MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  monmat2matmon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem monmat2matmon 22317
Description: The transformation of a polynomial matrix having scaled monomials with the same power as entries into a scaled monomial as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 11-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
monmat2matmon.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
monmat2matmon.c 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
monmat2matmon.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
monmat2matmon.m1 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
monmat2matmon.e1 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘„))
monmat2matmon.x 𝑋 = (var1β€˜π΄)
monmat2matmon.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
monmat2matmon.k 𝐾 = (Baseβ€˜π΄)
monmat2matmon.q 𝑄 = (Poly1β€˜π΄)
monmat2matmon.i 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
monmat2matmon.e2 𝐸 = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
monmat2matmon.y π‘Œ = (var1β€˜π‘…)
monmat2matmon.m2 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
monmat2matmon.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
monmat2matmon (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (πΌβ€˜((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€))) = (𝑀 βˆ— (𝐿 ↑ 𝑋)))

Proof of Theorem monmat2matmon
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 20061 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 simpll 765 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
3 simplr 767 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 monmat2matmon.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 monmat2matmon.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π΄)
6 monmat2matmon.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
7 monmat2matmon.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
8 monmat2matmon.c . . . . 5 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
9 monmat2matmon.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
10 monmat2matmon.m2 . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
11 monmat2matmon.e2 . . . . 5 𝐸 = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
12 monmat2matmon.y . . . . 5 π‘Œ = (var1β€˜π‘…)
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12mat2pmatscmxcl 22233 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ ((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) ∈ 𝐡)
14 monmat2matmon.m1 . . . . 5 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
15 monmat2matmon.e1 . . . . 5 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘„))
16 monmat2matmon.x . . . . 5 𝑋 = (var1β€˜π΄)
17 monmat2matmon.q . . . . 5 𝑄 = (Poly1β€˜π΄)
18 monmat2matmon.i . . . . 5 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
197, 8, 9, 14, 15, 16, 4, 17, 18pm2mpfval 22289 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€))) = (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))
202, 3, 13, 19syl3anc 1371 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (πΌβ€˜((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€))) = (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))
211, 20sylanl2 679 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (πΌβ€˜((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€))) = (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))))
22 simpll 765 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
23 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0))
2423anim1i 615 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0))
25 df-3an 1089 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ↔ ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0))
2624, 25sylibr 233 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„•0))
27 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π΄) = (0gβ€˜π΄)
287, 8, 4, 5, 27, 11, 12, 10, 6monmatcollpw 22272 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„•0)) β†’ (((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) decompPMat π‘˜) = if(π‘˜ = 𝐿, 𝑀, (0gβ€˜π΄)))
2922, 26, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) decompPMat π‘˜) = if(π‘˜ = 𝐿, 𝑀, (0gβ€˜π΄)))
3029oveq1d 7420 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (if(π‘˜ = 𝐿, 𝑀, (0gβ€˜π΄)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))
311a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring))
3231anim2d 612 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring)))
3332anim1d 611 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0))))
3433imdistanri 570 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0))
35 ovif 7502 . . . . . . . 8 (if(π‘˜ = 𝐿, 𝑀, (0gβ€˜π΄)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), ((0gβ€˜π΄) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))
364matring 21936 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
3717ply1sca 21766 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ Ring β†’ 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘„))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘„))
3938ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘„))
4039fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (0gβ€˜π΄) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)))
4140oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((0gβ€˜π΄) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))
4217ply1lmod 21765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Ring β†’ 𝑄 ∈ LMod)
4336, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑄 ∈ LMod)
4443ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑄 ∈ LMod)
45 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (mulGrpβ€˜π‘„) = (mulGrpβ€˜π‘„)
46 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„)
4745, 46mgpbas 19987 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘„))
4817ply1ring 21761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ Ring β†’ 𝑄 ∈ Ring)
4936, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑄 ∈ Ring)
5045ringmgp 20055 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘„) ∈ Mnd)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (mulGrpβ€˜π‘„) ∈ Mnd)
5251ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (mulGrpβ€˜π‘„) ∈ Mnd)
53 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
5416, 17, 46vr1cl 21732 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘„))
5536, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘„))
5655ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘„))
5747, 15, 52, 53, 56mulgnn0cld 18969 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
58 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (Scalarβ€˜π‘„) = (Scalarβ€˜π‘„)
59 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„))
60 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘„) = (0gβ€˜π‘„)
6146, 58, 14, 59, 60lmod0vs 20497 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄 ∈ LMod ∧ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘„))
6244, 57, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘„))
6341, 62eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((0gβ€˜π΄) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘„))
6463ifeq2d 4547 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), ((0gβ€˜π΄) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))) = if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), (0gβ€˜π‘„)))
6535, 64eqtrid 2784 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (if(π‘˜ = 𝐿, 𝑀, (0gβ€˜π΄)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), (0gβ€˜π‘„)))
6634, 65syl 17 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (if(π‘˜ = 𝐿, 𝑀, (0gβ€˜π΄)) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), (0gβ€˜π‘„)))
6730, 66eqtrd 2772 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), (0gβ€˜π‘„)))
6867mpteq2dva 5247 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), (0gβ€˜π‘„))))
6968oveq2d 7421 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))) = (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), (0gβ€˜π‘„)))))
70 ringmnd 20059 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ Ring β†’ 𝑄 ∈ Mnd)
7149, 70syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑄 ∈ Mnd)
7271adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ 𝑄 ∈ Mnd)
73 nn0ex 12474 . . . . . 6 β„•0 ∈ V
7473a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ β„•0 ∈ V)
75 simprr 771 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ 𝐿 ∈ β„•0)
76 eqid 2732 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), (0gβ€˜π‘„))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), (0gβ€˜π‘„)))
7738fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)))
785, 77eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)))
7978eleq2d 2819 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑀 ∈ 𝐾 ↔ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘„))))
8079biimpcd 248 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ 𝐾 β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘„))))
8180adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘„))))
8281impcom 408 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)))
8382adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)))
84 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘„))
8546, 58, 14, 84lmodvscl 20481 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘„)) ∧ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘„)) β†’ (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
8644, 83, 57, 85syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
8786ralrimiva 3146 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
8860, 72, 74, 75, 76, 87gsummpt1n0 19827 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), (0gβ€˜π‘„)))) = ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œ(𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))
891, 88sylanl2 679 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 𝐿, (𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)), (0gβ€˜π‘„)))) = ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œ(𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))
9069, 89eqtrd 2772 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (𝑄 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€)) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))) = ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œ(𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)))
91 csbov2g 7451 . . . 4 (𝐿 ∈ β„•0 β†’ ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œ(𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (𝑀 βˆ— ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋)))
92 csbov1g 7450 . . . . . 6 (𝐿 ∈ β„•0 β†’ ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋) = (⦋𝐿 / π‘˜β¦Œπ‘˜ ↑ 𝑋))
93 csbvarg 4430 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ β„•0 β†’ ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œπ‘˜ = 𝐿)
9493oveq1d 7420 . . . . . 6 (𝐿 ∈ β„•0 β†’ (⦋𝐿 / π‘˜β¦Œπ‘˜ ↑ 𝑋) = (𝐿 ↑ 𝑋))
9592, 94eqtrd 2772 . . . . 5 (𝐿 ∈ β„•0 β†’ ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋) = (𝐿 ↑ 𝑋))
9695oveq2d 7421 . . . 4 (𝐿 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 βˆ— ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œ(π‘˜ ↑ 𝑋)) = (𝑀 βˆ— (𝐿 ↑ 𝑋)))
9791, 96eqtrd 2772 . . 3 (𝐿 ∈ β„•0 β†’ ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œ(𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (𝑀 βˆ— (𝐿 ↑ 𝑋)))
9897ad2antll 727 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ ⦋𝐿 / π‘˜β¦Œ(𝑀 βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋)) = (𝑀 βˆ— (𝐿 ↑ 𝑋)))
9921, 90, 983eqtrd 2776 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ β„•0)) β†’ (πΌβ€˜((πΏπΈπ‘Œ) Β· (π‘‡β€˜π‘€))) = (𝑀 βˆ— (𝐿 ↑ 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  β¦‹csb 3892  ifcif 4527   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  β„•0cn0 12468  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381   Ξ£g cgsu 17382  Mndcmnd 18621  .gcmg 18944  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  LModclmod 20463  var1cv1 21691  Poly1cpl1 21692   Mat cmat 21898   matToPolyMat cmat2pmat 22197   decompPMat cdecpmat 22255   pMatToMatPoly cpm2mp 22285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-assa 21399  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-coe1 21698  df-mamu 21877  df-mat 21899  df-mat2pmat 22200  df-decpmat 22256  df-pm2mp 22286
This theorem is referenced by:  pm2mp  22318
  Copyright terms: Public domain W3C validator