Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1mulgsumlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1mulgsumlem4 47565
Description: Lemma 4 for ply1mulgsum 47566. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mulgsum.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ply1mulgsum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
ply1mulgsum.a 𝐴 = (coe1β€˜πΎ)
ply1mulgsum.c 𝐢 = (coe1β€˜πΏ)
ply1mulgsum.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
ply1mulgsum.pm Γ— = (.rβ€˜π‘ƒ)
ply1mulgsum.sm Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
ply1mulgsum.rm βˆ— = (.rβ€˜π‘…)
ply1mulgsum.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
ply1mulgsum.e ↑ = (.gβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
ply1mulgsumlem4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝐡,𝑙   𝐢,𝑙   𝐾,𝑙   𝐿,𝑙   𝑅,𝑙   𝐴,π‘˜   𝐡,π‘˜   𝐢,π‘˜   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝐿   𝑅,π‘˜   βˆ— ,π‘˜   π‘˜,𝑙   π‘˜,𝑋   ↑ ,π‘˜   Β· ,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘˜,𝑙)   Β· (𝑙)   Γ— (π‘˜,𝑙)   ↑ (𝑙)   βˆ— (𝑙)   𝑀(π‘˜,𝑙)   𝑋(𝑙)

Proof of Theorem ply1mulgsumlem4
Dummy variables 𝑛 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6905 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
2 ovexd 7448 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) ∈ V)
3 ply1mulgsum.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
4 ply1mulgsum.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
5 ply1mulgsum.a . . . 4 𝐴 = (coe1β€˜πΎ)
6 ply1mulgsum.c . . . 4 𝐢 = (coe1β€˜πΏ)
7 ply1mulgsum.x . . . 4 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
8 ply1mulgsum.pm . . . 4 Γ— = (.rβ€˜π‘ƒ)
9 ply1mulgsum.sm . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
10 ply1mulgsum.rm . . . 4 βˆ— = (.rβ€˜π‘…)
11 ply1mulgsum.m . . . 4 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
12 ply1mulgsum.e . . . 4 ↑ = (.gβ€˜π‘€)
133, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12ply1mulgsumlem2 47563 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘  ∈ β„•0 βˆ€π‘› ∈ β„•0 (𝑠 < 𝑛 β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…)))
14 vex 3467 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ V
15 csbov12g 7458 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋)))
16 csbov2g 7460 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) = (𝑅 Ξ£g ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))))
17 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ V β†’ 𝑛 ∈ V)
18 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (0...π‘˜) = (0...𝑛))
19 fvoveq1 7436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙)) = (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙)))
2019oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))) = ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))
2118, 20mpteq12dv 5235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙)))))
2221adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ V ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙)))))
2317, 22csbied 3924 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙)))))
2423oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ V β†’ (𝑅 Ξ£g ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))))
2516, 24eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))))
26 csbov1g 7459 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋) = (⦋𝑛 / π‘˜β¦Œπ‘˜ ↑ 𝑋))
27 csbvarg 4428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œπ‘˜ = 𝑛)
2827oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ V β†’ (⦋𝑛 / π‘˜β¦Œπ‘˜ ↑ 𝑋) = (𝑛 ↑ 𝑋))
2926, 28eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋) = (𝑛 ↑ 𝑋))
3025, 29oveq12d 7431 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ V β†’ (⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋)) = ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)))
3115, 30eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)))
3214, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) Β· (𝑛 ↑ 𝑋))
33 oveq1 7420 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)) = ((0gβ€˜π‘…) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)))
343ply1sca 22175 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
35343ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
3635ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
3736fveq2d 6894 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
3837oveq1d 7428 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((0gβ€˜π‘…) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)))
393ply1lmod 22174 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
40393ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
4140ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
4211, 4mgpbas 20079 . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
433ply1ring 22170 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
4411ringmgp 20178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
46453ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
4746ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
48 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
497, 3, 4vr1cl 22140 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
50493ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5150ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5242, 12, 47, 48, 51mulgnn0cld 19049 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑛 ↑ 𝑋) ∈ 𝐡)
53 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
54 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
55 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
564, 53, 9, 54, 55lmod0vs 20777 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑛 ↑ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5741, 52, 56syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5838, 57eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((0gβ€˜π‘…) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5933, 58sylan9eqr 2787 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) Β· (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
6032, 59eqtrid 2777 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
6160ex 411 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…) β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
6261imim2d 57 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((𝑠 < 𝑛 β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑠 < 𝑛 β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
6362ralimdva 3157 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„•0 (𝑠 < 𝑛 β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 (𝑠 < 𝑛 β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
6463reximdva 3158 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ β„•0 βˆ€π‘› ∈ β„•0 (𝑠 < 𝑛 β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ β„•0 βˆ€π‘› ∈ β„•0 (𝑠 < 𝑛 β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
6513, 64mpd 15 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘  ∈ β„•0 βˆ€π‘› ∈ β„•0 (𝑠 < 𝑛 β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
661, 2, 65mptnn0fsupp 13989 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463  β¦‹csb 3886   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   finSupp cfsupp 9380  0cc0 11133   < clt 11273   βˆ’ cmin 11469  β„•0cn0 12497  ...cfz 13511  Basecbs 17174  .rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ·𝑠 cvsca 17231  0gc0g 17415   Ξ£g cgsu 17416  Mndcmnd 18688  .gcmg 19022  mulGrpcmgp 20073  Ringcrg 20172  LModclmod 20742  var1cv1 22098  Poly1cpl1 22099  coe1cco1 22100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22102  df-vr1 22103  df-ply1 22104  df-coe1 22105
This theorem is referenced by:  ply1mulgsum  47566
  Copyright terms: Public domain W3C validator