Theorem monmat2matmon 21429

Description: The transformation of a polynomial matrix having scaled monomials with the same power as entries into a scaled monomial as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 11-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
monmat2matmon.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
monmat2matmon.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
monmat2matmon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
monmat2matmon.m1	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
monmat2matmon.e1	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
monmat2matmon.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
monmat2matmon.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
monmat2matmon.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
monmat2matmon.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
monmat2matmon.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
monmat2matmon.e2	⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
monmat2matmon.y	⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅)
monmat2matmon.m2	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
monmat2matmon.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
monmat2matmon	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐼‘((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀))) = (𝑀 ∗ (𝐿 ↑ 𝑋)))

Proof of Theorem monmat2matmon

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 19302	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ Fin)
3		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ Ring)
4		monmat2matmon.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		monmat2matmon.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐴)
6		monmat2matmon.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
7		monmat2matmon.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		monmat2matmon.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
9		monmat2matmon.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
10		monmat2matmon.m2	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
11		monmat2matmon.e2	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
12		monmat2matmon.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅)
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	mat2pmatscmxcl 21345	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) ∈ 𝐵)
14		monmat2matmon.m1	. . . . 5 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
15		monmat2matmon.e1	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
16		monmat2matmon.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
17		monmat2matmon.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
18		monmat2matmon.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
19	7, 8, 9, 14, 15, 16, 4, 17, 18	pm2mpfval 21401	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) ∈ 𝐵) → (𝐼‘((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
20	2, 3, 13, 19	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐼‘((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
21	1, 20	sylanl2 680	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐼‘((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
22		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
23		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0))
24	23	anim1i 617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0))
25		df-3an 1086	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0))
26	24, 25	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0))
27		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
28	7, 8, 4, 5, 27, 11, 12, 10, 6	monmatcollpw 21384	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) decompPMat 𝑘) = if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g‘𝐴)))
29	22, 26, 28	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) decompPMat 𝑘) = if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g‘𝐴)))
30	29	oveq1d 7150	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
31	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring))
32	31	anim2d 614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring)))
33	32	anim1d 613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0))))
34	33	imdistanri 573	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0))
35		ovif 7230	. . . . . . . 8 ⊢ (if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), ((0g‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
36	4	matring 21048	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
37	17	ply1sca 20882	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
39	38	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
40	39	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0g‘𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑄)))
41	40	oveq1d 7150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = ((0g‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
42	17	ply1lmod 20881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ LMod)
43	36, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ LMod)
44	43	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 ∈ LMod)
45	17	ply1ring 20877	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
46	36, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
47		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
48	47	ringmgp 19296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
49	46, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
50	49	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
51		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
52		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
53	16, 17, 52	vr1cl 20846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑄))
54	36, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑄))
55	54	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑄))
56	47, 52	mgpbas 19238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(mulGrp‘𝑄))
57	56, 15	mulgnn0cl 18236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑄)) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄))
58	50, 51, 55, 57	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄))
59		eqid 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝑄) = (Scalar‘𝑄)
60		eqid 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑄)) = (0g‘(Scalar‘𝑄))
61		eqid 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
62	52, 59, 14, 60, 61	lmod0vs 19660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄 ∈ LMod ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄)) → ((0g‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑄))
63	44, 58, 62	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g‘(Scalar‘𝑄)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑄))
64	41, 63	eqtrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (0g‘𝑄))
65	64	ifeq2d 4444	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), ((0g‘𝐴) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), (0g‘𝑄)))
66	35, 65	syl5eq 2845	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), (0g‘𝑄)))
67	34, 66	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g‘𝐴)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), (0g‘𝑄)))
68	30, 67	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), (0g‘𝑄)))
69	68	mpteq2dva 5125	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), (0g‘𝑄))))
70	69	oveq2d 7151	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), (0g‘𝑄)))))
71		ringmnd 19300	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Mnd)
72	46, 71	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Mnd)
73	72	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑄 ∈ Mnd)
74		nn0ex 11891	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
75	74	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ℕ0 ∈ V)
76		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
77		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), (0g‘𝑄))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), (0g‘𝑄)))
78	38	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝐴) = (Base‘(Scalar‘𝑄)))
79	5, 78	syl5eq 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑄)))
80	79	eleq2d 2875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ 𝐾 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))))
81	80	biimpcd 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐾 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))))
82	81	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))))
83	82	impcom 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)))
84	83	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)))
85		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑄)) = (Base‘(Scalar‘𝑄))
86	52, 59, 14, 85	lmodvscl 19644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)) ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄)) → (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑄))
87	44, 84, 58, 86	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑄))
88	87	ralrimiva 3149	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑄))
89	61, 73, 75, 76, 77, 88	gsummpt1n0 19078	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), (0g‘𝑄)))) = ⦋𝐿 / 𝑘⦌(𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
90	1, 89	sylanl2 680	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)), (0g‘𝑄)))) = ⦋𝐿 / 𝑘⦌(𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
91	70, 90	eqtrd 2833	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀)) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = ⦋𝐿 / 𝑘⦌(𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
92		csbov2g 7181	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → ⦋𝐿 / 𝑘⦌(𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝑀 ∗ ⦋𝐿 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋)))
93		csbov1g 7180	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → ⦋𝐿 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋) = (⦋𝐿 / 𝑘⦌𝑘 ↑ 𝑋))
94		csbvarg 4339	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → ⦋𝐿 / 𝑘⦌𝑘 = 𝐿)
95	94	oveq1d 7150	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (⦋𝐿 / 𝑘⦌𝑘 ↑ 𝑋) = (𝐿 ↑ 𝑋))
96	93, 95	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → ⦋𝐿 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋) = (𝐿 ↑ 𝑋))
97	96	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∗ ⦋𝐿 / 𝑘⦌(𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝑀 ∗ (𝐿 ↑ 𝑋)))
98	92, 97	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → ⦋𝐿 / 𝑘⦌(𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝑀 ∗ (𝐿 ↑ 𝑋)))
99	98	ad2antll 728	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ⦋𝐿 / 𝑘⦌(𝑀 ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (𝑀 ∗ (𝐿 ↑ 𝑋)))
100	21, 91, 99	3eqtrd 2837	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐼‘((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇‘𝑀))) = (𝑀 ∗ (𝐿 ↑ 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  ⦋csb 3828  ifcif 4425   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  ℕ₀cn0 11885  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  0_gc0g 16705   Σ_g cgsu 16706  Mndcmnd 17903  ._gcmg 18216  mulGrpcmgp 19232  Ringcrg 19290  CRingccrg 19291  LModclmod 19627  var₁cv1 20805  Poly₁cpl1 20806   Mat cmat 21012   matToPolyMat cmat2pmat 21309   decompPMat cdecpmat 21367   pMatToMatPoly cpm2mp 21397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-ofr 7390  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-dsmm 20421  df-frlm 20436  df-assa 20542  df-ascl 20544  df-psr 20594  df-mvr 20595  df-mpl 20596  df-opsr 20598  df-psr1 20809  df-vr1 20810  df-ply1 20811  df-coe1 20812  df-mamu 20991  df-mat 21013  df-mat2pmat 21312  df-decpmat 21368  df-pm2mp 21398

This theorem is referenced by:  pm2mp  21430