7066, 69eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖((𝐹𝑁) + 𝑖) = ((𝐹𝑁) + (𝑗 − (𝐹𝑁))))
7160, 67mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖𝑖 = (𝑗 − (𝐹𝑁)))
7270, 71oveq12d 7169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd (𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖𝑖) = (((𝐹𝑁) + (𝑗 − (𝐹𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹𝑁))))
7364, 72eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖(((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) = (((𝐹𝑁) + (𝑗 − (𝐹𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹𝑁))))
7473breq2d 5074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (1 < (𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖(((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ 1 < (((𝐹𝑁) + (𝑗 − (𝐹𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹𝑁)))))
7562, 74bitrd 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → ([(𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ 1 < (((𝐹𝑁) + (𝑗 − (𝐹𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹𝑁)))))
7659, 75raleqbidv 3406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ ((2 + (𝐹𝑁))...(𝑁 + (𝐹𝑁)))[(𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ ∀𝑗 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)...((𝐹𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹𝑁) + (𝑗 − (𝐹𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹𝑁)))))
77 fzval3 13099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐹𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ → (((𝐹𝑁) + 2)...((𝐹𝑁) + 𝑁)) = (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)))
7877eqcomd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝐹𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ → (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) = (((𝐹𝑁) + 2)...((𝐹𝑁) + 𝑁)))
7941, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) = (((𝐹𝑁) + 2)...((𝐹𝑁) + 𝑁)))
8079eleq2d 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) ↔ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)...((𝐹𝑁) + 𝑁))))
8180biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))) → 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)...((𝐹𝑁) + 𝑁)))
82 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑗 = 𝑧 → (𝑗 − (𝐹𝑁)) = (𝑧 − (𝐹𝑁)))
8382oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑗 = 𝑧 → ((𝐹𝑁) + (𝑗 − (𝐹𝑁))) = ((𝐹𝑁) + (𝑧 − (𝐹𝑁))))
8483, 82oveq12d 7169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑗 = 𝑧 → (((𝐹𝑁) + (𝑗 − (𝐹𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹𝑁))) = (((𝐹𝑁) + (𝑧 − (𝐹𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹𝑁))))
8584breq2d 5074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 = 𝑧 → (1 < (((𝐹𝑁) + (𝑗 − (𝐹𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹𝑁))) ↔ 1 < (((𝐹𝑁) + (𝑧 − (𝐹𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹𝑁)))))
8685rspcv 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)...((𝐹𝑁) + 𝑁)) → (∀𝑗 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)...((𝐹𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹𝑁) + (𝑗 − (𝐹𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹𝑁))) → 1 < (((𝐹𝑁) + (𝑧 − (𝐹𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹𝑁)))))
8781, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))) → (∀𝑗 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)...((𝐹𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹𝑁) + (𝑗 − (𝐹𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹𝑁))) → 1 < (((𝐹𝑁) + (𝑧 − (𝐹𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹𝑁)))))
8853adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
89 elfzoelz 13031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∈ ℤ)
9089zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∈ ℂ)
91 pncan3 10886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐹𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹𝑁) + (𝑧 − (𝐹𝑁))) = 𝑧)
9288, 90, 91syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))) → ((𝐹𝑁) + (𝑧 − (𝐹𝑁))) = 𝑧)
9392oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))) → (((𝐹𝑁) + (𝑧 − (𝐹𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹𝑁))) = (𝑧 gcd (𝑧 − (𝐹𝑁))))
9489adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))) → 𝑧 ∈ ℤ)
95 zsubcl 12016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℤ) → (𝑧 − (𝐹𝑁)) ∈ ℤ)
9689, 28, 95syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))) → (𝑧 − (𝐹𝑁)) ∈ ℤ)
97 gcdcom 15855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 − (𝐹𝑁)) ∈ ℤ) → (𝑧 gcd (𝑧 − (𝐹𝑁))) = ((𝑧 − (𝐹𝑁)) gcd 𝑧))
9894, 96, 97syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))) → (𝑧 gcd (𝑧 − (𝐹𝑁))) = ((𝑧 − (𝐹𝑁)) gcd 𝑧))
9993, 98eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))) → (((𝐹𝑁) + (𝑧 − (𝐹𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹𝑁))) = ((𝑧 − (𝐹𝑁)) gcd 𝑧))
10099breq2d 5074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))) → (1 < (((𝐹𝑁) + (𝑧 − (𝐹𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹𝑁))) ↔ 1 < ((𝑧 − (𝐹𝑁)) gcd 𝑧)))
101 elfzo2 13034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑁) + 2)) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 < (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)))
102 eluz2 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑧 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑁) + 2)) ↔ (((𝐹𝑁) + 2) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝐹𝑁) + 2) ≤ 𝑧))
103 nnre 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝐹𝑁) ∈ ℕ → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
104103ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ)) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
105 2rp 12387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2 ∈ ℝ+
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ)) → 2 ∈ ℝ+)
107104, 106ltaddrpd 12457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ)) → (𝐹𝑁) < ((𝐹𝑁) + 2))
108 2re 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2 ∈ ℝ
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝐹𝑁) ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
110103, 109readdcld 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝐹𝑁) ∈ ℕ → ((𝐹𝑁) + 2) ∈ ℝ)
111110ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑁) + 2) ∈ ℝ)
112 zre 11977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
113112adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
114 ltletr 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝐹𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑁) + 2) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑁) < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → (𝐹𝑁) < 𝑧))
115104, 111, 113, 114syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ)) → (((𝐹𝑁) < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → (𝐹𝑁) < 𝑧))
116107, 115mpand 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ)) → (((𝐹𝑁) + 2) ≤ 𝑧 → (𝐹𝑁) < 𝑧))
117116impancom 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝐹𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) < 𝑧))
1181173adant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝐹𝑁) + 2) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝐹𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) < 𝑧))
119102, 118sylbi 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑧 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑁) + 2)) → ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) < 𝑧))
1201193ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑧 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑁) + 2)) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 < (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) → ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) < 𝑧))
121101, 120sylbi 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) → ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) < 𝑧))
122121impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))) → (𝐹𝑁) < 𝑧)
123103adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
12489zred 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∈ ℝ)
125 posdif 11125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐹𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑁) < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧 − (𝐹𝑁))))
126123, 124, 125syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))) → ((𝐹𝑁) < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧 − (𝐹𝑁))))
127122, 126mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))) → 0 < (𝑧 − (𝐹𝑁)))
128 elnnz 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑧 − (𝐹𝑁)) ∈ ℕ ↔ ((𝑧 − (𝐹𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑧 − (𝐹𝑁))))
12996, 127, 128sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))) → (𝑧 − (𝐹𝑁)) ∈ ℕ)
130108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ)) → 2 ∈ ℝ)
131 nngt0 11660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝐹𝑁) ∈ ℕ → 0 < (𝐹𝑁))
132131ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ)) → 0 < (𝐹𝑁))
133 2pos 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 0 < 2
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ)) → 0 < 2)
135104, 130, 132, 134addgt0d 11207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ)) → 0 < ((𝐹𝑁) + 2))
136 0red 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ)) → 0 ∈ ℝ)
137 ltletr 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((0 ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑁) + 2) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((0 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → 0 < 𝑧))
138136, 111, 113, 137syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ)) → ((0 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → 0 < 𝑧))
139135, 138mpand 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ)) → (((𝐹𝑁) + 2) ≤ 𝑧 → 0 < 𝑧))
140139impancom 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝐹𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → 0 < 𝑧))
1411403adant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝐹𝑁) + 2) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝐹𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → 0 < 𝑧))
142102, 141sylbi 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑧 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑁) + 2)) → ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → 0 < 𝑧))
1431423ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑧 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑁) + 2)) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 < (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) → ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → 0 < 𝑧))
144101, 143sylbi 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) → ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → 0 < 𝑧))
145144impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))) → 0 < 𝑧)
146 elnnz 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 ∈ ℕ ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑧))
14794, 145, 146sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))) → 𝑧 ∈ ℕ)
148131adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → 0 < (𝐹𝑁))
149148adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))) → 0 < (𝐹𝑁))
150 ltsubpos 11124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝐹𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (0 < (𝐹𝑁) ↔ (𝑧 − (𝐹𝑁)) < 𝑧))
151123, 124, 150syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))) → (0 < (𝐹𝑁) ↔ (𝑧 − (𝐹𝑁)) < 𝑧))
152149, 151mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))) → (𝑧 − (𝐹𝑁)) < 𝑧)
153 ncoprmlnprm 16061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑧 − (𝐹𝑁)) ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 − (𝐹𝑁)) < 𝑧) → (1 < ((𝑧 − (𝐹𝑁)) gcd 𝑧) → 𝑧 ∉ ℙ))
154129, 147, 152, 153syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))) → (1 < ((𝑧 − (𝐹𝑁)) gcd 𝑧) → 𝑧 ∉ ℙ))
155100, 154sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))) → (1 < (((𝐹𝑁) + (𝑧 − (𝐹𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹𝑁))) → 𝑧 ∉ ℙ))
15687, 155syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))) → (∀𝑗 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)...((𝐹𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹𝑁) + (𝑗 − (𝐹𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹𝑁))) → 𝑧 ∉ ℙ))
157156ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) → (∀𝑗 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)...((𝐹𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹𝑁) + (𝑗 − (𝐹𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹𝑁))) → 𝑧 ∉ ℙ)))
158157com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)...((𝐹𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹𝑁) + (𝑗 − (𝐹𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹𝑁))) → (𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
15976, 158sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ ((2 + (𝐹𝑁))...(𝑁 + (𝐹𝑁)))[(𝑗 − (𝐹𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) → (𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
16051, 159sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) → (𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
161160ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝐹𝑁) ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) → (𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ))))
16248, 161mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝐹𝑁) ∈ ℕ → (𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
163162imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ))
164163ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ))
165164impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) ∧ (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)
166165a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) ∧ (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ))
167166ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) → ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
168 neleq1 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = 𝑧 → (𝑠 ∉ ℙ ↔ 𝑧 ∉ ℙ))
169168rspcv 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞) → (∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ → 𝑧 ∉ ℙ))
170169adantld 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞) → ((((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ) → 𝑧 ∉ ℙ))
171170adantld 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞) → (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ))
172171a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞) → ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
173167, 172jaoi 853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) ∨ 𝑧 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)) → ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
174173com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^(((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)) ∨ 𝑧 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)) → (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
17547, 174syldc 48 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^𝑞) → ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
17640, 175jaoi 853 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2)) ∨ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^𝑞)) → ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
177176com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2)) ∨ 𝑧 ∈ (((𝐹𝑁) + 2)..^𝑞)) → (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
17835, 177syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞) → (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
179178com23 86 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞) → 𝑧 ∉ ℙ)))
180179imp31 418 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)) → 𝑧 ∉ ℙ)
181180ralrimiva 3186 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))) → ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)
18225, 26, 1813jca 1122 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))) → (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
183182ex 413 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)))
184183reximdva 3278 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ ((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)))
185184reximdva 3278 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)))
18624, 185syl5bir 244 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → ((∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)))
18718, 23, 186mp2and 695 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℕ) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
1885, 187mpdan 683 1 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wnel 3127  wral 3142  wrex 3143  Vcvv 3499  [wsbc 3775  csb 3886   class class class wbr 5062  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  m cmap 8399  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862  cn 11630  2c2 11684  3c3 11685  cz 11973  cuz 12235  +crp 12382  ...cfz 12885  ..^cfzo 13026   gcd cgcd 15836  cprime 16008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13423  df-fac 13627  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-dvds 15601  df-gcd 15837  df-prm 16009
This theorem is referenced by:  prmgaplem8  16387
  Copyright terms: Public domain W3C validator