Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1mulgsumlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1mulgsumlem4 47643
Description: Lemma 4 for ply1mulgsum 47644. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mulgsum.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1mulgsum.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1mulgsum.a 𝐴 = (coe1𝐾)
ply1mulgsum.c 𝐶 = (coe1𝐿)
ply1mulgsum.x 𝑋 = (var1𝑅)
ply1mulgsum.pm × = (.r𝑃)
ply1mulgsum.sm · = ( ·𝑠𝑃)
ply1mulgsum.rm = (.r𝑅)
ply1mulgsum.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1mulgsum.e = (.g𝑀)
Assertion
Ref Expression
ply1mulgsumlem4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑃))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝐵,𝑙   𝐶,𝑙   𝐾,𝑙   𝐿,𝑙   𝑅,𝑙   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑅,𝑘   ,𝑘   𝑘,𝑙   𝑘,𝑋   ,𝑘   · ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘,𝑙)   · (𝑙)   × (𝑘,𝑙)   (𝑙)   (𝑙)   𝑀(𝑘,𝑙)   𝑋(𝑙)

Proof of Theorem ply1mulgsumlem4
Dummy variables 𝑛 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6911 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (0g𝑃) ∈ V)
2 ovexd 7454 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)) ∈ V)
3 ply1mulgsum.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 ply1mulgsum.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
5 ply1mulgsum.a . . . 4 𝐴 = (coe1𝐾)
6 ply1mulgsum.c . . . 4 𝐶 = (coe1𝐿)
7 ply1mulgsum.x . . . 4 𝑋 = (var1𝑅)
8 ply1mulgsum.pm . . . 4 × = (.r𝑃)
9 ply1mulgsum.sm . . . 4 · = ( ·𝑠𝑃)
10 ply1mulgsum.rm . . . 4 = (.r𝑅)
11 ply1mulgsum.m . . . 4 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
12 ply1mulgsum.e . . . 4 = (.g𝑀)
133, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12ply1mulgsumlem2 47641 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))) = (0g𝑅)))
14 vex 3465 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ V
15 csbov12g 7464 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ V → 𝑛 / 𝑘((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)) = (𝑛 / 𝑘(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · 𝑛 / 𝑘(𝑘 𝑋)))
16 csbov2g 7466 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ V → 𝑛 / 𝑘(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg 𝑛 / 𝑘(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))))
17 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
18 oveq2 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → (0...𝑘) = (0...𝑛))
19 fvoveq1 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑛 → (𝐶‘(𝑘𝑙)) = (𝐶‘(𝑛𝑙)))
2019oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) = ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))
2118, 20mpteq12dv 5240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙)))))
2221adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ V ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙)))))
2317, 22csbied 3927 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ V → 𝑛 / 𝑘(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙)))))
2423oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ V → (𝑅 Σg 𝑛 / 𝑘(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))))
2516, 24eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ V → 𝑛 / 𝑘(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))))
26 csbov1g 7465 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ V → 𝑛 / 𝑘(𝑘 𝑋) = (𝑛 / 𝑘𝑘 𝑋))
27 csbvarg 4433 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ V → 𝑛 / 𝑘𝑘 = 𝑛)
2827oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ V → (𝑛 / 𝑘𝑘 𝑋) = (𝑛 𝑋))
2926, 28eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ V → 𝑛 / 𝑘(𝑘 𝑋) = (𝑛 𝑋))
3025, 29oveq12d 7437 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ V → (𝑛 / 𝑘(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · 𝑛 / 𝑘(𝑘 𝑋)) = ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))) · (𝑛 𝑋)))
3115, 30eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ V → 𝑛 / 𝑘((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)) = ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))) · (𝑛 𝑋)))
3214, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑛 / 𝑘((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)) = ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))) · (𝑛 𝑋))
33 oveq1 7426 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))) = (0g𝑅) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))) · (𝑛 𝑋)) = ((0g𝑅) · (𝑛 𝑋)))
343ply1sca 22195 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
35343ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
3635ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
3736fveq2d 6900 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
3837oveq1d 7434 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((0g𝑅) · (𝑛 𝑋)) = ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑛 𝑋)))
393ply1lmod 22194 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
40393ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑃 ∈ LMod)
4140ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
4211, 4mgpbas 20092 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝑀)
433ply1ring 22190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4411ringmgp 20191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
46453ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑀 ∈ Mnd)
4746ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
48 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
497, 3, 4vr1cl 22160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
50493ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑋𝐵)
5150ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
5242, 12, 47, 48, 51mulgnn0cld 19058 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 𝑋) ∈ 𝐵)
53 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
54 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘(Scalar‘𝑃))
55 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑃) = (0g𝑃)
564, 53, 9, 54, 55lmod0vs 20790 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑛 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑛 𝑋)) = (0g𝑃))
5741, 52, 56syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) · (𝑛 𝑋)) = (0g𝑃))
5838, 57eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((0g𝑅) · (𝑛 𝑋)) = (0g𝑃))
5933, 58sylan9eqr 2787 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))) = (0g𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))) · (𝑛 𝑋)) = (0g𝑃))
6032, 59eqtrid 2777 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))) = (0g𝑅)) → 𝑛 / 𝑘((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃))
6160ex 411 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))) = (0g𝑅) → 𝑛 / 𝑘((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃)))
6261imim2d 57 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))) = (0g𝑅)) → (𝑠 < 𝑛𝑛 / 𝑘((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃))))
6362ralimdva 3156 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))) = (0g𝑅)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛𝑛 / 𝑘((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃))))
6463reximdva 3157 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))) = (0g𝑅)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛𝑛 / 𝑘((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃))))
6513, 64mpd 15 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑛𝑛 / 𝑘((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃)))
661, 2, 65mptnn0fsupp 13998 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  Vcvv 3461  csb 3889   class class class wbr 5149  cmpt 5232  cfv 6549  (class class class)co 7419   finSupp cfsupp 9387  0cc0 11140   < clt 11280  cmin 11476  0cn0 12505  ...cfz 13519  Basecbs 17183  .rcmulr 17237  Scalarcsca 17239   ·𝑠 cvsca 17240  0gc0g 17424   Σg cgsu 17425  Mndcmnd 18697  .gcmg 19031  mulGrpcmgp 20086  Ringcrg 20185  LModclmod 20755  var1cv1 22118  Poly1cpl1 22119  coe1cco1 22120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-hom 17260  df-cco 17261  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-prds 17432  df-pws 17434  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-psr 21859  df-mvr 21860  df-mpl 21861  df-opsr 21863  df-psr1 22122  df-vr1 22123  df-ply1 22124  df-coe1 22125
This theorem is referenced by:  ply1mulgsum  47644
  Copyright terms: Public domain W3C validator