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Theorem scmatscm 22535
Description: The multiplication of a matrix with a scalar matrix corresponds to a scalar multiplication. (Contributed by AV, 28-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatscm.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatscm.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatscm.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatscm.t = ( ·𝑠𝐴)
scmatscm.m × = (.r𝐴)
scmatscm.c 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
scmatscm (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → ∃𝑐𝐾𝑚𝐵 (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐶,𝑐,𝑚   𝐾,𝑐,𝑚   𝑁,𝑐,𝑚   𝑅,𝑐,𝑚   𝑆,𝑐,𝑚   ,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑐)   𝐵(𝑚,𝑐)   × (𝑚,𝑐)   (𝑐)

Proof of Theorem scmatscm
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatscm.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 scmatscm.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 scmatscm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2735 . . . 4 (1r𝐴) = (1r𝐴)
5 scmatscm.t . . . 4 = ( ·𝑠𝐴)
6 scmatscm.c . . . 4 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 22528 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑆) → ∃𝑐𝐾 𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)))
873expa 1117 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → ∃𝑐𝐾 𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)))
9 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)) → (𝐶 × 𝑚) = ((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚))
10 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
1110ad4antr 732 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
12 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
142matring 22465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
153, 4ringidcl 20280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1817anim1ci 616 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑐𝐾 ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵))
191, 2, 3, 5matvscl 22453 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑐𝐾 ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵)) → (𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵)
2013, 18, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵)
2120anim1i 615 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵𝑚𝐵))
2221adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵𝑚𝐵))
23 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑁𝑗𝑁))
24 scmatscm.m . . . . . . . . . . . 12 × = (.r𝐴)
252, 3, 24matmulcell 22467 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))))
2611, 22, 23, 25syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))))
2712anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑐𝐾))
28 df-3an 1088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐𝐾) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑐𝐾))
2927, 28sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐𝐾))
3029ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐𝐾))
31 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0g𝑅) = (0g𝑅)
322, 1, 5, 31matsc 22472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐𝐾) → (𝑐 (1r𝐴)) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 𝑐, (0g𝑅))))
3330, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑐 (1r𝐴)) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 𝑐, (0g𝑅))))
34 eqeq12 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 𝑖𝑦 = 𝑘) → (𝑥 = 𝑦𝑖 = 𝑘))
3534ifbid 4554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑖𝑦 = 𝑘) → if(𝑥 = 𝑦, 𝑐, (0g𝑅)) = if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅)))
3635adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑥 = 𝑖𝑦 = 𝑘)) → if(𝑥 = 𝑦, 𝑐, (0g𝑅)) = if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅)))
37 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑖𝑁)
40 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
41 vex 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑐 ∈ V
42 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0g𝑅) ∈ V
4341, 42ifex 4581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅)) ∈ V
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅)) ∈ V)
4533, 36, 39, 40, 44ovmpod 7585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘) = if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅)))
4645oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))
4746mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗))) = (𝑘𝑁 ↦ (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗))))
4847oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))))
49 ovif 7531 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))
50 simp-6r 788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
51 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑗𝑁)
52 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → 𝑚𝐵)
5352ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑚𝐵)
542, 1, 3, 40, 51, 53matecld 22448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘𝑚𝑗) ∈ 𝐾)
55 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.r𝑅) = (.r𝑅)
561, 55, 31ringlz 20307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘𝑚𝑗) ∈ 𝐾) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (0g𝑅))
5750, 54, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (0g𝑅))
5857ifeq2d 4551 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗))) = if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))
5949, 58eqtrid 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))
6059mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑘𝑁 ↦ (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗))) = (𝑘𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅))))
6160oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))))
62 ringmnd 20261 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
6362adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Mnd)
6463ad4antr 732 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅 ∈ Mnd)
65 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
6665ad4antr 732 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
67 equcom 2015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘𝑘 = 𝑖)
68 ifbi 4553 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = 𝑘𝑘 = 𝑖) → if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)) = if(𝑘 = 𝑖, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)) = if(𝑘 = 𝑖, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅))
7069mpteq2i 5253 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅))) = (𝑘𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝑖, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))
711eleq2i 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐𝐾𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
7271biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐𝐾𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
7372adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
7473ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
75 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
762, 75, 3, 40, 51, 53matecld 22448 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘𝑚𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
7775, 55ringcl 20268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑘𝑚𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
7850, 74, 76, 77syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
7978ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ∀𝑘𝑁 (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
8031, 64, 66, 38, 70, 79gsummpt1n0 19998 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))) = 𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))
8148, 61, 803eqtrd 2779 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))) = 𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))
82 csbov2g 7479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖𝑁𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r𝑅)𝑖 / 𝑘(𝑘𝑚𝑗)))
83 csbov1g 7478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖𝑁𝑖 / 𝑘(𝑘𝑚𝑗) = (𝑖 / 𝑘𝑘𝑚𝑗))
84 csbvarg 4440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖𝑁𝑖 / 𝑘𝑘 = 𝑖)
8584oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖𝑁 → (𝑖 / 𝑘𝑘𝑚𝑗) = (𝑖𝑚𝑗))
8683, 85eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖𝑁𝑖 / 𝑘(𝑘𝑚𝑗) = (𝑖𝑚𝑗))
8786oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖𝑁 → (𝑐(.r𝑅)𝑖 / 𝑘(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
8882, 87eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑁𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
8988adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
9089adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
9126, 81, 903eqtrd 2779 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
92 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → 𝑐𝐾)
9392anim1i 615 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑐𝐾𝑚𝐵))
9493adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑐𝐾𝑚𝐵))
952, 3, 1, 5, 55matvscacell 22458 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑐𝐾𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
9611, 94, 23, 95syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
9791, 96eqtr4d 2778 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗))
9897ralrimivva 3200 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗))
9914ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)
10020adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵)
1013, 24ringcl 20268 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵𝑚𝐵) → ((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) ∈ 𝐵)
10299, 100, 52, 101syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) ∈ 𝐵)
10312ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
1041, 2, 3, 5matvscl 22453 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑐𝐾𝑚𝐵)) → (𝑐 𝑚) ∈ 𝐵)
105103, 93, 104syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑐 𝑚) ∈ 𝐵)
1062, 3eqmat 22446 . . . . . . . 8 ((((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) ∈ 𝐵 ∧ (𝑐 𝑚) ∈ 𝐵) → (((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) = (𝑐 𝑚) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗)))
107102, 105, 106syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) = (𝑐 𝑚) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗)))
10898, 107mpbird 257 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) = (𝑐 𝑚))
1099, 108sylan9eqr 2797 . . . . 5 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑐 (1r𝐴))) → (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚))
110109ex 412 . . . 4 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)) → (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚)))
111110ralrimdva 3152 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → (𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)) → ∀𝑚𝐵 (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚)))
112111reximdva 3166 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → (∃𝑐𝐾 𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)) → ∃𝑐𝐾𝑚𝐵 (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚)))
1138, 112mpd 15 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → ∃𝑐𝐾𝑚𝐵 (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  csb 3908  ifcif 4531  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Fincfn 8984  Basecbs 17245  .rcmulr 17299   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  1rcur 20199  Ringcrg 20251   Mat cmat 22427   ScMat cscmat 22511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-mamu 22411  df-mat 22428  df-scmat 22513
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