Theorem ply1mulgsumlem4 49197

Description: Lemma 4 for ply1mulgsum 49198. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1mulgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1mulgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1mulgsum.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
ply1mulgsum.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)
ply1mulgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1mulgsum.pm	⊢ × = (.r‘𝑃)
ply1mulgsum.sm	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1mulgsum.rm	⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
ply1mulgsum.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1mulgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ply1mulgsumlem4	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝐵,𝑙   𝐶,𝑙   𝐾,𝑙   𝐿,𝑙   𝑅,𝑙   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑅,𝑘   ∗ ,𝑘   𝑘,𝑙   𝑘,𝑋   ↑ ,𝑘   · ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘, 𝑙)   · (𝑙)   × (𝑘, 𝑙)   ↑ (𝑙)   ∗ (𝑙)   𝑀(𝑘, 𝑙)   𝑋(𝑙)

Proof of Theorem ply1mulgsumlem4

Dummy variables 𝑛 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6896	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑃) ∈ V)
2		ovexd 7447	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ V)
3		ply1mulgsum.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		ply1mulgsum.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		ply1mulgsum.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
6		ply1mulgsum.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)
7		ply1mulgsum.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
8		ply1mulgsum.pm	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
9		ply1mulgsum.sm	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
10		ply1mulgsum.rm	. . . 4 ⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
11		ply1mulgsum.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
12		ply1mulgsum.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
13	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	ply1mulgsumlem2 49195	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)))
14		vex 3458	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑛 ∈ V
15		csbov12g 7458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋)))
16		csbov2g 7460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))))
17		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
18		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (0...𝑘) = (0...𝑛))
19		fvoveq1 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) = (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))
20	19	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) = ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))
21	18, 20	mpteq12dv 5197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
22	21	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ V ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
23	17, 22	csbied 3888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
24	23	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ V → (𝑅 Σg ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))))
25	16, 24	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))))
26		csbov1g 7459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋) = (⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑘 ↑ 𝑋))
27		csbvarg 4398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑘 = 𝑛)
28	27	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ V → (⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑘 ↑ 𝑋) = (𝑛 ↑ 𝑋))
29	26, 28	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋) = (𝑛 ↑ 𝑋))
30	25, 29	oveq12d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ V → (⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋)) = ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) · (𝑛 ↑ 𝑋)))
31	15, 30	eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) · (𝑛 ↑ 𝑋)))
32	14, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) · (𝑛 ↑ 𝑋))
33		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) · (𝑛 ↑ 𝑋)) = ((0g‘𝑅) · (𝑛 ↑ 𝑋)))
34	3	ply1sca 22423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
35	34	3ad2ant1 1150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
36	35	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
37	36	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
38	37	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((0g‘𝑅) · (𝑛 ↑ 𝑋)) = ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑛 ↑ 𝑋)))
39	3	ply1lmod 22422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
40	39	3ad2ant1 1150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ LMod)
41	40	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
42	11, 4	mgpbas 20227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
43	3	ply1ring 22418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
44	11	ringmgp 20327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
45	43, 44	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
46	45	3ad2ant1 1150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ Mnd)
47	46	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
48		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
49	7, 3, 4	vr1cl 22388	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
50	49	3ad2ant1 1150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
51	50	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
52	42, 12, 47, 48, 51	mulgnn0cld 19167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
53		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
54		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘(Scalar‘𝑃))
55		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
56	4, 53, 9, 54, 55	lmod0vs 21027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑛 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
57	41, 52, 56	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
58	38, 57	eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((0g‘𝑅) · (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
59	33, 58	sylan9eqr 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) · (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
60	32, 59	eqtrid 2809	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)) → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
61	60	ex 417	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅) → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃)))
62	61	imim2d 58	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)) → (𝑠 < 𝑛 → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))))
63	62	ralimdva 3176	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))))
64	63	reximdva 3177	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))))
65	13, 64	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃)))
66	1, 2, 65	mptnn0fsupp 14040	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3454  ⦋csb 3852   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   finSupp cfsupp 9319  0cc0 11106   < clt 11249   − cmin 11447  ℕ₀cn0 12510  ...cfz 13541  Basecbs 17275  ._rcmulr 17317  Scalarcsca 17319   ·_𝑠 cvsca 17320  0_gc0g 17498   Σ_g cgsu 17499  Mndcmnd 18798  ._gcmg 19139  mulGrpcmgp 20222  Ringcrg 20321  LModclmod 20992  var₁cv1 22347  Poly₁cpl1 22348  coe₁cco1 22349

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-hash 14374  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-hom 17340  df-cco 17341  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-prds 17506  df-pws 17508  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-ghm 19290  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-psr 22070  df-mvr 22071  df-mpl 22072  df-opsr 22074  df-psr1 22351  df-vr1 22352  df-ply1 22353  df-coe1 22354

This theorem is used by:  ply1mulgsum  49198