MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matgsum 21782
Description: Finite commutative sums in a matrix algebra are taken componentwise. (Contributed by AV, 26-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matgsum.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matgsum.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matgsum.z 0 = (0g𝐴)
matgsum.i (𝜑𝑁 ∈ Fin)
matgsum.j (𝜑𝐽𝑊)
matgsum.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
matgsum.f ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈) ∈ 𝐵)
matgsum.w (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
matgsum (𝜑 → (𝐴 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐽,𝑗,𝑦   𝑖,𝑁,𝑗,𝑦   𝑅,𝑖,𝑗,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑗)   𝐴(𝑦,𝑖,𝑗)   𝐵(𝑦,𝑖,𝑗)   𝑈(𝑦,𝑖,𝑗)   𝑊(𝑦,𝑖,𝑗)   0 (𝑦,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem matgsum
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 matgsum.j . . . 4 (𝜑𝐽𝑊)
21mptexd 7171 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈)) ∈ V)
3 matgsum.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
43ovexi 7388 . . . 4 𝐴 ∈ V
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ V)
6 ovexd 7389 . . 3 (𝜑 → (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V)
7 matgsum.i . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
8 matgsum.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
9 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
103, 9matbas 21756 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
117, 8, 10syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
1211eqcomd 2742 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
133, 9matplusg 21757 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (+g𝐴))
147, 8, 13syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (+g𝐴))
1514eqcomd 2742 . . 3 (𝜑 → (+g𝐴) = (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
162, 5, 6, 12, 15gsumpropd 18530 . 2 (𝜑 → (𝐴 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))) = ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))))
17 mpompts 7994 . . . . . 6 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)
1817a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))
1918mpteq2dv 5206 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈)) = (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)))
2019oveq2d 7370 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))) = ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))))
21 eqid 2736 . . . 4 (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
22 eqid 2736 . . . 4 (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
23 xpfi 9258 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
247, 7, 23syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
25 matgsum.f . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈) ∈ 𝐵)
26 matgsum.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
2725, 26eleqtrdi 2848 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈) ∈ (Base‘𝐴))
2817eqcomi 2745 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈)
2928a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))
307, 8jca 512 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3130adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3231, 10syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐽) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
3327, 29, 323eltr4d 2853 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
34 matgsum.w . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈)) finSupp 0 )
3528mpteq2i 5209 . . . . . 6 (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)) = (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))
36 matgsum.z . . . . . . 7 0 = (0g𝐴)
3736eqcomi 2745 . . . . . 6 (0g𝐴) = 0
3834, 35, 373brtr4g 5138 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)) finSupp (0g𝐴))
393, 9mat0 21762 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (0g𝐴))
407, 8, 39syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (0g𝐴))
4138, 40breqtrrd 5132 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)) finSupp (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
429, 21, 22, 24, 1, 8, 33, 41frlmgsum 21174 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))))
4320, 42eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))))
44 fvex 6853 . . . . . . . 8 (2nd𝑧) ∈ V
45 csbov2g 7400 . . . . . . . 8 ((2nd𝑧) ∈ V → (2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = (𝑅 Σg (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈)))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . 7 (2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = (𝑅 Σg (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈))
4746csbeq2i 3862 . . . . . 6 (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = (1st𝑧) / 𝑖(𝑅 Σg (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈))
48 fvex 6853 . . . . . . 7 (1st𝑧) ∈ V
49 csbov2g 7400 . . . . . . 7 ((1st𝑧) ∈ V → (1st𝑧) / 𝑖(𝑅 Σg (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈)) = (𝑅 Σg (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈)))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . 6 (1st𝑧) / 𝑖(𝑅 Σg (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈)) = (𝑅 Σg (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈))
51 csbmpt2 5514 . . . . . . . . . 10 ((2nd𝑧) ∈ V → (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈) = (𝑦𝐽(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))
5244, 51ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈) = (𝑦𝐽(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)
5352csbeq2i 3862 . . . . . . . 8 (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈) = (1st𝑧) / 𝑖(𝑦𝐽(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)
54 csbmpt2 5514 . . . . . . . . 9 ((1st𝑧) ∈ V → (1st𝑧) / 𝑖(𝑦𝐽(2nd𝑧) / 𝑗𝑈) = (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))
5548, 54ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1st𝑧) / 𝑖(𝑦𝐽(2nd𝑧) / 𝑗𝑈) = (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)
5653, 55eqtri 2764 . . . . . . 7 (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈) = (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)
5756oveq2i 7365 . . . . . 6 (𝑅 Σg (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈)) = (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))
5847, 50, 573eqtrri 2769 . . . . 5 (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)) = (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))
5958mpteq2i 5209 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)))
60 mpompts 7994 . . . 4 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)))
6159, 60eqtr4i 2767 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)))
6261a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
6316, 43, 623eqtrd 2780 1 (𝜑 → (𝐴 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3444  csb 3854   class class class wbr 5104  cmpt 5187   × cxp 5630  cfv 6494  (class class class)co 7354  cmpo 7356  1st c1st 7916  2nd c2nd 7917  Fincfn 8880   finSupp cfsupp 9302  Basecbs 17080  +gcplusg 17130  0gc0g 17318   Σg cgsu 17319  Ringcrg 19960   freeLMod cfrlm 21148   Mat cmat 21750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-supp 8090  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8645  df-map 8764  df-ixp 8833  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-fsupp 9303  df-sup 9375  df-oi 9443  df-card 9872  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12411  df-z 12497  df-dec 12616  df-uz 12761  df-fz 13422  df-fzo 13565  df-seq 13904  df-hash 14228  df-struct 17016  df-sets 17033  df-slot 17051  df-ndx 17063  df-base 17081  df-ress 17110  df-plusg 17143  df-mulr 17144  df-sca 17146  df-vsca 17147  df-ip 17148  df-tset 17149  df-ple 17150  df-ds 17152  df-hom 17154  df-cco 17155  df-0g 17320  df-gsum 17321  df-prds 17326  df-pws 17328  df-mgm 18494  df-sgrp 18543  df-mnd 18554  df-mhm 18598  df-grp 18748  df-minusg 18749  df-sbg 18750  df-subg 18921  df-cntz 19093  df-cmn 19560  df-abl 19561  df-mgp 19893  df-ur 19910  df-ring 19962  df-subrg 20216  df-lmod 20320  df-lss 20389  df-sra 20629  df-rgmod 20630  df-dsmm 21134  df-frlm 21149  df-mat 21751
This theorem is referenced by:  decpmatmul  22117  pmatcollpw2  22123
  Copyright terms: Public domain W3C validator