Theorem monmat2matmon 23142

Description: The transformation of a polynomial matrix having scaled monomials with the same power as entries into a scaled monomial as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 11-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
monmat2matmon.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
monmat2matmon.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
monmat2matmon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
monmat2matmon.m1	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
monmat2matmon.e1	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
monmat2matmon.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
monmat2matmon.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
monmat2matmon.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
monmat2matmon.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
monmat2matmon.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
monmat2matmon.e2	⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
monmat2matmon.y	⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅)
monmat2matmon.m2	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
monmat2matmon.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
monmat2matmon	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐼‘((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀))) = (𝑀 ∗ (𝐿 ↑ 𝑋)))

Proof of Theorem monmat2matmon

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20472	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ Fin)
3		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ Ring)
4		monmat2matmon.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		monmat2matmon.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
6		monmat2matmon.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
7		monmat2matmon.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		monmat2matmon.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
9		monmat2matmon.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
10		monmat2matmon.m2	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
11		monmat2matmon.e2	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
12		monmat2matmon.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅)
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	mat2pmatscmxcl 23058	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) ∈ 𝐵)
14		monmat2matmon.m1	. . . . 5 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
15		monmat2matmon.e1	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
16		monmat2matmon.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
17		monmat2matmon.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
18		monmat2matmon.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
19	7, 8, 9, 14, 15, 16, 4, 17, 18	pm2mpfval 23114	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) ∈ 𝐵) → (𝐼‘((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
20	2, 3, 13, 19	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐼‘((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
21	1, 20	sylanl2 694	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐼‘((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
22		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
23		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0))
24	23	anim1i 627	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0))
25		df-3an 1105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0))
26	24, 25	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0))
27		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
28	7, 8, 4, 5, 27, 11, 12, 10, 6	monmatcollpw 23097	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) decompPMat 𝑘) = if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g‘𝐴)))
29	22, 26, 28	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) decompPMat 𝑘) = if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g‘𝐴)))
30	29	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
31	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring))
32	31	anim2d 624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring)))
33	32	anim1d 623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0))))
34	33	imdistanri 580	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0))
35		ovif 7518	. . . . . . . 8 ⊢ (if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), ((0g‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
36	4	matring 22758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
37	17	ply1sca 22570	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
38	36, 37	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
39	38	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
40	39	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0g‘𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑄)))
41	40	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((0g‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
42	17	ply1lmod 22569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ LMod)
43	36, 42	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ LMod)
44	43	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 ∈ LMod)
45		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
46		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
47	45, 46	mgpbas 20365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(mulGrp‘𝑄))
48	17	ply1ring 22565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
49	36, 48	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
50	45	ringmgp 20465	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
51	49, 50	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
52	51	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
53		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
54	16, 17, 46	vr1cl 22535	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑄))
55	36, 54	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑄))
56	55	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑄))
57	47, 15, 52, 53, 56	mulgnn0cld 19305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄))
58		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝑄) = (Scalar‘𝑄)
59		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑄)) = (0g‘(Scalar‘𝑄))
60		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
61	46, 58, 14, 59, 60	lmod0vs 21170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄 ∈ LMod ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄)) → ((0g‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑄))
62	44, 57, 61	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑄))
63	41, 62	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑄))
64	63	ifeq2d 4502	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), ((0g‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), (0g‘𝑄)))
65	35, 64	eqtrid 2807	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), (0g‘𝑄)))
66	34, 65	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), (0g‘𝑄)))
67	30, 66	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), (0g‘𝑄)))
68	67	mpteq2dva 5197	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), (0g‘𝑄))))
69	68	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), (0g‘𝑄)))))
70		ringmnd 20470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Mnd)
71	49, 70	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Mnd)
72	71	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑄 ∈ Mnd)
73		nn0ex 12612	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
74	73	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ℕ0 ∈ V)
75		simprr 785	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
76		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), (0g‘𝑄))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), (0g‘𝑄)))
77	38	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝐴) = (Base‘(Scalar‘𝑄)))
78	5, 77	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑄)))
79	78	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ 𝐾 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))))
80	79	biimpcd 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐾 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))))
81	80	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))))
82	81	impcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)))
83	82	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)))
84		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑄)) = (Base‘(Scalar‘𝑄))
85	46, 58, 14, 84	lmodvscl 21153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)) ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄)) → (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑄))
86	44, 83, 57, 85	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑄))
87	86	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑄))
88	60, 72, 74, 75, 76, 87	gsummpt1n0 20179	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), (0g‘𝑄)))) = ⦋𝐿 / 𝑘⦌(𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
89	1, 88	sylanl2 694	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), (0g‘𝑄)))) = ⦋𝐿 / 𝑘⦌(𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
90	69, 89	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = ⦋𝐿 / 𝑘⦌(𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
91		csbov2g 7468	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → ⦋𝐿 / 𝑘⦌(𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝑀 ∗ ⦋𝐿 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋)))
92		csbov1g 7467	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → ⦋𝐿 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋) = (⦋𝐿 / 𝑘⦌𝑘 ↑ 𝑋))
93		csbvarg 4391	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → ⦋𝐿 / 𝑘⦌𝑘 = 𝐿)
94	93	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (⦋𝐿 / 𝑘⦌𝑘 ↑ 𝑋) = (𝐿 ↑ 𝑋))
95	92, 94	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → ⦋𝐿 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋) = (𝐿 ↑ 𝑋))
96	95	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∗ ⦋𝐿 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝑀 ∗ (𝐿 ↑ 𝑋)))
97	91, 96	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → ⦋𝐿 / 𝑘⦌(𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝑀 ∗ (𝐿 ↑ 𝑋)))
98	97	ad2antll 742	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ⦋𝐿 / 𝑘⦌(𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝑀 ∗ (𝐿 ↑ 𝑋)))
99	21, 90, 98	3eqtrd 2799	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐼‘((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀))) = (𝑀 ∗ (𝐿 ↑ 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ⦋csb 3846  ifcif 4481   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  0_gc0g 17610   Σ_g cgsu 17611  Mndcmnd 18923  ._gcmg 19277  mulGrpcmgp 20360  Ringcrg 20459  CRingccrg 20460  LModclmod 21135  var₁cv1 22494  Poly₁cpl1 22495   Mat cmat 22722   matToPolyMat cmat2pmat 23022   decompPMat cdecpmat 23080   pMatToMatPoly cpm2mp 23110

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3914  df-pss 4034  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-dsmm 22038  df-frlm 22053  df-assa 22161  df-ascl 22163  df-psr 22217  df-mvr 22218  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-psr1 22498  df-vr1 22499  df-ply1 22500  df-coe1 22501  df-mamu 22706  df-mat 22723  df-mat2pmat 23025  df-decpmat 23081  df-pm2mp 23111

This theorem is used by:  pm2mp  23143