MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatscm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatscm 22365
Description: The multiplication of a matrix with a scalar matrix corresponds to a scalar multiplication. (Contributed by AV, 28-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatscm.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
scmatscm.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
scmatscm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
scmatscm.t โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
scmatscm.m ร— = (.rโ€˜๐ด)
scmatscm.c ๐‘† = (๐‘ ScMat ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
scmatscm (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘š โˆˆ ๐ต (๐ถ ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘š   ๐ถ,๐‘,๐‘š   ๐พ,๐‘,๐‘š   ๐‘,๐‘,๐‘š   ๐‘…,๐‘,๐‘š   ๐‘†,๐‘,๐‘š   โˆ— ,๐‘š
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘)   ๐ต(๐‘š,๐‘)   ร— (๐‘š,๐‘)   โˆ— (๐‘)

Proof of Theorem scmatscm
Dummy variables ๐‘– ๐‘— ๐‘˜ ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatscm.k . . . 4 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
2 scmatscm.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 scmatscm.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
4 eqid 2726 . . . 4 (1rโ€˜๐ด) = (1rโ€˜๐ด)
5 scmatscm.t . . . 4 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
6 scmatscm.c . . . 4 ๐‘† = (๐‘ ScMat ๐‘…)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 22358 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐ถ = (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)))
873expa 1115 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐ถ = (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)))
9 oveq1 7411 . . . . . 6 (๐ถ = (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ถ ร— ๐‘š) = ((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š))
10 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1110ad4antr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
12 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
142matring 22295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
153, 4ringidcl 20162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)
1817anim1ci 615 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต))
191, 2, 3, 5matvscl 22283 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต)
2013, 18, 19syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต)
2120anim1i 614 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต))
2221adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต))
23 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘))
24 scmatscm.m . . . . . . . . . . . 12 ร— = (.rโ€˜๐ด)
252, 3, 24matmulcell 22297 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))))
2611, 22, 23, 25syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))))
2712anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ))
28 df-3an 1086 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†” ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ))
2927, 28sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ))
3029ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ))
31 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
322, 1, 5, 31matsc 22302 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))))
3330, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))))
34 eqeq12 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฅ = ๐‘– โˆง ๐‘ฆ = ๐‘˜) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†” ๐‘– = ๐‘˜))
3534ifbid 4546 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ = ๐‘– โˆง ๐‘ฆ = ๐‘˜) โ†’ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…)) = if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…)))
3635adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ = ๐‘– โˆง ๐‘ฆ = ๐‘˜)) โ†’ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…)) = if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…)))
37 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
40 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
41 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘ โˆˆ V
42 fvex 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V
4341, 42ifex 4573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…)) โˆˆ V
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…)) โˆˆ V)
4533, 36, 39, 40, 44ovmpod 7555 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))๐‘˜) = if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…)))
4645oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–(๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))
4746mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—))))
4847oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))))
49 ovif 7501 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))
50 simp-6r 785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
51 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
52 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐ต)
5352ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐ต)
542, 1, 3, 40, 51, 53matecld 22278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜๐‘š๐‘—) โˆˆ ๐พ)
55 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
561, 55, 31ringlz 20189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘˜๐‘š๐‘—) โˆˆ ๐พ) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (0gโ€˜๐‘…))
5750, 54, 56syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (0gโ€˜๐‘…))
5857ifeq2d 4543 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—))) = if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)))
5949, 58eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)))
6059mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…))))
6160oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)))))
62 ringmnd 20145 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
6362adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
6463ad4antr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
65 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
6665ad4antr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
67 equcom 2013 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– = ๐‘˜ โ†” ๐‘˜ = ๐‘–)
68 ifbi 4545 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘– = ๐‘˜ โ†” ๐‘˜ = ๐‘–) โ†’ if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)) = if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)))
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)) = if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…))
7069mpteq2i 5246 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)))
711eleq2i 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ ๐พ โ†” ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7271biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ ๐พ โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7372adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7473ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
75 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
762, 75, 3, 40, 51, 53matecld 22278 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜๐‘š๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7775, 55ringcl 20152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (๐‘˜๐‘š๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7850, 74, 76, 77syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7978ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8031, 64, 66, 38, 70, 79gsummpt1n0 19882 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)))) = โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))
8148, 61, 803eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))) = โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))
82 csbov2g 7450 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘˜๐‘š๐‘—)))
83 csbov1g 7449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘˜๐‘š๐‘—) = (โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜๐‘š๐‘—))
84 csbvarg 4426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜ = ๐‘–)
8584oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ (โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜๐‘š๐‘—) = (๐‘–๐‘š๐‘—))
8683, 85eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘˜๐‘š๐‘—) = (๐‘–๐‘š๐‘—))
8786oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘(.rโ€˜๐‘…)โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘š๐‘—)))
8882, 87eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘š๐‘—)))
8988adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘š๐‘—)))
9089adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘š๐‘—)))
9126, 81, 903eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘š๐‘—)))
92 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐พ)
9392anim1i 614 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต))
9493adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต))
952, 3, 1, 5, 55matvscacell 22288 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–(๐‘ โˆ— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘š๐‘—)))
9611, 94, 23, 95syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–(๐‘ โˆ— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘š๐‘—)))
9791, 96eqtr4d 2769 . . . . . . . 8 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘–(๐‘ โˆ— ๐‘š)๐‘—))
9897ralrimivva 3194 . . . . . . 7 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘–(๐‘ โˆ— ๐‘š)๐‘—))
9914ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
10020adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต)
1013, 24ringcl 20152 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š) โˆˆ ๐ต)
10299, 100, 52, 101syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š) โˆˆ ๐ต)
10312ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
1041, 2, 3, 5matvscl 22283 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆ— ๐‘š) โˆˆ ๐ต)
105103, 93, 104syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆ— ๐‘š) โˆˆ ๐ต)
1062, 3eqmat 22276 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ โˆ— ๐‘š) โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘–(๐‘ โˆ— ๐‘š)๐‘—)))
107102, 105, 106syl2anc 583 . . . . . . 7 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘–(๐‘ โˆ— ๐‘š)๐‘—)))
10898, 107mpbird 257 . . . . . 6 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š))
1099, 108sylan9eqr 2788 . . . . 5 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐ถ = (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))) โ†’ (๐ถ ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š))
110109ex 412 . . . 4 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ถ = (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ถ ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š)))
111110ralrimdva 3148 . . 3 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐ถ = (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ ๐ต (๐ถ ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š)))
112111reximdva 3162 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐ถ = (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘š โˆˆ ๐ต (๐ถ ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š)))
1138, 112mpd 15 1 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘š โˆˆ ๐ต (๐ถ ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064  Vcvv 3468  โฆ‹csb 3888  ifcif 4523   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   โˆˆ cmpo 7406  Fincfn 8938  Basecbs 17150  .rcmulr 17204   ยท๐‘  cvsca 17207  0gc0g 17391   ฮฃg cgsu 17392  Mndcmnd 18664  1rcur 20083  Ringcrg 20135   Mat cmat 22257   ScMat cscmat 22341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-subrg 20468  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-dsmm 21622  df-frlm 21637  df-mamu 22236  df-mat 22258  df-scmat 22343
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator