MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatscm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatscm 22435
Description: The multiplication of a matrix with a scalar matrix corresponds to a scalar multiplication. (Contributed by AV, 28-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatscm.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
scmatscm.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
scmatscm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
scmatscm.t โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
scmatscm.m ร— = (.rโ€˜๐ด)
scmatscm.c ๐‘† = (๐‘ ScMat ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
scmatscm (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘š โˆˆ ๐ต (๐ถ ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘š   ๐ถ,๐‘,๐‘š   ๐พ,๐‘,๐‘š   ๐‘,๐‘,๐‘š   ๐‘…,๐‘,๐‘š   ๐‘†,๐‘,๐‘š   โˆ— ,๐‘š
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘)   ๐ต(๐‘š,๐‘)   ร— (๐‘š,๐‘)   โˆ— (๐‘)

Proof of Theorem scmatscm
Dummy variables ๐‘– ๐‘— ๐‘˜ ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatscm.k . . . 4 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
2 scmatscm.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 scmatscm.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
4 eqid 2728 . . . 4 (1rโ€˜๐ด) = (1rโ€˜๐ด)
5 scmatscm.t . . . 4 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
6 scmatscm.c . . . 4 ๐‘† = (๐‘ ScMat ๐‘…)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 22428 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐ถ = (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)))
873expa 1115 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐ถ = (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)))
9 oveq1 7433 . . . . . 6 (๐ถ = (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ถ ร— ๐‘š) = ((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š))
10 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1110ad4antr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
12 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
1312adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
142matring 22365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
153, 4ringidcl 20209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)
1716adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)
1817anim1ci 614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต))
191, 2, 3, 5matvscl 22353 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต)
2013, 18, 19syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต)
2120anim1i 613 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต))
2221adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต))
23 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘))
24 scmatscm.m . . . . . . . . . . . 12 ร— = (.rโ€˜๐ด)
252, 3, 24matmulcell 22367 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))))
2611, 22, 23, 25syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))))
2712anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ))
28 df-3an 1086 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†” ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ))
2927, 28sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ))
3029ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ))
31 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
322, 1, 5, 31matsc 22372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))))
3330, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))))
34 eqeq12 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฅ = ๐‘– โˆง ๐‘ฆ = ๐‘˜) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†” ๐‘– = ๐‘˜))
3534ifbid 4555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ = ๐‘– โˆง ๐‘ฆ = ๐‘˜) โ†’ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…)) = if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…)))
3635adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ = ๐‘– โˆง ๐‘ฆ = ๐‘˜)) โ†’ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…)) = if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…)))
37 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
3837adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
3938adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
40 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
41 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘ โˆˆ V
42 fvex 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V
4341, 42ifex 4582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…)) โˆˆ V
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…)) โˆˆ V)
4533, 36, 39, 40, 44ovmpod 7579 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))๐‘˜) = if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…)))
4645oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–(๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))
4746mpteq2dva 5252 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—))))
4847oveq2d 7442 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))))
49 ovif 7524 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))
50 simp-6r 786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
51 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
52 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐ต)
5352ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐ต)
542, 1, 3, 40, 51, 53matecld 22348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜๐‘š๐‘—) โˆˆ ๐พ)
55 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
561, 55, 31ringlz 20236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘˜๐‘š๐‘—) โˆˆ ๐พ) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (0gโ€˜๐‘…))
5750, 54, 56syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (0gโ€˜๐‘…))
5857ifeq2d 4552 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—))) = if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)))
5949, 58eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)))
6059mpteq2dva 5252 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…))))
6160oveq2d 7442 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (if(๐‘– = ๐‘˜, ๐‘, (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)))))
62 ringmnd 20190 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
6362adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
6463ad4antr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
65 simpl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
6665ad4antr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
67 equcom 2013 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– = ๐‘˜ โ†” ๐‘˜ = ๐‘–)
68 ifbi 4554 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘– = ๐‘˜ โ†” ๐‘˜ = ๐‘–) โ†’ if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)) = if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)))
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)) = if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…))
7069mpteq2i 5257 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ = ๐‘–, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)))
711eleq2i 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ ๐พ โ†” ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7271biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ ๐พ โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7372adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7473ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
75 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
762, 75, 3, 40, 51, 53matecld 22348 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘˜๐‘š๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7775, 55ringcl 20197 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (๐‘˜๐‘š๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7850, 74, 76, 77syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7978ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8031, 64, 66, 38, 70, 79gsummpt1n0 19927 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘˜, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)), (0gโ€˜๐‘…)))) = โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))
8148, 61, 803eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))๐‘˜)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))) = โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)))
82 csbov2g 7472 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘˜๐‘š๐‘—)))
83 csbov1g 7471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘˜๐‘š๐‘—) = (โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜๐‘š๐‘—))
84 csbvarg 4435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜ = ๐‘–)
8584oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ (โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜๐‘š๐‘—) = (๐‘–๐‘š๐‘—))
8683, 85eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘˜๐‘š๐‘—) = (๐‘–๐‘š๐‘—))
8786oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘(.rโ€˜๐‘…)โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘š๐‘—)))
8882, 87eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘š๐‘—)))
8988adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘š๐‘—)))
9089adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘˜๐‘š๐‘—)) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘š๐‘—)))
9126, 81, 903eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘š๐‘—)))
92 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐พ)
9392anim1i 613 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต))
9493adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต))
952, 3, 1, 5, 55matvscacell 22358 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–(๐‘ โˆ— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘š๐‘—)))
9611, 94, 23, 95syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–(๐‘ โˆ— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–๐‘š๐‘—)))
9791, 96eqtr4d 2771 . . . . . . . 8 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘–(๐‘ โˆ— ๐‘š)๐‘—))
9897ralrimivva 3198 . . . . . . 7 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘–(๐‘ โˆ— ๐‘š)๐‘—))
9914ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
10020adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต)
1013, 24ringcl 20197 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š) โˆˆ ๐ต)
10299, 100, 52, 101syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š) โˆˆ ๐ต)
10312ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
1041, 2, 3, 5matvscl 22353 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆ— ๐‘š) โˆˆ ๐ต)
105103, 93, 104syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆ— ๐‘š) โˆˆ ๐ต)
1062, 3eqmat 22346 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ โˆ— ๐‘š) โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘–(๐‘ โˆ— ๐‘š)๐‘—)))
107102, 105, 106syl2anc 582 . . . . . . 7 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘–((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š)๐‘—) = (๐‘–(๐‘ โˆ— ๐‘š)๐‘—)))
10898, 107mpbird 256 . . . . . 6 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š))
1099, 108sylan9eqr 2790 . . . . 5 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โˆง ๐ถ = (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด))) โ†’ (๐ถ ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š))
110109ex 411 . . . 4 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ถ = (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ถ ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š)))
111110ralrimdva 3151 . . 3 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐ถ = (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ ๐ต (๐ถ ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š)))
112111reximdva 3165 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐ถ = (๐‘ โˆ— (1rโ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘š โˆˆ ๐ต (๐ถ ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š)))
1138, 112mpd 15 1 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘š โˆˆ ๐ต (๐ถ ร— ๐‘š) = (๐‘ โˆ— ๐‘š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  โˆƒwrex 3067  Vcvv 3473  โฆ‹csb 3894  ifcif 4532   โ†ฆ cmpt 5235  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โˆˆ cmpo 7428  Fincfn 8970  Basecbs 17187  .rcmulr 17241   ยท๐‘  cvsca 17244  0gc0g 17428   ฮฃg cgsu 17429  Mndcmnd 18701  1rcur 20128  Ringcrg 20180   Mat cmat 22327   ScMat cscmat 22411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-mamu 22306  df-mat 22328  df-scmat 22413
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator