MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatscm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatscm 21885
Description: The multiplication of a matrix with a scalar matrix corresponds to a scalar multiplication. (Contributed by AV, 28-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatscm.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
scmatscm.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
scmatscm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
scmatscm.t โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
scmatscm.m ร— = (.rโ€˜๐ด)
scmatscm.c ๐‘† = (๐‘ ScMat ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
scmatscm (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘š โˆˆ ๐ต (๐ถ ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘š   ๐ถ,๐‘,๐‘š   ๐พ,๐‘,๐‘š   ๐‘,๐‘,๐‘š   ๐‘…,๐‘,๐‘š   ๐‘†,๐‘,๐‘š   โˆ— ,๐‘š
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘)   ๐ต(๐‘š,๐‘)   ร— (๐‘š,๐‘)   โˆ— (๐‘)

Proof of Theorem scmatscm
Dummy variables ๐‘– ๐‘— ๐‘˜ ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatscm.k . . . 4 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
2 scmatscm.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 scmatscm.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
4 eqid 2733 . . . 4 (1rโ€˜๐ด) = (1rโ€˜๐ด)
5 scmatscm.t . . . 4 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
6 scmatscm.c . . . 4 ๐‘† = (๐‘ ScMat ๐‘…)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 21878 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐ถ = (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)))
873expa 1119 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐ถ = (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)))
9 oveq1 7368 . . . . . 6 (๐ถ = (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ถ ร— ๐‘š) = ((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š))
10 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1110ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
12 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
1312adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
142matring 21815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
153, 4ringidcl 19997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)
1716adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)
1817anim1ci 617 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต))
191, 2, 3, 5matvscl 21803 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต)
2013, 18, 19syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต)
2120anim1i 616 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต))
2221adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต))
23 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘))
24 scmatscm.m . . . . . . . . . . . 12 ร— = (.rโ€˜๐ด)
252, 3, 24matmulcell 21817 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))))
2611, 22, 23, 25syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))))
2712anim1i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ))
28 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†” ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ))
2927, 28sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ))
3029ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ))
31 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
322, 1, 5, 31matsc 21822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))))
3330, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))))
34 eqeq12 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฅ = ๐‘– โˆง ๐‘ฆ = ๐‘˜) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†” ๐‘– = ๐‘˜))
3534ifbid 4513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ = ๐‘– โˆง ๐‘ฆ = ๐‘˜) โ†’ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…)) = if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…)))
3635adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ = ๐‘– โˆง ๐‘ฆ = ๐‘˜)) โ†’ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…)) = if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…)))
37 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
3837adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
3938adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
40 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
41 vex 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘ โˆˆ V
42 fvex 6859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V
4341, 42ifex 4540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…)) โˆˆ V
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…)) โˆˆ V)
4533, 36, 39, 40, 44ovmpod 7511 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))๐‘˜) = if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…)))
4645oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–(๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))
4746mpteq2dva 5209 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—))))
4847oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))))
49 ovif 7458 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))
50 simp-6r 787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
51 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
52 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐ต)
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐ต)
542, 1, 3, 40, 51, 53matecld 21798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜๐‘š๐‘—) โˆˆ ๐พ)
55 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
561, 55, 31ringlz 20019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘˜๐‘š๐‘—) โˆˆ ๐พ) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (0gโ€˜๐‘…))
5750, 54, 56syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (0gโ€˜๐‘…))
5857ifeq2d 4510 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—))) = if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)))
5949, 58eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)))
6059mpteq2dva 5209 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…))))
6160oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)))))
62 ringmnd 19982 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
6362adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
6463ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
65 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
6665ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
67 equcom 2022 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– = ๐‘˜ โ†” ๐‘˜ = ๐‘–)
68 ifbi 4512 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘– = ๐‘˜ โ†” ๐‘˜ = ๐‘–) โ†’ if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)) = if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)))
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)) = if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…))
7069mpteq2i 5214 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)))
711eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ ๐พ โ†” ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7271biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ ๐พ โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7372adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7473ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
75 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
762, 75, 3, 40, 51, 53matecld 21798 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜๐‘š๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7775, 55ringcl 19989 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (๐‘˜๐‘š๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7850, 74, 76, 77syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7978ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8031, 64, 66, 38, 70, 79gsummpt1n0 19750 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)))) = โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))
8148, 61, 803eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))) = โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))
82 csbov2g 7407 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘˜๐‘š๐‘—)))
83 csbov1g 7406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘˜๐‘š๐‘—) = (โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜๐‘š๐‘—))
84 csbvarg 4395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜ = ๐‘–)
8584oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ (โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜๐‘š๐‘—) = (๐‘–๐‘š๐‘—))
8683, 85eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘˜๐‘š๐‘—) = (๐‘–๐‘š๐‘—))
8786oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘(.rโ€˜๐‘…)โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘š๐‘—)))
8882, 87eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘š๐‘—)))
8988adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘š๐‘—)))
9089adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘š๐‘—)))
9126, 81, 903eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘š๐‘—)))
92 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐พ)
9392anim1i 616 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต))
9493adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต))
952, 3, 1, 5, 55matvscacell 21808 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–(๐‘ โˆ— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘š๐‘—)))
9611, 94, 23, 95syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–(๐‘ โˆ— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘š๐‘—)))
9791, 96eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘–(๐‘ โˆ— ๐‘š)๐‘—))
9897ralrimivva 3194 . . . . . . 7 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘–(๐‘ โˆ— ๐‘š)๐‘—))
9914ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
10020adantr 482 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต)
1013, 24ringcl 19989 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š) โˆˆ ๐ต)
10299, 100, 52, 101syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š) โˆˆ ๐ต)
10312ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
1041, 2, 3, 5matvscl 21803 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆ— ๐‘š) โˆˆ ๐ต)
105103, 93, 104syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆ— ๐‘š) โˆˆ ๐ต)
1062, 3eqmat 21796 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ โˆ— ๐‘š) โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘–(๐‘ โˆ— ๐‘š)๐‘—)))
107102, 105, 106syl2anc 585 . . . . . . 7 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘–(๐‘ โˆ— ๐‘š)๐‘—)))
10898, 107mpbird 257 . . . . . 6 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š))
1099, 108sylan9eqr 2795 . . . . 5 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐ถ = (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))) โ†’ (๐ถ ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š))
110109ex 414 . . . 4 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ถ = (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ถ ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š)))
111110ralrimdva 3148 . . 3 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐ถ = (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ ๐ต (๐ถ ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š)))
112111reximdva 3162 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐ถ = (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘š โˆˆ ๐ต (๐ถ ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š)))
1138, 112mpd 15 1 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘š โˆˆ ๐ต (๐ถ ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  Vcvv 3447  โฆ‹csb 3859  ifcif 4490   โ†ฆ cmpt 5192  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆˆ cmpo 7363  Fincfn 8889  Basecbs 17091  .rcmulr 17142   ยท๐‘  cvsca 17145  0gc0g 17329   ฮฃg cgsu 17330  Mndcmnd 18564  1rcur 19921  Ringcrg 19972   Mat cmat 21777   ScMat cscmat 21861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-mamu 21756  df-mat 21778  df-scmat 21863
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator