Theorem ply1mulgsumlem4 45618

Description: Lemma 4 for ply1mulgsum 45619. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1mulgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1mulgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1mulgsum.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
ply1mulgsum.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)
ply1mulgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1mulgsum.pm	⊢ × = (.r‘𝑃)
ply1mulgsum.sm	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1mulgsum.rm	⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
ply1mulgsum.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1mulgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ply1mulgsumlem4	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝐵,𝑙   𝐶,𝑙   𝐾,𝑙   𝐿,𝑙   𝑅,𝑙   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑅,𝑘   ∗ ,𝑘   𝑘,𝑙   𝑘,𝑋   ↑ ,𝑘   · ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘,𝑙)   · (𝑙)   × (𝑘,𝑙)   ↑ (𝑙)   ∗ (𝑙)   𝑀(𝑘,𝑙)   𝑋(𝑙)

Proof of Theorem ply1mulgsumlem4

Dummy variables 𝑛 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6771	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑃) ∈ V)
2		ovexd 7290	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ V)
3		ply1mulgsum.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		ply1mulgsum.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		ply1mulgsum.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
6		ply1mulgsum.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)
7		ply1mulgsum.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
8		ply1mulgsum.pm	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
9		ply1mulgsum.sm	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
10		ply1mulgsum.rm	. . . 4 ⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
11		ply1mulgsum.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
12		ply1mulgsum.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
13	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	ply1mulgsumlem2 45616	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)))
14		vex 3426	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑛 ∈ V
15		csbov12g 7299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋)))
16		csbov2g 7301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))))
17		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
18		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (0...𝑘) = (0...𝑛))
19		fvoveq1 7278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) = (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))
20	19	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) = ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))
21	18, 20	mpteq12dv 5161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ V ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
23	17, 22	csbied 3866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
24	23	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ V → (𝑅 Σg ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))))
25	16, 24	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))))
26		csbov1g 7300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋) = (⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑘 ↑ 𝑋))
27		csbvarg 4362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑘 = 𝑛)
28	27	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ V → (⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑘 ↑ 𝑋) = (𝑛 ↑ 𝑋))
29	26, 28	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋) = (𝑛 ↑ 𝑋))
30	25, 29	oveq12d 7273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ V → (⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋)) = ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) · (𝑛 ↑ 𝑋)))
31	15, 30	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) · (𝑛 ↑ 𝑋)))
32	14, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) · (𝑛 ↑ 𝑋))
33		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) · (𝑛 ↑ 𝑋)) = ((0g‘𝑅) · (𝑛 ↑ 𝑋)))
34	3	ply1sca 21334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
35	34	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
36	35	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
37	36	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
38	37	oveq1d 7270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((0g‘𝑅) · (𝑛 ↑ 𝑋)) = ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑛 ↑ 𝑋)))
39	3	ply1lmod 21333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
40	39	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ LMod)
41	40	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
42	3	ply1ring 21329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
43	11	ringmgp 19704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
45	44	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ Mnd)
46	45	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
47		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
48	7, 3, 4	vr1cl 21298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
49	48	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
50	49	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
51	11, 4	mgpbas 19641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
52	51, 12	mulgnn0cl 18635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
53	46, 47, 50, 52	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
54		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
55		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘(Scalar‘𝑃))
56		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
57	4, 54, 9, 55, 56	lmod0vs 20071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑛 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
58	41, 53, 57	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
59	38, 58	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((0g‘𝑅) · (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
60	33, 59	sylan9eqr 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) · (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
61	32, 60	syl5eq 2791	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)) → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
62	61	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅) → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃)))
63	62	imim2d 57	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)) → (𝑠 < 𝑛 → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))))
64	63	ralimdva 3102	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))))
65	64	reximdva 3202	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))))
66	13, 65	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃)))
67	1, 2, 66	mptnn0fsupp 13645	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422  ⦋csb 3828   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   finSupp cfsupp 9058  0cc0 10802   < clt 10940   − cmin 11135  ℕ₀cn0 12163  ...cfz 13168  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  Mndcmnd 18300  ._gcmg 18615  mulGrpcmgp 19635  Ringcrg 19698  LModclmod 20038  var₁cv1 21257  Poly₁cpl1 21258  coe₁cco1 21259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-ple 16908  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-psr1 21261  df-vr1 21262  df-ply1 21263  df-coe1 21264

This theorem is referenced by:  ply1mulgsum  45619