Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1mulgsumlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1mulgsumlem3 47059
Description: Lemma 3 for ply1mulgsum 47061. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mulgsum.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
ply1mulgsum.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
ply1mulgsum.a ๐ด = (coe1โ€˜๐พ)
ply1mulgsum.c ๐ถ = (coe1โ€˜๐ฟ)
ply1mulgsum.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
ply1mulgsum.pm ร— = (.rโ€˜๐‘ƒ)
ply1mulgsum.sm ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
ply1mulgsum.rm โˆ— = (.rโ€˜๐‘…)
ply1mulgsum.m ๐‘€ = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
ply1mulgsum.e โ†‘ = (.gโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
ply1mulgsumlem3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘™)))))) finSupp (0gโ€˜๐‘…))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘™   ๐ต,๐‘™   ๐ถ,๐‘™   ๐พ,๐‘™   ๐ฟ,๐‘™   ๐‘…,๐‘™   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐ถ,๐‘˜   ๐‘˜,๐พ   ๐‘˜,๐ฟ   ๐‘…,๐‘˜   โˆ— ,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘™
Allowed substitution hints:   ๐‘ƒ(๐‘˜,๐‘™)   ยท (๐‘˜,๐‘™)   ร— (๐‘˜,๐‘™)   โ†‘ (๐‘˜,๐‘™)   โˆ— (๐‘™)   ๐‘€(๐‘˜,๐‘™)   ๐‘‹(๐‘˜,๐‘™)

Proof of Theorem ply1mulgsumlem3
Dummy variables ๐‘› ๐‘  are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6906 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
2 ovexd 7443 . 2 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘™))))) โˆˆ V)
3 ply1mulgsum.p . . . 4 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
4 ply1mulgsum.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
5 ply1mulgsum.a . . . 4 ๐ด = (coe1โ€˜๐พ)
6 ply1mulgsum.c . . . 4 ๐ถ = (coe1โ€˜๐ฟ)
7 ply1mulgsum.x . . . 4 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
8 ply1mulgsum.pm . . . 4 ร— = (.rโ€˜๐‘ƒ)
9 ply1mulgsum.sm . . . 4 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
10 ply1mulgsum.rm . . . 4 โˆ— = (.rโ€˜๐‘…)
11 ply1mulgsum.m . . . 4 ๐‘€ = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
12 ply1mulgsum.e . . . 4 โ†‘ = (.gโ€˜๐‘€)
133, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12ply1mulgsumlem2 47058 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…)))
14 vex 3478 . . . . . . . . 9 ๐‘› โˆˆ V
15 csbov2g 7454 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ V โ†’ โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘™))))) = (๐‘… ฮฃg โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐‘™ โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘™))))))
16 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ V โ†’ ๐‘› โˆˆ V)
17 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (0...๐‘˜) = (0...๐‘›))
18 fvoveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐ถโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘™)) = (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)))
1918oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘™))) = ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))
2017, 19mpteq12dv 5239 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘™)))) = (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)))))
2120adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ V โˆง ๐‘˜ = ๐‘›) โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘™)))) = (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)))))
2216, 21csbied 3931 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ V โ†’ โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐‘™ โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘™)))) = (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)))))
2322oveq2d 7424 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ V โ†’ (๐‘… ฮฃg โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐‘™ โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘™))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))))
2415, 23eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ V โ†’ โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘™))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))))
2514, 24ax-mp 5 . . . . . . . 8 โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘™))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)))))
26 simpr 485 . . . . . . . 8 (((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…))
2725, 26eqtrid 2784 . . . . . . 7 (((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…))
2827ex 413 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…) โ†’ โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…)))
2928imim2d 57 . . . . 5 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘  < ๐‘› โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘  < ๐‘› โ†’ โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…))))
3029ralimdva 3167 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…))))
3130reximdva 3168 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…))))
3213, 31mpd 15 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…)))
331, 2, 32mptnn0fsupp 13961 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘˜ โˆ’ ๐‘™)))))) finSupp (0gโ€˜๐‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  Vcvv 3474  โฆ‹csb 3893   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   finSupp cfsupp 9360  0cc0 11109   < clt 11247   โˆ’ cmin 11443  โ„•0cn0 12471  ...cfz 13483  Basecbs 17143  .rcmulr 17197   ยท๐‘  cvsca 17200  0gc0g 17384   ฮฃg cgsu 17385  .gcmg 18949  mulGrpcmgp 19986  Ringcrg 20055  var1cv1 21699  Poly1cpl1 21700  coe1cco1 21701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-seq 13966  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-tset 17215  df-ple 17216  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mgp 19987  df-ring 20057  df-psr 21461  df-mpl 21463  df-opsr 21465  df-psr1 21703  df-ply1 21705  df-coe1 21706
This theorem is referenced by:  ply1mulgsum  47061
  Copyright terms: Public domain W3C validator