MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matgsum 21786
Description: Finite commutative sums in a matrix algebra are taken componentwise. (Contributed by AV, 26-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matgsum.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matgsum.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matgsum.z 0 = (0g𝐴)
matgsum.i (𝜑𝑁 ∈ Fin)
matgsum.j (𝜑𝐽𝑊)
matgsum.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
matgsum.f ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈) ∈ 𝐵)
matgsum.w (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
matgsum (𝜑 → (𝐴 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐽,𝑗,𝑦   𝑖,𝑁,𝑗,𝑦   𝑅,𝑖,𝑗,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑗)   𝐴(𝑦,𝑖,𝑗)   𝐵(𝑦,𝑖,𝑗)   𝑈(𝑦,𝑖,𝑗)   𝑊(𝑦,𝑖,𝑗)   0 (𝑦,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem matgsum
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 matgsum.j . . . 4 (𝜑𝐽𝑊)
21mptexd 7174 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈)) ∈ V)
3 matgsum.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
43ovexi 7391 . . . 4 𝐴 ∈ V
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ V)
6 ovexd 7392 . . 3 (𝜑 → (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ V)
7 matgsum.i . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
8 matgsum.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
9 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
103, 9matbas 21760 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
117, 8, 10syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
1211eqcomd 2742 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
133, 9matplusg 21761 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (+g𝐴))
147, 8, 13syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (+g𝐴))
1514eqcomd 2742 . . 3 (𝜑 → (+g𝐴) = (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
162, 5, 6, 12, 15gsumpropd 18533 . 2 (𝜑 → (𝐴 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))) = ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))))
17 mpompts 7997 . . . . . 6 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)
1817a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))
1918mpteq2dv 5207 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈)) = (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)))
2019oveq2d 7373 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))) = ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))))
21 eqid 2736 . . . 4 (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
22 eqid 2736 . . . 4 (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
23 xpfi 9261 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
247, 7, 23syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
25 matgsum.f . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈) ∈ 𝐵)
26 matgsum.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
2725, 26eleqtrdi 2848 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈) ∈ (Base‘𝐴))
2817eqcomi 2745 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈)
2928a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))
307, 8jca 512 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3130adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3231, 10syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐽) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
3327, 29, 323eltr4d 2853 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
34 matgsum.w . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈)) finSupp 0 )
3528mpteq2i 5210 . . . . . 6 (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)) = (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))
36 matgsum.z . . . . . . 7 0 = (0g𝐴)
3736eqcomi 2745 . . . . . 6 (0g𝐴) = 0
3834, 35, 373brtr4g 5139 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)) finSupp (0g𝐴))
393, 9mat0 21766 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (0g𝐴))
407, 8, 39syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (0g𝐴))
4138, 40breqtrrd 5133 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)) finSupp (0g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
429, 21, 22, 24, 1, 8, 33, 41frlmgsum 21178 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))))
4320, 42eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))))
44 fvex 6855 . . . . . . . 8 (2nd𝑧) ∈ V
45 csbov2g 7403 . . . . . . . 8 ((2nd𝑧) ∈ V → (2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = (𝑅 Σg (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈)))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . 7 (2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = (𝑅 Σg (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈))
4746csbeq2i 3863 . . . . . 6 (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)) = (1st𝑧) / 𝑖(𝑅 Σg (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈))
48 fvex 6855 . . . . . . 7 (1st𝑧) ∈ V
49 csbov2g 7403 . . . . . . 7 ((1st𝑧) ∈ V → (1st𝑧) / 𝑖(𝑅 Σg (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈)) = (𝑅 Σg (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈)))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . 6 (1st𝑧) / 𝑖(𝑅 Σg (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈)) = (𝑅 Σg (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈))
51 csbmpt2 5515 . . . . . . . . . 10 ((2nd𝑧) ∈ V → (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈) = (𝑦𝐽(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))
5244, 51ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈) = (𝑦𝐽(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)
5352csbeq2i 3863 . . . . . . . 8 (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈) = (1st𝑧) / 𝑖(𝑦𝐽(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)
54 csbmpt2 5515 . . . . . . . . 9 ((1st𝑧) ∈ V → (1st𝑧) / 𝑖(𝑦𝐽(2nd𝑧) / 𝑗𝑈) = (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))
5548, 54ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1st𝑧) / 𝑖(𝑦𝐽(2nd𝑧) / 𝑗𝑈) = (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)
5653, 55eqtri 2764 . . . . . . 7 (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈) = (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)
5756oveq2i 7368 . . . . . 6 (𝑅 Σg (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑦𝐽𝑈)) = (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))
5847, 50, 573eqtrri 2769 . . . . 5 (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈)) = (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))
5958mpteq2i 5210 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)))
60 mpompts 7997 . . . 4 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))) = (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗(𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)))
6159, 60eqtr4i 2767 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈)))
6261a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑁 × 𝑁) ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽(1st𝑧) / 𝑖(2nd𝑧) / 𝑗𝑈))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
6316, 43, 623eqtrd 2780 1 (𝜑 → (𝐴 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝑈))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  csb 3855   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  1st c1st 7919  2nd c2nd 7920  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Ringcrg 19964   freeLMod cfrlm 21152   Mat cmat 21754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mat 21755
This theorem is referenced by:  decpmatmul  22121  pmatcollpw2  22127
  Copyright terms: Public domain W3C validator