Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1mulgsumlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1mulgsumlem4 47370
Description: Lemma 4 for ply1mulgsum 47371. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mulgsum.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ply1mulgsum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
ply1mulgsum.a 𝐴 = (coe1β€˜πΎ)
ply1mulgsum.c 𝐢 = (coe1β€˜πΏ)
ply1mulgsum.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
ply1mulgsum.pm Γ— = (.rβ€˜π‘ƒ)
ply1mulgsum.sm Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
ply1mulgsum.rm βˆ— = (.rβ€˜π‘…)
ply1mulgsum.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
ply1mulgsum.e ↑ = (.gβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
ply1mulgsumlem4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝐡,𝑙   𝐢,𝑙   𝐾,𝑙   𝐿,𝑙   𝑅,𝑙   𝐴,π‘˜   𝐡,π‘˜   𝐢,π‘˜   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝐿   𝑅,π‘˜   βˆ— ,π‘˜   π‘˜,𝑙   π‘˜,𝑋   ↑ ,π‘˜   Β· ,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘˜,𝑙)   Β· (𝑙)   Γ— (π‘˜,𝑙)   ↑ (𝑙)   βˆ— (𝑙)   𝑀(π‘˜,𝑙)   𝑋(𝑙)

Proof of Theorem ply1mulgsumlem4
Dummy variables 𝑛 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6906 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
2 ovexd 7449 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) ∈ V)
3 ply1mulgsum.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
4 ply1mulgsum.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
5 ply1mulgsum.a . . . 4 𝐴 = (coe1β€˜πΎ)
6 ply1mulgsum.c . . . 4 𝐢 = (coe1β€˜πΏ)
7 ply1mulgsum.x . . . 4 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
8 ply1mulgsum.pm . . . 4 Γ— = (.rβ€˜π‘ƒ)
9 ply1mulgsum.sm . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
10 ply1mulgsum.rm . . . 4 βˆ— = (.rβ€˜π‘…)
11 ply1mulgsum.m . . . 4 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
12 ply1mulgsum.e . . . 4 ↑ = (.gβ€˜π‘€)
133, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12ply1mulgsumlem2 47368 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘  ∈ β„•0 βˆ€π‘› ∈ β„•0 (𝑠 < 𝑛 β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…)))
14 vex 3473 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ V
15 csbov12g 7458 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋)))
16 csbov2g 7460 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) = (𝑅 Ξ£g ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))))
17 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ V β†’ 𝑛 ∈ V)
18 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (0...π‘˜) = (0...𝑛))
19 fvoveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙)) = (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙)))
2019oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))) = ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))
2118, 20mpteq12dv 5233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙)))))
2221adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ V ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙)))))
2317, 22csbied 3927 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙)))))
2423oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ V β†’ (𝑅 Ξ£g ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))))
2516, 24eqtrd 2767 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))))
26 csbov1g 7459 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋) = (⦋𝑛 / π‘˜β¦Œπ‘˜ ↑ 𝑋))
27 csbvarg 4427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œπ‘˜ = 𝑛)
2827oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ V β†’ (⦋𝑛 / π‘˜β¦Œπ‘˜ ↑ 𝑋) = (𝑛 ↑ 𝑋))
2926, 28eqtrd 2767 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋) = (𝑛 ↑ 𝑋))
3025, 29oveq12d 7432 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ V β†’ (⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋)) = ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)))
3115, 30eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)))
3214, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) Β· (𝑛 ↑ 𝑋))
33 oveq1 7421 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)) = ((0gβ€˜π‘…) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)))
343ply1sca 22145 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
35343ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
3736fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
3837oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((0gβ€˜π‘…) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)))
393ply1lmod 22144 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
40393ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
4211, 4mgpbas 20064 . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
433ply1ring 22140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
4411ringmgp 20163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
46453ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
48 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
497, 3, 4vr1cl 22110 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
50493ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5242, 12, 47, 48, 51mulgnn0cld 19034 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 ↑ 𝑋) ∈ 𝐡)
53 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
54 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
55 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
564, 53, 9, 54, 55lmod0vs 20760 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑛 ↑ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5741, 52, 56syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5838, 57eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((0gβ€˜π‘…) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5933, 58sylan9eqr 2789 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
6032, 59eqtrid 2779 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
6160ex 412 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…) β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
6261imim2d 57 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑠 < 𝑛 β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑠 < 𝑛 β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
6362ralimdva 3162 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„•0 (𝑠 < 𝑛 β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 (𝑠 < 𝑛 β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
6463reximdva 3163 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ β„•0 βˆ€π‘› ∈ β„•0 (𝑠 < 𝑛 β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ β„•0 βˆ€π‘› ∈ β„•0 (𝑠 < 𝑛 β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
6513, 64mpd 15 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘  ∈ β„•0 βˆ€π‘› ∈ β„•0 (𝑠 < 𝑛 β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
661, 2, 65mptnn0fsupp 13980 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469  β¦‹csb 3889   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   finSupp cfsupp 9375  0cc0 11124   < clt 11264   βˆ’ cmin 11460  β„•0cn0 12488  ...cfz 13502  Basecbs 17165  .rcmulr 17219  Scalarcsca 17221   ·𝑠 cvsca 17222  0gc0g 17406   Ξ£g cgsu 17407  Mndcmnd 18679  .gcmg 19007  mulGrpcmgp 20058  Ringcrg 20157  LModclmod 20725  var1cv1 22069  Poly1cpl1 22070  coe1cco1 22071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-psr 21822  df-mvr 21823  df-mpl 21824  df-opsr 21826  df-psr1 22073  df-vr1 22074  df-ply1 22075  df-coe1 22076
This theorem is referenced by:  ply1mulgsum  47371
  Copyright terms: Public domain W3C validator