Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1mulgsumlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1mulgsumlem4 46560
Description: Lemma 4 for ply1mulgsum 46561. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mulgsum.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ply1mulgsum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
ply1mulgsum.a 𝐴 = (coe1β€˜πΎ)
ply1mulgsum.c 𝐢 = (coe1β€˜πΏ)
ply1mulgsum.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
ply1mulgsum.pm Γ— = (.rβ€˜π‘ƒ)
ply1mulgsum.sm Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
ply1mulgsum.rm βˆ— = (.rβ€˜π‘…)
ply1mulgsum.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
ply1mulgsum.e ↑ = (.gβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
ply1mulgsumlem4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝐡,𝑙   𝐢,𝑙   𝐾,𝑙   𝐿,𝑙   𝑅,𝑙   𝐴,π‘˜   𝐡,π‘˜   𝐢,π‘˜   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝐿   𝑅,π‘˜   βˆ— ,π‘˜   π‘˜,𝑙   π‘˜,𝑋   ↑ ,π‘˜   Β· ,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘˜,𝑙)   Β· (𝑙)   Γ— (π‘˜,𝑙)   ↑ (𝑙)   βˆ— (𝑙)   𝑀(π‘˜,𝑙)   𝑋(𝑙)

Proof of Theorem ply1mulgsumlem4
Dummy variables 𝑛 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6861 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
2 ovexd 7396 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) ∈ V)
3 ply1mulgsum.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
4 ply1mulgsum.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
5 ply1mulgsum.a . . . 4 𝐴 = (coe1β€˜πΎ)
6 ply1mulgsum.c . . . 4 𝐢 = (coe1β€˜πΏ)
7 ply1mulgsum.x . . . 4 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
8 ply1mulgsum.pm . . . 4 Γ— = (.rβ€˜π‘ƒ)
9 ply1mulgsum.sm . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
10 ply1mulgsum.rm . . . 4 βˆ— = (.rβ€˜π‘…)
11 ply1mulgsum.m . . . 4 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
12 ply1mulgsum.e . . . 4 ↑ = (.gβ€˜π‘€)
133, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12ply1mulgsumlem2 46558 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘  ∈ β„•0 βˆ€π‘› ∈ β„•0 (𝑠 < 𝑛 β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…)))
14 vex 3451 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ V
15 csbov12g 7405 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋)))
16 csbov2g 7407 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) = (𝑅 Ξ£g ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))))
17 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ V β†’ 𝑛 ∈ V)
18 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (0...π‘˜) = (0...𝑛))
19 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙)) = (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙)))
2019oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))) = ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))
2118, 20mpteq12dv 5200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙)))))
2221adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ V ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙)))))
2317, 22csbied 3897 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙)))))
2423oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ V β†’ (𝑅 Ξ£g ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))))
2516, 24eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))))
26 csbov1g 7406 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋) = (⦋𝑛 / π‘˜β¦Œπ‘˜ ↑ 𝑋))
27 csbvarg 4395 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œπ‘˜ = 𝑛)
2827oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ V β†’ (⦋𝑛 / π‘˜β¦Œπ‘˜ ↑ 𝑋) = (𝑛 ↑ 𝑋))
2926, 28eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋) = (𝑛 ↑ 𝑋))
3025, 29oveq12d 7379 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ V β†’ (⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋)) = ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)))
3115, 30eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)))
3214, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) Β· (𝑛 ↑ 𝑋))
33 oveq1 7368 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)) = ((0gβ€˜π‘…) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)))
343ply1sca 21647 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
35343ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
3736fveq2d 6850 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
3837oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((0gβ€˜π‘…) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)))
393ply1lmod 21646 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
40393ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
4211, 4mgpbas 19910 . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
433ply1ring 21642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
4411ringmgp 19978 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
46453ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
48 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
497, 3, 4vr1cl 21611 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
50493ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5242, 12, 47, 48, 51mulgnn0cld 18905 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 ↑ 𝑋) ∈ 𝐡)
53 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
54 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
55 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
564, 53, 9, 54, 55lmod0vs 20399 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑛 ↑ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5741, 52, 56syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5838, 57eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((0gβ€˜π‘…) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5933, 58sylan9eqr 2795 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
6032, 59eqtrid 2785 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
6160ex 414 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…) β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
6261imim2d 57 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑠 < 𝑛 β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑠 < 𝑛 β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
6362ralimdva 3161 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„•0 (𝑠 < 𝑛 β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 (𝑠 < 𝑛 β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
6463reximdva 3162 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ β„•0 βˆ€π‘› ∈ β„•0 (𝑠 < 𝑛 β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ β„•0 βˆ€π‘› ∈ β„•0 (𝑠 < 𝑛 β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
6513, 64mpd 15 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘  ∈ β„•0 βˆ€π‘› ∈ β„•0 (𝑠 < 𝑛 β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
661, 2, 65mptnn0fsupp 13911 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447  β¦‹csb 3859   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   finSupp cfsupp 9311  0cc0 11059   < clt 11197   βˆ’ cmin 11393  β„•0cn0 12421  ...cfz 13433  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  0gc0g 17329   Ξ£g cgsu 17330  Mndcmnd 18564  .gcmg 18880  mulGrpcmgp 19904  Ringcrg 19972  LModclmod 20365  var1cv1 21570  Poly1cpl1 21571  coe1cco1 21572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-psr 21334  df-mvr 21335  df-mpl 21336  df-opsr 21338  df-psr1 21574  df-vr1 21575  df-ply1 21576  df-coe1 21577
This theorem is referenced by:  ply1mulgsum  46561
  Copyright terms: Public domain W3C validator