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Theorem monmat2matmon 22189
Description: The transformation of a polynomial matrix having scaled monomials with the same power as entries into a scaled monomial as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 11-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
monmat2matmon.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
monmat2matmon.c 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
monmat2matmon.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
monmat2matmon.m1 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
monmat2matmon.e1 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘„))
monmat2matmon.x 𝑋 = (var1β€˜π΄)
monmat2matmon.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
monmat2matmon.k 𝐾 = (Baseβ€˜π΄)
monmat2matmon.q 𝑄 = (Poly1β€˜π΄)
monmat2matmon.i 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
monmat2matmon.e2 𝐸 = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
monmat2matmon.y π‘Œ = (var1β€˜π‘…)
monmat2matmon.m2 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
monmat2matmon.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
monmat2matmon (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (πΌβ€˜((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€))) = (𝑀 βˆ— (𝐿 ↑ 𝑋)))

Proof of Theorem monmat2matmon
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 19983 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 simpll 766 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
3 simplr 768 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 monmat2matmon.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 monmat2matmon.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π΄)
6 monmat2matmon.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
7 monmat2matmon.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
8 monmat2matmon.c . . . . 5 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
9 monmat2matmon.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
10 monmat2matmon.m2 . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
11 monmat2matmon.e2 . . . . 5 𝐸 = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
12 monmat2matmon.y . . . . 5 π‘Œ = (var1β€˜π‘…)
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12mat2pmatscmxcl 22105 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ ((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) ∈ 𝐡)
14 monmat2matmon.m1 . . . . 5 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
15 monmat2matmon.e1 . . . . 5 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘„))
16 monmat2matmon.x . . . . 5 𝑋 = (var1β€˜π΄)
17 monmat2matmon.q . . . . 5 𝑄 = (Poly1β€˜π΄)
18 monmat2matmon.i . . . . 5 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
197, 8, 9, 14, 15, 16, 4, 17, 18pm2mpfval 22161 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€))) = (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))
202, 3, 13, 19syl3anc 1372 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (πΌβ€˜((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€))) = (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))
211, 20sylanl2 680 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (πΌβ€˜((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€))) = (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))
22 simpll 766 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
23 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0))
2423anim1i 616 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0))
25 df-3an 1090 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ↔ ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0))
2624, 25sylibr 233 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„•0))
27 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π΄) = (0gβ€˜π΄)
287, 8, 4, 5, 27, 11, 12, 10, 6monmatcollpw 22144 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ (((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) decompPMat π‘˜) = if(π‘˜ = 𝐿, 𝑀, (0gβ€˜π΄)))
2922, 26, 28syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) decompPMat π‘˜) = if(π‘˜ = 𝐿, 𝑀, (0gβ€˜π΄)))
3029oveq1d 7377 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (if(π‘˜ = 𝐿, 𝑀, (0gβ€˜π΄)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))
311a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring))
3231anim2d 613 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring)))
3332anim1d 612 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0))))
3433imdistanri 571 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0))
35 ovif 7459 . . . . . . . 8 (if(π‘˜ = 𝐿, 𝑀, (0gβ€˜π΄)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), ((0gβ€˜π΄) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))
364matring 21808 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
3717ply1sca 21640 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ Ring β†’ 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘„))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘„))
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘„))
4039fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (0gβ€˜π΄) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)))
4140oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((0gβ€˜π΄) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))
4217ply1lmod 21639 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Ring β†’ 𝑄 ∈ LMod)
4336, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑄 ∈ LMod)
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑄 ∈ LMod)
45 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (mulGrpβ€˜π‘„) = (mulGrpβ€˜π‘„)
46 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„)
4745, 46mgpbas 19909 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘„))
4817ply1ring 21635 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ Ring β†’ 𝑄 ∈ Ring)
4936, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑄 ∈ Ring)
5045ringmgp 19977 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘„) ∈ Mnd)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (mulGrpβ€˜π‘„) ∈ Mnd)
5251ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (mulGrpβ€˜π‘„) ∈ Mnd)
53 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
5416, 17, 46vr1cl 21604 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘„))
5536, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘„))
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘„))
5747, 15, 52, 53, 56mulgnn0cld 18904 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
58 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Scalarβ€˜π‘„) = (Scalarβ€˜π‘„)
59 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„))
60 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘„) = (0gβ€˜π‘„)
6146, 58, 14, 59, 60lmod0vs 20371 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄 ∈ LMod ∧ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘„))
6244, 57, 61syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘„))
6341, 62eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((0gβ€˜π΄) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘„))
6463ifeq2d 4511 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), ((0gβ€˜π΄) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))) = if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), (0gβ€˜π‘„)))
6535, 64eqtrid 2789 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (if(π‘˜ = 𝐿, 𝑀, (0gβ€˜π΄)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), (0gβ€˜π‘„)))
6634, 65syl 17 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (if(π‘˜ = 𝐿, 𝑀, (0gβ€˜π΄)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), (0gβ€˜π‘„)))
6730, 66eqtrd 2777 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), (0gβ€˜π‘„)))
6867mpteq2dva 5210 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), (0gβ€˜π‘„))))
6968oveq2d 7378 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))) = (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), (0gβ€˜π‘„)))))
70 ringmnd 19981 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ Ring β†’ 𝑄 ∈ Mnd)
7149, 70syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑄 ∈ Mnd)
7271adantr 482 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ 𝑄 ∈ Mnd)
73 nn0ex 12426 . . . . . 6 β„•0 ∈ V
7473a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ β„•0 ∈ V)
75 simprr 772 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ 𝐿 ∈ β„•0)
76 eqid 2737 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), (0gβ€˜π‘„))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), (0gβ€˜π‘„)))
7738fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)))
785, 77eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)))
7978eleq2d 2824 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑀 ∈ 𝐾 ↔ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘„))))
8079biimpcd 249 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ 𝐾 β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘„))))
8180adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘„))))
8281impcom 409 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)))
8382adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)))
84 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘„))
8546, 58, 14, 84lmodvscl 20355 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) ∧ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
8644, 83, 57, 85syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
8786ralrimiva 3144 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
8860, 72, 74, 75, 76, 87gsummpt1n0 19749 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), (0gβ€˜π‘„)))) = ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œ(𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))
891, 88sylanl2 680 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), (0gβ€˜π‘„)))) = ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œ(𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))
9069, 89eqtrd 2777 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))) = ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œ(𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))
91 csbov2g 7408 . . . 4 (𝐿 ∈ β„•0 β†’ ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œ(𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (𝑀 βˆ— ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋)))
92 csbov1g 7407 . . . . . 6 (𝐿 ∈ β„•0 β†’ ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋) = (⦋𝐿 / π‘˜β¦Œπ‘˜ ↑ 𝑋))
93 csbvarg 4396 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ β„•0 β†’ ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œπ‘˜ = 𝐿)
9493oveq1d 7377 . . . . . 6 (𝐿 ∈ β„•0 β†’ (⦋𝐿 / π‘˜β¦Œπ‘˜ ↑ 𝑋) = (𝐿 ↑ 𝑋))
9592, 94eqtrd 2777 . . . . 5 (𝐿 ∈ β„•0 β†’ ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋) = (𝐿 ↑ 𝑋))
9695oveq2d 7378 . . . 4 (𝐿 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 βˆ— ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋)) = (𝑀 βˆ— (𝐿 ↑ 𝑋)))
9791, 96eqtrd 2777 . . 3 (𝐿 ∈ β„•0 β†’ ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œ(𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (𝑀 βˆ— (𝐿 ↑ 𝑋)))
9897ad2antll 728 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œ(𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (𝑀 βˆ— (𝐿 ↑ 𝑋)))
9921, 90, 983eqtrd 2781 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (πΌβ€˜((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€))) = (𝑀 βˆ— (𝐿 ↑ 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448  β¦‹csb 3860  ifcif 4491   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β„•0cn0 12420  Basecbs 17090  Scalarcsca 17143   ·𝑠 cvsca 17144  0gc0g 17328   Ξ£g cgsu 17329  Mndcmnd 18563  .gcmg 18879  mulGrpcmgp 19903  Ringcrg 19971  CRingccrg 19972  LModclmod 20338  var1cv1 21563  Poly1cpl1 21564   Mat cmat 21770   matToPolyMat cmat2pmat 22069   decompPMat cdecpmat 22127   pMatToMatPoly cpm2mp 22157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-assa 21275  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-vr1 21568  df-ply1 21569  df-coe1 21570  df-mamu 21749  df-mat 21771  df-mat2pmat 22072  df-decpmat 22128  df-pm2mp 22158
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