Theorem prmgaplem7 16969

Description: Lemma for prmgap 16971. (Contributed by AV, 12-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmgaplem7.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
prmgaplem7.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ))
prmgaplem7.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖))

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem7	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝,𝑞,𝑧   𝑖,𝐹   𝑁,𝑝,𝑞,𝑧   𝑖,𝑁   𝜑,𝑝,𝑞,𝑧

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑖)

Proof of Theorem prmgaplem7

Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmgaplem7.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ))
2		elmapi 8776	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (ℕ ↑m ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
4		prmgaplem7.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	3, 4	ffvelcdmd 7019	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)
6		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)
7		elnnuz 12779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ ↔ (𝐹‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘1))
8	6, 7	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘1))
9		2z 12507	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
10	9	eluzaddi 12766	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ (ℤ≥‘1) → ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ (ℤ≥‘(1 + 2)))
11	8, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ (ℤ≥‘(1 + 2)))
12		1p2e3 12266	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
13	12	eqcomi 2738	. . . . . 6 ⊢ 3 = (1 + 2)
14	13	fveq2i 6825	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘3) = (ℤ≥‘(1 + 2))
15	11, 14	eleqtrrdi 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ (ℤ≥‘3))
16		prmgaplem5 16967	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ))
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ))
18	4	anim1ci 616	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
19		nnaddcl 12151	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℕ)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℕ)
21		prmgaplem6 16968	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℕ → ∃𝑞 ∈ ℙ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ∃𝑞 ∈ ℙ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))
23		reeanv 3201	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) ↔ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)))
24		simprll 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))) → 𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2))
25		simprrl 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))) → ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞)
26		nnz 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ)
28	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
29	27, 28	zaddcld 12584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℤ)
30	29	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℤ)
31	30	anim1ci 616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℤ))
32		fzospliti 13594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) ∨ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞)))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) ∨ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞)))
34	33	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) ∨ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞))))
35		neleq1 3035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 = 𝑧 → (𝑟 ∉ ℙ ↔ 𝑧 ∉ ℙ))
36	35	rspcv 3573	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) → (∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ → 𝑧 ∉ ℙ))
37	36	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) → ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) → 𝑧 ∉ ℙ))
38	37	adantrd 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ))
39	38	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) → ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
40	20	nnzd 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ)
41	40	peano2zd 12583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
42	41	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
43	42	anim1ci 616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞)) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ))
44		fzospliti 13594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ∨ 𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)))
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞)) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ∨ 𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)))
46	45	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ∨ 𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞))))
47		prmgaplem7.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖))
48	4	nnzd 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
49		fzshftral 13518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ) → (∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ ∀𝑗 ∈ ((2 + (𝐹‘𝑁))...(𝑁 + (𝐹‘𝑁)))[(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖)))
50	9, 48, 26, 49	mp3an3an 1469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ ∀𝑗 ∈ ((2 + (𝐹‘𝑁))...(𝑁 + (𝐹‘𝑁)))[(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖)))
51		2cnd 12206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
52		nncn 12136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
53		addcom 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ) → (2 + (𝐹‘𝑁)) = ((𝐹‘𝑁) + 2))
54	51, 52, 53	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (2 + (𝐹‘𝑁)) = ((𝐹‘𝑁) + 2))
55	4	nncnd 12144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
56		addcom 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ) → (𝑁 + (𝐹‘𝑁)) = ((𝐹‘𝑁) + 𝑁))
57	55, 52, 56	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 + (𝐹‘𝑁)) = ((𝐹‘𝑁) + 𝑁))
58	54, 57	oveq12d 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((2 + (𝐹‘𝑁))...(𝑁 + (𝐹‘𝑁))) = (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁)))
59		ovex 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑗 − (𝐹‘𝑁)) ∈ V
60		sbcbr2g 5150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑗 − (𝐹‘𝑁)) ∈ V → ([(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ 1 < ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌(((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖)))
61	59, 60	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ([(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ 1 < ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌(((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖)))
62		csbov12g 7395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑗 − (𝐹‘𝑁)) ∈ V → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌(((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) = (⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖))
63	59, 62	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌(((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) = (⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖))
64		csbov2g 7397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑗 − (𝐹‘𝑁)) ∈ V → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌((𝐹‘𝑁) + 𝑖) = ((𝐹‘𝑁) + ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖))
65	59, 64	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌((𝐹‘𝑁) + 𝑖) = ((𝐹‘𝑁) + ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖))
66		csbvarg 4385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑗 − (𝐹‘𝑁)) ∈ V → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖 = (𝑗 − (𝐹‘𝑁)))
67	66	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑗 − (𝐹‘𝑁)) ∈ V → ((𝐹‘𝑁) + ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖) = ((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))))
68	59, 67	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖) = ((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))))
69	65, 68	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌((𝐹‘𝑁) + 𝑖) = ((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))))
70	59, 66	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖 = (𝑗 − (𝐹‘𝑁)))
71	69, 70	oveq12d 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌𝑖) = (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))))
72	63, 71	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌(((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) = (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))))
73	72	breq2d 5104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (1 < ⦋(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖⦌(((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁)))))
74	61, 73	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ([(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁)))))
75	58, 74	raleqbidv 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ ((2 + (𝐹‘𝑁))...(𝑁 + (𝐹‘𝑁)))[(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) ↔ ∀𝑗 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁)))))
76		fzval3 13637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ → (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁)) = (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)))
77	76	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ → (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) = (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁)))
78	40, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) = (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁)))
79	78	eleq2d 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ↔ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁))))
80	79	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁)))
81		oveq1 7356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (𝑗 − (𝐹‘𝑁)) = (𝑧 − (𝐹‘𝑁)))
82	81	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) = ((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))))
83	82, 81	oveq12d 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) = (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁))))
84	83	breq2d 5104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) ↔ 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁)))))
85	84	rspcv 3573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁)) → (∀𝑗 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) → 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁)))))
86	80, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (∀𝑗 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) → 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁)))))
87	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
88		elfzoelz 13562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∈ ℤ)
89	88	zcnd 12581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∈ ℂ)
90		pncan3 11371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) = 𝑧)
91	87, 89, 90	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → ((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) = 𝑧)
92	91	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) = (𝑧 gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁))))
93	88	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → 𝑧 ∈ ℤ)
94		zsubcl 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℤ) → (𝑧 − (𝐹‘𝑁)) ∈ ℤ)
95	88, 27, 94	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (𝑧 − (𝐹‘𝑁)) ∈ ℤ)
96	93, 95	gcdcomd 16425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (𝑧 gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) = ((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) gcd 𝑧))
97	92, 96	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) = ((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) gcd 𝑧))
98	97	breq2d 5104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) ↔ 1 < ((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) gcd 𝑧)))
99		elfzo2 13565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑁) + 2)) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)))
100		eluz2 12741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑁) + 2)) ↔ (((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧))
101		nnre 12135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
102	101	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
103		2rp 12898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ 2 ∈ ℝ+
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → 2 ∈ ℝ+)
105	102, 104	ltaddrpd 12970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑁) < ((𝐹‘𝑁) + 2))
106		2re 12202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ 2 ∈ ℝ
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
108	101, 107	readdcld 11144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℝ)
109	108	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℝ)
110		zre 12475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
111	110	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
112		ltletr 11208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑁) < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
113	102, 109, 111, 112	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → (((𝐹‘𝑁) < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
114	105, 113	mpand 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → (((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
115	114	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
116	115	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
117	100, 116	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑁) + 2)) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
118	117	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑁) + 2)) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
119	99, 118	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧))
120	119	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (𝐹‘𝑁) < 𝑧)
121	101	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
122	88	zred 12580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∈ ℝ)
123		posdif 11613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑁) < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧 − (𝐹‘𝑁))))
124	121, 122, 123	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → ((𝐹‘𝑁) < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧 − (𝐹‘𝑁))))
125	120, 124	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → 0 < (𝑧 − (𝐹‘𝑁)))
126		elnnz 12481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) ∈ ℕ ↔ ((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑧 − (𝐹‘𝑁))))
127	95, 125, 126	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (𝑧 − (𝐹‘𝑁)) ∈ ℕ)
128	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → 2 ∈ ℝ)
129		nngt0 12159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → 0 < (𝐹‘𝑁))
130	129	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → 0 < (𝐹‘𝑁))
131		2pos 12231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ 0 < 2
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → 0 < 2)
133	102, 128, 130, 132	addgt0d 11695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → 0 < ((𝐹‘𝑁) + 2))
134		0red 11118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → 0 ∈ ℝ)
135		ltletr 11208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((0 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → 0 < 𝑧))
136	134, 109, 111, 135	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → ((0 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → 0 < 𝑧))
137	133, 136	mpand 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ)) → (((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧 → 0 < 𝑧))
138	137	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → 0 < 𝑧))
139	138	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝐹‘𝑁) + 2) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑁) + 2) ≤ 𝑧) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → 0 < 𝑧))
140	100, 139	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑁) + 2)) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → 0 < 𝑧))
141	140	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑁) + 2)) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → 0 < 𝑧))
142	99, 141	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → 0 < 𝑧))
143	142	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → 0 < 𝑧)
144		elnnz 12481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑧))
145	93, 143, 144	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → 𝑧 ∈ ℕ)
146	129	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → 0 < (𝐹‘𝑁))
147	146	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → 0 < (𝐹‘𝑁))
148		ltsubpos 11612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (0 < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝑧 − (𝐹‘𝑁)) < 𝑧))
149	121, 122, 148	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (0 < (𝐹‘𝑁) ↔ (𝑧 − (𝐹‘𝑁)) < 𝑧))
150	147, 149	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (𝑧 − (𝐹‘𝑁)) < 𝑧)
151		ncoprmlnprm 16639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑧 − (𝐹‘𝑁)) < 𝑧) → (1 < ((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) gcd 𝑧) → 𝑧 ∉ ℙ))
152	127, 145, 150, 151	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (1 < ((𝑧 − (𝐹‘𝑁)) gcd 𝑧) → 𝑧 ∉ ℙ))
153	98, 152	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑧 − (𝐹‘𝑁))) → 𝑧 ∉ ℙ))
154	86, 153	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1))) → (∀𝑗 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) → 𝑧 ∉ ℙ))
155	154	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → (∀𝑗 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) → 𝑧 ∉ ℙ)))
156	155	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)...((𝐹‘𝑁) + 𝑁))1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) gcd (𝑗 − (𝐹‘𝑁))) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
157	75, 156	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ ((2 + (𝐹‘𝑁))...(𝑁 + (𝐹‘𝑁)))[(𝑗 − (𝐹‘𝑁)) / 𝑖]1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
158	50, 157	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
159	158	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹‘𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ))))
160	47, 159	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) ∈ ℕ → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
161	160	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ))
162	161	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → 𝑧 ∉ ℙ))
163	162	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ∧ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)
164	163	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ∧ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ))
165	164	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) → ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
166		neleq1 3035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝑠 ∉ ℙ ↔ 𝑧 ∉ ℙ))
167	166	rspcv 3573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞) → (∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ → 𝑧 ∉ ℙ))
168	167	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞) → ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ) → 𝑧 ∉ ℙ))
169	168	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ))
170	169	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞) → ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
171	165, 170	jaoi 857	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ∨ 𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)) → ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
172	171	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^(((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)) ∨ 𝑧 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
173	46, 172	syldc 48	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞) → ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
174	39, 173	jaoi 857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) ∨ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞)) → ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
175	174	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2)) ∨ 𝑧 ∈ (((𝐹‘𝑁) + 2)..^𝑞)) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
176	34, 175	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → 𝑧 ∉ ℙ)))
177	176	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → (𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞) → 𝑧 ∉ ℙ)))
178	177	imp31 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)) → 𝑧 ∉ ℙ)
179	178	ralrimiva 3121	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))) → ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)
180	24, 25, 179	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ))) → (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
181	180	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)))
182	181	reximdva 3142	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)))
183	182	reximdva 3142	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ((𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)))
184	23, 183	biimtrrid 243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ((∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ∀𝑟 ∈ ((𝑝 + 1)..^((𝐹‘𝑁) + 2))𝑟 ∉ ℙ) ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ (((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑠 ∈ ((((𝐹‘𝑁) + 𝑁) + 1)..^𝑞)𝑠 ∉ ℙ)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)))
185	17, 22, 184	mp2and 699	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
186	5, 185	mpdan 687	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹‘𝑁) + 2) ∧ ((𝐹‘𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3029  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3436  [wsbc 3742  ⦋csb 3851   class class class wbr 5092  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ↑_m cmap 8753  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347  ℕcn 12128  2c2 12183  3c3 12184  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ℝ⁺crp 12893  ...cfz 13410  ..^cfzo 13557   gcd cgcd 16405  ℙcprime 16582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-prm 16583

This theorem is referenced by:  prmgaplem8  16970