Theorem prmgaplem7 16383

Description: Lemma for prmgap 16385. (Contributed by AV, 12-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmgaplem7.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
prmgaplem7.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ))
prmgaplem7.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖))

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem7	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝,𝑞,𝑧   𝑖,𝐹   𝑁,𝑝,𝑞,𝑧   𝑖,𝑁   𝜑,𝑝,𝑞,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑖)

Proof of Theorem prmgaplem7

Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmgaplem7.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ))
2		elmapi 8411	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
4		prmgaplem7.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	3, 4	ffvelrnd 6829	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)
6		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)
7		elnnuz 12270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ ↔ (𝐹‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘1))
8	6, 7	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘1))
9		1z 12000	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		2z 12002	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
11	9, 10	eluzaddi 12259	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘1) → ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ (ℤ≥‘(1 + 2)))
12	8, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ (ℤ≥‘(1 + 2)))
13		1p2e3 11768	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
14	13	eqcomi 2807	. . . . . 6 ⊢ 3 = (1 + 2)
15	14	fveq2i 6648	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘3) = (ℤ≥‘(1 + 2))
16	12, 15	eleqtrrdi 2901	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ (ℤ≥‘3))
17		prmgaplem5 16381	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ))
19	4	anim1ci 618	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
20		nnaddcl 11648	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℕ)
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℕ)
22		prmgaplem6 16382	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℕ → ∃𝑞 ∈ ℙ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))
23	21, 22	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ∃𝑞 ∈ ℙ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))
24		reeanv 3320	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) ↔ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)))
25		simprll 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))) → 𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2))
26		simprrl 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))) → ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞)
27		nnz 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ)
28	27	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ)
29	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
30	28, 29	zaddcld 12079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℤ)
31	30	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℤ)
32	31	anim1ci 618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℤ))
33		fzospliti 13064	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) ∨ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞)))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) ∨ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞)))
35	34	ex 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) ∨ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞))))
36		neleq1 3096	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑟 ∉ ℙ ↔ 𝑧 ∉ ℙ))
37	36	rspcv 3566	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) → (∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ → 𝑧 ∉ ℙ))
38	37	adantld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) → ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) → 𝑧 ∉ ℙ))
39	38	adantrd 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ))
40	39	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) → ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
41	21	nnzd 12074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ)
42	41	peano2zd 12078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
43	42	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
44	43	anim1ci 618	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞)) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ))
45		fzospliti 13064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ∨ 𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)))
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞)) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ∨ 𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)))
47	46	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ∨ 𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞))))
48		prmgaplem7.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖))
49	4	nnzd 12074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
50		fzshftral 12990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ) → (∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ ∀𝑗 ∈ ((2 + (𝐹‘𝑁))...(𝑁 + (𝐹‘𝑁)))[(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖)))
51	10, 49, 27, 50	mp3an3an 1464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ ∀𝑗 ∈ ((2 + (𝐹‘𝑁))...(𝑁 + (𝐹‘𝑁)))[(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖)))
52		2cnd 11703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53		nncn 11633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
54		addcom 10815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ) → (2 + (𝐹‘𝑁)) = ((𝐹‘𝑁) + 2))
55	52, 53, 54	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (2 + (𝐹‘𝑁)) = ((𝐹‘𝑁) + 2))
56	4	nncnd 11641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
57		addcom 10815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ) → (𝑁 + (𝐹‘𝑁)) = ((𝐹‘𝑁) + 𝑁))
58	56, 53, 57	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 + (𝐹‘𝑁)) = ((𝐹‘𝑁) + 𝑁))
59	55, 58	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((2 + (𝐹‘𝑁))...(𝑁 + (𝐹‘𝑁))) = (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁)))
60		ovex 7168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑗 − (𝐹‘𝑁)) ∈ V
61		sbcbr2g 5088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑗 − (𝐹‘𝑁)) ∈ V → ([(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ 1 < ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌(((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖)))
62	60, 61	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ([(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ 1 < ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌(((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖)))
63		csbov12g 7179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑗 − (𝐹‘𝑁)) ∈ V → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌(((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) = (⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖))
64	60, 63	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌(((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) = (⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖))
65		csbov2g 7181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑗 − (𝐹‘𝑁)) ∈ V → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌((𝐹‘𝑁) + 𝑖) = ((𝐹‘𝑁) + ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖))
66	60, 65	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌((𝐹‘𝑁) + 𝑖) = ((𝐹‘𝑁) + ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖))
67		csbvarg 4339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑗 − (𝐹‘𝑁)) ∈ V → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖 = (𝑗 − (𝐹‘𝑁)))
68	67	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑗 − (𝐹‘𝑁)) ∈ V → ((𝐹‘𝑁) + ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖) = ((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))))
69	60, 68	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖) = ((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))))
70	66, 69	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌((𝐹‘𝑁) + 𝑖) = ((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))))
71	60, 67	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖 = (𝑗 − (𝐹‘𝑁)))
72	70, 71	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖) = (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))))
73	64, 72	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌(((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) = (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))))
74	73	breq2d 5042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (1 < ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌(((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁)))))
75	62, 74	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ([(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁)))))
76	59, 75	raleqbidv 3354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ ((2 + (𝐹‘𝑁))...(𝑁 + (𝐹‘𝑁)))[(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ ∀𝑗 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁)))))
77		fzval3 13101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ → (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁)) = (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)))
78	77	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ → (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) = (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁)))
79	41, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) = (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁)))
80	79	eleq2d 2875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ↔ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁))))
81	80	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁)))
82		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (𝑗 − (𝐹‘𝑁)) = (𝑧 − (𝐹‘𝑁)))
83	82	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) = ((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))))
84	83, 82	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) = (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁))))
85	84	breq2d 5042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) ↔ 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁)))))
86	85	rspcv 3566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁)) → (∀𝑗 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) → 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁)))))
87	81, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (∀𝑗 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) → 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁)))))
88	53	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
89		elfzoelz 13033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∈ ℤ)
90	89	zcnd 12076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∈ ℂ)
91		pncan3 10883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) = 𝑧)
92	88, 90, 91	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → ((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) = 𝑧)
93	92	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) = (𝑧 gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁))))
94	89	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → 𝑧 ∈ ℤ)
95		zsubcl 12012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ) → (𝑧 − (𝐹‘𝑁)) ∈ ℤ)
96	89, 28, 95	syl2anr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (𝑧 − (𝐹‘𝑁)) ∈ ℤ)
97		gcdcom 15852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑧 − (𝐹‘𝑁)) ∈ ℤ) → (𝑧 gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) = ((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) gcd 𝑧))
98	94, 96, 97	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (𝑧 gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) = ((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) gcd 𝑧))
99	93, 98	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) = ((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) gcd 𝑧))
100	99	breq2d 5042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) ↔ 1 < ((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) gcd 𝑧)))
101		elfzo2 13036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑁) + 2)) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)))
102		eluz2 12237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑁) + 2)) ↔ (((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧))
103		nnre 11632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
104	103	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
105		2rp 12382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ 2 ∈ ℝ+
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → 2 ∈ ℝ+)
107	104, 106	ltaddrpd 12452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑁) < ((𝐹‘𝑁) + 2))
108		2re 11699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ 2 ∈ ℝ
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
110	103, 109	readdcld 10659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℝ)
111	110	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℝ)
112		zre 11973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
113	112	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
114		ltletr 10721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑁) < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
115	104, 111, 113, 114	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → (((𝐹‘𝑁) < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
116	107, 115	mpand 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → (((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
117	116	impancom 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
118	117	3adant1 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
119	102, 118	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑁) + 2)) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
120	119	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑁) + 2)) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
121	101, 120	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
122	121	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧)
123	103	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
124	89	zred 12075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∈ ℝ)
125		posdif 11122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑁) < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧 − (𝐹‘𝑁))))
126	123, 124, 125	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → ((𝐹‘𝑁) < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧 − (𝐹‘𝑁))))
127	122, 126	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → 0 < (𝑧 − (𝐹‘𝑁)))
128		elnnz 11979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) ∈ ℕ ↔ ((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑧 − (𝐹‘𝑁))))
129	96, 127, 128	sylanbrc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (𝑧 − (𝐹‘𝑁)) ∈ ℕ)
130	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → 2 ∈ ℝ)
131		nngt0 11656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → 0 < (𝐹‘𝑁))
132	131	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → 0 < (𝐹‘𝑁))
133		2pos 11728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ 0 < 2
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → 0 < 2)
135	104, 130, 132, 134	addgt0d 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → 0 < ((𝐹‘𝑁) + 2))
136		0red 10633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → 0 ∈ ℝ)
137		ltletr 10721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((0 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → 0 < 𝑧))
138	136, 111, 113, 137	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → ((0 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → 0 < 𝑧))
139	135, 138	mpand 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → (((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧 → 0 < 𝑧))
140	139	impancom 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → 0 < 𝑧))
141	140	3adant1 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → 0 < 𝑧))
142	102, 141	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑁) + 2)) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → 0 < 𝑧))
143	142	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑁) + 2)) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → 0 < 𝑧))
144	101, 143	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → 0 < 𝑧))
145	144	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → 0 < 𝑧)
146		elnnz 11979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑧))
147	94, 145, 146	sylanbrc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → 𝑧 ∈ ℕ)
148	131	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → 0 < (𝐹‘𝑁))
149	148	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → 0 < (𝐹‘𝑁))
150		ltsubpos 11121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (0 < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝑧 − (𝐹‘𝑁)) < 𝑧))
151	123, 124, 150	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (0 < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝑧 − (𝐹‘𝑁)) < 𝑧))
152	149, 151	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (𝑧 − (𝐹‘𝑁)) < 𝑧)
153		ncoprmlnprm 16058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 − (𝐹‘𝑁)) < 𝑧) → (1 < ((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) gcd 𝑧) → 𝑧 ∉ ℙ))
154	129, 147, 152, 153	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (1 < ((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) gcd 𝑧) → 𝑧 ∉ ℙ))
155	100, 154	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) → 𝑧 ∉ ℙ))
156	87, 155	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (∀𝑗 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) → 𝑧 ∉ ℙ))
157	156	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → (∀𝑗 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) → 𝑧 ∉ ℙ)))
158	157	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
159	76, 158	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ ((2 + (𝐹‘𝑁))...(𝑁 + (𝐹‘𝑁)))[(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
160	51, 159	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
161	160	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ))))
162	48, 161	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
163	162	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ))
164	163	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ))
165	164	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ∧ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)
166	165	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ∧ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ))
167	166	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
168		neleq1 3096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝑠 ∉ ℙ ↔ 𝑧 ∉ ℙ))
169	168	rspcv 3566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞) → (∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ → 𝑧 ∉ ℙ))
170	169	adantld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞) → ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ) → 𝑧 ∉ ℙ))
171	170	adantld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ))
172	171	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞) → ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
173	167, 172	jaoi 854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ∨ 𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)) → ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
174	173	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ∨ 𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
175	47, 174	syldc 48	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞) → ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
176	40, 175	jaoi 854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) ∨ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞)) → ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
177	176	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) ∨ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞)) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
178	35, 177	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
179	178	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞) → 𝑧 ∉ ℙ)))
180	179	imp31 421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)) → 𝑧 ∉ ℙ)
181	180	ralrimiva 3149	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))) → ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)
182	25, 26, 181	3jca 1125	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))) → (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
183	182	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)))
184	183	reximdva 3233	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)))
185	184	reximdva 3233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)))
186	24, 185	syl5bir 246	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)))
187	18, 23, 186	mp2and 698	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
188	5, 187	mpdan 686	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3091  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441  [wsbc 3720  ⦋csb 3828   class class class wbr 5030  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑_m cmap 8389  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕcn 11625  2c2 11680  3c3 11681  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ℝ⁺crp 12377  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028   gcd cgcd 15833  ℙcprime 16005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-prm 16006

This theorem is referenced by:  prmgaplem8  16384