Theorem ply1mulgsumlem4 45357

Description: Lemma 4 for ply1mulgsum 45358. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1mulgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1mulgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1mulgsum.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
ply1mulgsum.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)
ply1mulgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1mulgsum.pm	⊢ × = (.r‘𝑃)
ply1mulgsum.sm	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1mulgsum.rm	⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
ply1mulgsum.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1mulgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ply1mulgsumlem4	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝐵,𝑙   𝐶,𝑙   𝐾,𝑙   𝐿,𝑙   𝑅,𝑙   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑅,𝑘   ∗ ,𝑘   𝑘,𝑙   𝑘,𝑋   ↑ ,𝑘   · ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘,𝑙)   · (𝑙)   × (𝑘,𝑙)   ↑ (𝑙)   ∗ (𝑙)   𝑀(𝑘,𝑙)   𝑋(𝑙)

Proof of Theorem ply1mulgsumlem4

Dummy variables 𝑛 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6721	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑃) ∈ V)
2		ovexd 7237	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ V)
3		ply1mulgsum.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		ply1mulgsum.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		ply1mulgsum.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
6		ply1mulgsum.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)
7		ply1mulgsum.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
8		ply1mulgsum.pm	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
9		ply1mulgsum.sm	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
10		ply1mulgsum.rm	. . . 4 ⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
11		ply1mulgsum.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
12		ply1mulgsum.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
13	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	ply1mulgsumlem2 45355	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)))
14		vex 3405	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑛 ∈ V
15		csbov12g 7246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋)))
16		csbov2g 7248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))))
17		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
18		oveq2 7210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (0...𝑘) = (0...𝑛))
19		fvoveq1 7225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) = (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))
20	19	oveq2d 7218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) = ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))
21	18, 20	mpteq12dv 5129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
22	21	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ V ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
23	17, 22	csbied 3840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
24	23	oveq2d 7218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ V → (𝑅 Σg ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))))
25	16, 24	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))))
26		csbov1g 7247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋) = (⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑘 ↑ 𝑋))
27		csbvarg 4336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑘 = 𝑛)
28	27	oveq1d 7217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ V → (⦋𝑛 / 𝑘⦌𝑘 ↑ 𝑋) = (𝑛 ↑ 𝑋))
29	26, 28	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋) = (𝑛 ↑ 𝑋))
30	25, 29	oveq12d 7220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ V → (⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋)) = ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) · (𝑛 ↑ 𝑋)))
31	15, 30	eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) · (𝑛 ↑ 𝑋)))
32	14, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) · (𝑛 ↑ 𝑋))
33		oveq1 7209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) · (𝑛 ↑ 𝑋)) = ((0g‘𝑅) · (𝑛 ↑ 𝑋)))
34	3	ply1sca 21146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
35	34	3ad2ant1 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
36	35	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
37	36	fveq2d 6710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
38	37	oveq1d 7217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((0g‘𝑅) · (𝑛 ↑ 𝑋)) = ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑛 ↑ 𝑋)))
39	3	ply1lmod 21145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
40	39	3ad2ant1 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ LMod)
41	40	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
42	3	ply1ring 21141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
43	11	ringmgp 19540	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
45	44	3ad2ant1 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ Mnd)
46	45	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
47		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
48	7, 3, 4	vr1cl 21110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
49	48	3ad2ant1 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
50	49	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
51	11, 4	mgpbas 19482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
52	51, 12	mulgnn0cl 18480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑛 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
53	46, 47, 50, 52	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
54		eqid 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
55		eqid 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘(Scalar‘𝑃))
56		eqid 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
57	4, 54, 9, 55, 56	lmod0vs 19904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑛 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
58	41, 53, 57	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
59	38, 58	eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((0g‘𝑅) · (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
60	33, 59	sylan9eqr 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) · (𝑛 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
61	32, 60	syl5eq 2786	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)) → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))
62	61	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅) → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃)))
63	62	imim2d 57	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)) → (𝑠 < 𝑛 → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))))
64	63	ralimdva 3093	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))))
65	64	reximdva 3186	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (0g‘𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃))))
66	13, 65	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → ⦋𝑛 / 𝑘⦌((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑃)))
67	1, 2, 66	mptnn0fsupp 13553	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3054  ∃wrex 3055  Vcvv 3401  ⦋csb 3802   class class class wbr 5043   ↦ cmpt 5124  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202   finSupp cfsupp 8974  0cc0 10712   < clt 10850   − cmin 11045  ℕ₀cn0 12073  ...cfz 13078  Basecbs 16684  ._rcmulr 16768  Scalarcsca 16770   ·_𝑠 cvsca 16771  0_gc0g 16916   Σ_g cgsu 16917  Mndcmnd 18145  ._gcmg 18460  mulGrpcmgp 19476  Ringcrg 19534  LModclmod 19871  var₁cv1 21069  Poly₁cpl1 21070  coe₁cco1 21071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-se 5499  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-isom 6378  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-of 7458  df-ofr 7459  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-supp 7893  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-er 8380  df-map 8499  df-pm 8500  df-ixp 8568  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-fsupp 8975  df-oi 9115  df-card 9538  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-4 11878  df-5 11879  df-6 11880  df-7 11881  df-8 11882  df-9 11883  df-n0 12074  df-z 12160  df-dec 12277  df-uz 12422  df-fz 13079  df-fzo 13222  df-seq 13558  df-hash 13880  df-struct 16686  df-ndx 16687  df-slot 16688  df-base 16690  df-sets 16691  df-ress 16692  df-plusg 16780  df-mulr 16781  df-sca 16783  df-vsca 16784  df-tset 16786  df-ple 16787  df-0g 16918  df-gsum 16919  df-mre 17061  df-mrc 17062  df-acs 17064  df-mgm 18086  df-sgrp 18135  df-mnd 18146  df-mhm 18190  df-submnd 18191  df-grp 18340  df-minusg 18341  df-sbg 18342  df-mulg 18461  df-subg 18512  df-ghm 18592  df-cntz 18683  df-cmn 19144  df-abl 19145  df-mgp 19477  df-ur 19489  df-ring 19536  df-subrg 19770  df-lmod 19873  df-lss 19941  df-psr 20840  df-mvr 20841  df-mpl 20842  df-opsr 20844  df-psr1 21073  df-vr1 21074  df-ply1 21075  df-coe1 21076

This theorem is referenced by:  ply1mulgsum  45358