Theorem scmatscm 21862

Description: The multiplication of a matrix with a scalar matrix corresponds to a scalar multiplication. (Contributed by AV, 28-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatscm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatscm.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatscm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatscm.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
scmatscm.m	⊢ × = (.r‘𝐴)
scmatscm.c	⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatscm	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → ∃𝑐 ∈ 𝐾 ∀𝑚 ∈ 𝐵 (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 ∗ 𝑚))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐶,𝑐,𝑚   𝐾,𝑐,𝑚   𝑁,𝑐,𝑚   𝑅,𝑐,𝑚   𝑆,𝑐,𝑚   ∗ ,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑐)   𝐵(𝑚,𝑐)   × (𝑚,𝑐)   ∗ (𝑐)

Proof of Theorem scmatscm

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatscm.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		scmatscm.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		scmatscm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
5		scmatscm.t	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
6		scmatscm.c	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatscmid 21855	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝐶 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴)))
8	7	3expa 1118	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → ∃𝑐 ∈ 𝐾 𝐶 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴)))
9		oveq1 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) → (𝐶 × 𝑚) = ((𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) × 𝑚))
10		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
11	10	ad4antr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
12		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
14	2	matring 21792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
15	3, 4	ringidcl 19989	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
18	17	anim1ci 616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝑐 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵))
19	1, 2, 3, 5	matvscl 21780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑐 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)) → (𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
20	13, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
21	20	anim1i 615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → ((𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵))
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵))
23		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
24		scmatscm.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ × = (.r‘𝐴)
25	2, 3, 24	matmulcell 21794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖((𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 ∗ (1r‘𝐴))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))))
26	11, 22, 23, 25	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖((𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 ∗ (1r‘𝐴))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))))
27	12	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾))
28		df-3an 1089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾))
29	27, 28	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ 𝐾))
30	29	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ 𝐾))
31		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
32	2, 1, 5, 31	matsc 21799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 𝑐, (0g‘𝑅))))
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 𝑐, (0g‘𝑅))))
34		eqeq12 2753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑘) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑖 = 𝑘))
35	34	ifbid 4509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑘) → if(𝑥 = 𝑦, 𝑐, (0g‘𝑅)) = if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g‘𝑅)))
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑘)) → if(𝑥 = 𝑦, 𝑐, (0g‘𝑅)) = if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g‘𝑅)))
37		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
40		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
41		vex 3449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑐 ∈ V
42		fvex 6855	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
43	41, 42	ifex 4536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g‘𝑅)) ∈ V
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g‘𝑅)) ∈ V)
45	33, 36, 39, 40, 44	ovmpod 7507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑐 ∗ (1r‘𝐴))𝑘) = if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g‘𝑅)))
46	45	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑐 ∗ (1r‘𝐴))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))
47	46	mpteq2dva 5205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 ∗ (1r‘𝐴))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗))))
48	47	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 ∗ (1r‘𝐴))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))))
49		ovif 7454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))
50		simp-6r 786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
51		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
52		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑚 ∈ 𝐵)
53	52	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑚 ∈ 𝐵)
54	2, 1, 3, 40, 51, 53	matecld 21775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑚𝑗) ∈ 𝐾)
55		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
56	1, 55, 31	ringlz 20011	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘𝑚𝑗) ∈ 𝐾) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (0g‘𝑅))
57	50, 54, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (0g‘𝑅))
58	57	ifeq2d 4506	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗))) = if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g‘𝑅)))
59	49, 58	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g‘𝑅)))
60	59	mpteq2dva 5205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g‘𝑅))))
61	60	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g‘𝑅)))))
62		ringmnd 19974	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Mnd)
64	63	ad4antr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Mnd)
65		simpl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
66	65	ad4antr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
67		equcom 2021	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 ↔ 𝑘 = 𝑖)
68		ifbi 4508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 = 𝑘 ↔ 𝑘 = 𝑖) → if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g‘𝑅)) = if(𝑘 = 𝑖, (𝑐(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g‘𝑅)))
69	67, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g‘𝑅)) = if(𝑘 = 𝑖, (𝑐(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g‘𝑅))
70	69	mpteq2i 5210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g‘𝑅))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝑖, (𝑐(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g‘𝑅)))
71	1	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐾 ↔ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
72	71	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐾 → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
73	72	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
74	73	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
75		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
76	2, 75, 3, 40, 51, 53	matecld 21775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑚𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
77	75, 55	ringcl 19981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑘𝑚𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
78	50, 74, 76, 77	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑐(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
79	78	ralrimiva 3143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑐(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
80	31, 64, 66, 38, 70, 79	gsummpt1n0 19742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g‘𝑅)))) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝑐(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))
81	48, 61, 80	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 ∗ (1r‘𝐴))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝑐(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))
82		csbov2g 7403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝑐(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r‘𝑅)⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝑘𝑚𝑗)))
83		csbov1g 7402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝑘𝑚𝑗) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝑘𝑚𝑗))
84		csbvarg 4391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝑘 = 𝑖)
85	84	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝑘𝑚𝑗) = (𝑖𝑚𝑗))
86	83, 85	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝑘𝑚𝑗) = (𝑖𝑚𝑗))
87	86	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝑐(.r‘𝑅)⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r‘𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
88	82, 87	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 → ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝑐(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r‘𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
89	88	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝑐(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r‘𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
90	89	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝑐(.r‘𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r‘𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
91	26, 81, 90	3eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖((𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑐(.r‘𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
92		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → 𝑐 ∈ 𝐾)
93	92	anim1i 615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝑐 ∈ 𝐾 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵))
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑐 ∈ 𝐾 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵))
95	2, 3, 1, 5, 55	matvscacell 21785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑐 ∈ 𝐾 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑐 ∗ 𝑚)𝑗) = (𝑐(.r‘𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
96	11, 94, 23, 95	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑐 ∗ 𝑚)𝑗) = (𝑐(.r‘𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
97	91, 96	eqtr4d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖((𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑖(𝑐 ∗ 𝑚)𝑗))
98	97	ralrimivva 3197	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖((𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑖(𝑐 ∗ 𝑚)𝑗))
99	14	ad3antrrr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)
100	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
101	3, 24	ringcl 19981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → ((𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) × 𝑚) ∈ 𝐵)
102	99, 100, 52, 101	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → ((𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) × 𝑚) ∈ 𝐵)
103	12	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
104	1, 2, 3, 5	matvscl 21780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑐 ∈ 𝐾 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵)) → (𝑐 ∗ 𝑚) ∈ 𝐵)
105	103, 93, 104	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝑐 ∗ 𝑚) ∈ 𝐵)
106	2, 3	eqmat 21773	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) × 𝑚) ∈ 𝐵 ∧ (𝑐 ∗ 𝑚) ∈ 𝐵) → (((𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) × 𝑚) = (𝑐 ∗ 𝑚) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖((𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑖(𝑐 ∗ 𝑚)𝑗)))
107	102, 105, 106	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (((𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) × 𝑚) = (𝑐 ∗ 𝑚) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖((𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑖(𝑐 ∗ 𝑚)𝑗)))
108	98, 107	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → ((𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) × 𝑚) = (𝑐 ∗ 𝑚))
109	9, 108	sylan9eqr 2798	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))) → (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 ∗ 𝑚))
110	109	ex 413	. . . 4 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝐶 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) → (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 ∗ 𝑚)))
111	110	ralrimdva 3151	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝐶 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) → ∀𝑚 ∈ 𝐵 (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 ∗ 𝑚)))
112	111	reximdva 3165	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → (∃𝑐 ∈ 𝐾 𝐶 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) → ∃𝑐 ∈ 𝐾 ∀𝑚 ∈ 𝐵 (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 ∗ 𝑚)))
113	8, 112	mpd 15	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → ∃𝑐 ∈ 𝐾 ∀𝑚 ∈ 𝐵 (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 ∗ 𝑚))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  Vcvv 3445  ⦋csb 3855  ifcif 4486   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  Fincfn 8883  Basecbs 17083  ._rcmulr 17134   ·_𝑠 cvsca 17137  0_gc0g 17321   Σ_g cgsu 17322  Mndcmnd 18556  1_rcur 19913  Ringcrg 19964   Mat cmat 21754   ScMat cscmat 21838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mamu 21733  df-mat 21755  df-scmat 21840

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